概率论与数理统计第4讲 3.16

概率论与数理统计第4讲（夜大）
第五节 条件概率
举例：三张扑克牌，两个红尖，一个黑桃尖。

一、条件概率
条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念。

所考虑的是事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

考虑将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面反面的情况。

设事件A 为“至少有一次正面”，事件B 为“两次掷出同一面”。

现在求已知事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

这里，{}{}{}TT HH B TH HT HH A TT TH HT HH S ,,,,,,,,===。

容易知道这是一个古典概率问题。

已知事件A 已经发生，有了这一信息，知道“TT ”不可能发生，即知道试验所有可能结果组成的集合就是A 。

A 中有3个元素，其中只有HH 属于B ，于是，在A 发生条件下，B 发生的概率（我们记为()A B P ）为 ()31=
A B P 在这里我们可以看到()()A B P B P ≠=4
2，这是很容易理解的，因为在求()A B P 时我们是限制在A 已经发生的条件下考虑B 发生的概率的。

另外，容易知道
()()()()()
A P A
B P A B P AB P A P =====434131;41;43 对一般古典概型问题，上式仍然成立。

事实上，设试验的基本事件总数为n ，A 所包含的基本事件数为()0>m m ，AB 所包含的基本事件数为k ，即有 ()()()
A P A
B P n m n k m k A B P === 定义：设A ，B 为两事件，且()0>A P ，称 ()()()
A P A
B P A B P = 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

对于条件概率，它同样符合概率的定义中的三个条件，即：
（1） 非负性：对于每一事件B ，有()0≥A B P ；
（2） 规范性：对于必然事件S ，有()
1=A S P ；
（3） 可列可加性：设 ,,21B B 是两两互不相容的事件，则有
()∑∞
=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1
1i i i i A B P A B P
同时需要说明的是，由于条件概率满足概率的三条公理，则对于概率的性质和运算规则同样适用于条件概率。

例1 设某家庭有三个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男是女的可能性相等）。

解一 A=“三个孩子中至少一个女孩”，B=“三个孩子中至少一个男孩”。

我们用“1”表示男孩，“0”表示女孩，则样本空间为
()()()()()()()(){}000,100,010,001,011,101,110,111=S
则 ()();86;87==AB P A P 所求概率()()()7
6==A P AB P A B P 。

解二 在A 发生条件下，样本空间变为
()()()()()()(){
}000,100,010,001,011,101,1101=S 在这个缩减的样本空间中计算事件B 发生的概率，此时B 中包含6个基本事件。

则有 ()7
6=A B P 例2 甲乙二人各从1，2，…，15中任取一数，而且不重复，已知甲取到的数是5的倍数，求甲取到的数大于乙取到的数的概率。

解：用()j i ,表示事件“甲取到数i ，乙取到数j ”，则样本空间包含2101415=⨯个可能结果，且每个结果都是等可能的。

设A=“甲取到的数是5的倍数”，B=“甲取到的数大于乙取到的数”，则事件A 包含4211413=C C 个样本点。

而AB 包含271494=++。

()14
94227==A B P 二、乘法定理
由条件概率定义，立即可以得到下述定理
乘法定理：
设()0>A P （或()0>B P ），则有()()()A B P A P AB P =（或()()()B A P B P AB P = 上式可以推广到多个事件的积事件的情况。

如A ，B ，C 为事件，且()0>AB P ，则有 ()()()()()()AB C P A B P A P AB C P AB P ABC P ==
一般地，设n A A ,,1 为n 个事件，2≥n ，且()011>-n A A P ，则有
()()(
)()112111A P A A P A A A P A A P n n n -=
乘法公式揭示了P （A ），P （AB ），P （B|A ）三者间的关系，三者中知道其二就可求其
三。

在实际应用中关键要分析已知什么，要求什么。

例3 袋中装有12-n 个白球，n 2个黑球，一次取出n 个球，发现都是同一颜色的。

求这种颜色是黑色的概率。

分析：从袋中14-n 个球里一次取出n 个球，共有n n C 14-种不同的取法。

即样本空间包
含n n C 14-个样本点。

在取出的n 个球都是同一颜色（记为A ）的条件下，缩减的样本空间包
含的样本点为n n n n C C 212+-。

解法一：设A=“取出的n 个球是同色球”，B=“取出的n 个球是黑球”
()()n n n n n n n n n n C C AB P C C C A P 1
4214212;---=+= 由条件概率公式 ()()()3
2==A P AB P A B P 解法二：由于A 中包含的样本构成B 的缩减样本空间A S ，A S 包含n n n n C C 212+-个样本
点，其中B 包含的样本点为n n C 2个。

故所求的概率为
()3
22122=+=-n n n n n n C C C A B P
三、全概率公式和贝叶斯公式
先给出样本空间划分的定义。

定义：设S 为试验E 的样本空间，n B B ,,1 为E 的一组事件。

若
（1）n j i j i B B j i ,,1,,, =≠Φ=；
（2）S B B n = 1
则称n B B ,,1 为样本空间的一个划分（也称为完备事件组）。

若n B B ,,1 是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，事件n B B ,,1 中必有一个且只有一个发生。

显然，一个事件和它的对立事件构成一个划分。

定理：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，n B B ,,1 为S 的一个划分，且 ()()n i B P i ,,10 =>，则，
()()()()
()n n B P B A P B P B A P A P ++= 11
这个式子称为全概率公式。

其实际意义是，当P （A ）不易直接求出，但却容易找到S 的一个划分n B B ,,1 ，且()()i i B A P B P ,或已知，或容易求出，那么就可以利用全概率公式来求P （A ）。

全概率的“全”实际是要将事件A 发生的各种情况“全”要考虑到。

全概率公式体现了一种典型的数学思维方法，就是“化整为零”。

证明：()n n AB AB B B A AS A 11===，由假设()()n i B P i ,,10 =>，且()()
n j i j i AB AB j i ,,1,,, =≠Φ=,得到 ()()()()()()()n n n B P B A P B P B A P AB P AB P A P ++=++= 111
另外一个重要公式是贝叶斯公式。

定理：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件，n B B ,,1 为S 的一个划分，
且()0>A P ，()()n i B P i ,,10 =>，则
()()()()()n i B P B A P B P B A P A B P n j j
j i i i ,,1,1 ==∑=
该式称为贝叶斯公式。

证明：由条件概率和全概率公式得到
()()()()()
()()n i B P B A P B P B A P A P AB P A B P n j j
j i i i i ,,1,1 ===∑=
这个公式的常用形式是2=n 时的情形。

此时记1B 为B ，2B 为B ，则全概率公式和贝叶斯公式为 ()()()()()B P B A P B P B A P A P +=
()()()
()()()()B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=
贝叶斯公式有时也称为后验概率公式，它实际上是条件概率。

是在已知结果发生时，求导致这个结果的某种原因的可能性大小。

例4 某仓库有同样规格的产品12箱，其中有6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且三个厂的次品率分别为181,141,101。

现在从这12箱中任意取1箱，再从取到的一箱中任意取一件产品，试求取得一件是次品的概率。

解：设B=“取得的一件是次品”。

显然，很难直接求P （B ）。

但我们从分析试验入手，
可以看出试验分两步：第一步随机取一箱，第二步从取出的这一箱中随机取一件。

不妨设
分别代表甲，乙，丙
，，，厂生产的取得的一箱是321}{==i i A i 它们两两互不相容，且S A A A =321 ，所以可以看成是S 的一个划分。

并有
()()()12
2,124,126321===
A P A P A P ()()()181,141,101321===A
B P A B P A B P 由全概率公式得
()()()()()()()083.0332211=++=A P A B P A P A B P A P A B P B P
例5 设某种病菌在人口中的带菌率为03.0，当检查时，由于技术及操作等原因，使得带菌者未必检查出阳性反应而不带菌者也可能呈阳性反应。

假定
P （阳性|带菌者）=0。

99 P （阴性|带菌者）=0。

01
P （阳性|不带菌）=0。

05 P （阴性|不带菌）=0。

95
现设某人检查出阳性，问“他带菌”的概率是多少？
解：设A=“带菌”；B=“阳性”，则所求概率为 ()()()
()()()()38.0=+=A P A B P A P A B P A P A B P B A P
这个结果表明，即使你检查出阳性，也不必过早下结论说你一定带菌了，实际上这种可能性还不到40%。

这个例子很值得玩味。

一个不懂概率的人可能会这样推理，由于不带菌时检验出阳性的机会才0。

05。

我现在呈阳性，说明我有1-5%=95%的可能带菌。

实际不然。

说穿了，理由简单之极。

由于带菌率极低，在全人口中绝大部分不带菌。

由于检验方法不完善，在这大批人中会检验出许多呈阳性者。

另一方面，带菌者在全人口中很少，即使全部检查出阳性，这两部分呈阳性者的总和也只占相对较小的一部分，而大部分属于“虚报”性质。

这个例子说明提高精确度在这类检验中非常重要。

作业：P67 10，13，15，16，17，18，19，21，24。