数学文卷·2010届湖北襄樊高三3月调研统一测试2010-03

2010年3月襄樊市高中调研统一测试
高三数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题：CCBCB BCDAD
二．填空题：11．11 12．12(1)n - 13．2sin 4x π 14．185 15．①②③
三．解答题
16．(1)解：∵m ⊥n ，∴(22sin )(1sin )(cos sin )(cos sin )0A A A A A A -+++-=
2分 即22212(1sin )sin cos cos 22A A A A -=-⇒=
4分 ∵△ABC 是锐角三角形，∴3A π=
6分 (2)解：∵△ABC 是锐角三角形，且3A π=，∴52B π
π
<<
221
2sin cos(2)1cos 2cos 2232y B B B B B π
=+-=--+
7分
)13B π
=-+
10分 当23212B B ππ
π
-=⇒=时，y 取最大值．
12分
17．(1)解：易知半圆CMD 的半径为x ，故半圆CMD 的弧长为x π ∴4(2)2242x x y x y ππ-+++=⇒=
4分 依题意知：0 < x < y ，∴404x π<<+ ∴4(2)4
(0)24x
y x ππ-+=<<+
6分 (2)解：设凹槽的强度为T ，则有
2
)2x T xy π=-
8分
24
)43x π=-++
10
分 因为44
0434ππ<<++，∴当4
43x π=+时，凹槽的强度最大
答: 当
443x π=+时，凹槽的强度最大． 12
分 18．(1)证：∵P A ⊥平面ABCD ，AC 在平面ABCD 内，∴AC ⊥P A
又AC ⊥AB ，P A ∩AB = A ，∴AC ⊥平面P AB
2分 又PB 在平面P AB 内，∴AC ⊥PB
4分
(2)证：连结BD ，与AC 相交于O ，连结EO
∵ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点
5分
又E 为PD 中点，∴PB ∥EO 6分
又PB 在平面AEC 外，EO 在AEC 平面内，∴PB ∥平面AEC
8分 (3)解：过O 作FG ∥AB ，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 中点
∵AB ⊥AC ，∴OG ⊥AC
又由(1)(2)知，AC ⊥PB ，EO ∥PB ，
∴AC ⊥EO 10分
∴∠EOG 是二面角E －AC －B 的平面角
连结EF ，在△EFO 中，12EF PA =，12FO AB =
又P A = AB ，EF ⊥FO ，∴∠EOF = 45°
∴∠EOG = 135°，即二面角E －AC －B 的大小为135°．
12分
19．(1)解：∵121212||4||||2||84F F MF MF F F =+==>，， ∴曲线C 是以F 1、F 2为焦点，长轴长为8的椭圆．
2分 曲线C 的方程为2211612y x +=，离心率为12． 4分
(2)解：显然直线MN 不垂直于x 轴，也不与x 轴重合或平行
设直线MN 方程为(4)(0)y k x k =+≠， 由2
211612(4)y x y k x ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，得：22(34)240k y ky +-= 6分 解得y = 0或22443k y k =+ ∴22443M k y k =+，2211216443M M k x y k k -=-=+ 8分
∵22:3:2MNF PNF S S ∆∆=，∴22||3||2MF F P =，则2232MF F P =u u u u r u u u u r 故32(2)230(0)2M P M P x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴222242
43
1643P P k x k k
y
k ⎧
+=⎪
⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
10分
∵点P 在椭圆上，∴22222242163()4()484333k k k k +-+=++
整理得：42488210k k +-=，解得：2
712k =
，从而6k =±
所以直线MN
的方程为4)y x =+．
12分
20．(1)解：∵2n a n =，∴12n n a a +=+，
故数列{}n a 是“M 类数列”，对应的实常数p 、q 的值分别为1、2．
2分 (2)解：∵数列{}n a 是“M 类数列”，
∴存在实常数p 、q 使得1n n a pa q +=+对于任意n ∈N *都成立，
∴21n n a pa q ++=+，故11()2n n n n a a p a a q +++=++
4分 又*132()n n n a a n ++=⋅∈N ，∴132322n n
p q +⋅=⋅⋅+对于任意n ∈N *都成立，
即32(2)20n p q ⋅--=对于任意n ∈N *都成立，
6分 因此p = 2，q = 0
此时，12n n a a +=，∴2()n n a n N =∈*2()n n a n =∈N
8分 (3)证：由(2)知：2(21)n
n S =-
9分
当n ≥3时，011011211121n n n n n
n n n n n n n n C C C C C C C C n ---=++++-+++-=+L ≥，
当且仅当n = 3时等号成立，所以221)n S n +≥(
11分
于是11411111()(3)(21)(23)22123(21)(21)n n n n n S S n n n n ++=<=-++++--≥
因为S 1 = 2，S 2 = 6，S 3 = 14，则
12233414444111111111[()()()]3212799112123n n S S S S S S S S n n +++++<++-+-++-++L L 811119()21272342n =+-<+． 13分
21．(1)解：2()362g x x x '=-+，()66g x x ''=-，令660x -=得：x = 1
∴拐点A (1，－2)
2分
(2)证：设P (x 0，y 0)是()y g x =图象上任意一点，则320000322y x x x =-+- 因P (x 0，y 0)关于点A (1，－2)对称点为100(24)P
x y ---， 4分
∵323232000000000(2)3(2)2(3)23224(322)x x x x x x x x x ---+--=-+--=---+- 04y =--
故100(24)P
x y ---，在()y g x =图象上 ∴()y g x =关于点A 对称． 6分 结论：①任何三次函数的拐点，都是它的对称中心；②任何三次函数都有拐点；③任何三次函数都有对称中心．(写出其中之一即可)
8分
(3) 证：32()f x ax bx d =++ ∵()f x 的“拐点”为B (0，1)，∴(0)1f d ==
2()32f x ax bx '=+，()62f x ax b ''=+
∴(0)200f b b ''==⇒=
∴3()1f x ax =+ 10
分
33312121212()()()()2222f x f x x x ax ax x x f a ++++-=-
3322332121212121212333()()()248x x x x x x a a x x x x x x +++=+-=-+ 12
分
∴当a > 0时，
1212
()()
()
22
f x f x x x
f
++
>
，当a < 0时，
1212
()()
()
22
f x f x x x
f
++
<
14
分。