鸡兔同笼问题讲义

鸡兔同笼问题讲义
例、笼中有若干只鸡和兔，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有多少只？
解法1 假设法
假设一个未知数是已知的，比如假定50个头全是兔，则共有脚（4×50=）200（只），这与题中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，所以鸡的只数是（60÷2=）30（只），则兔的只数为（50-30＝）20（只）。

解法2 公式法
让每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），其中鸡的头数与脚数相等，由于每只兔的脚比头数多1，因此兔的头数为（70－50＝）20（个），即兔有20只，则鸡有（50－20＝）30（只）。

实际上我们用了如下的公式。

脚数和÷2-头数和=兔子数。

典型例题
例【1】鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。

笼中鸡兔各有多少只？
分析题目中给出了鸡、兔共45只。

如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。

而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。

为什么呢？因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。

如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。

所以鸡有17只，兔子有28只。

当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。

解法一假设全是兔子。

（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡
45－17＝28（只）——兔
解法二假设全是鸡。

（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔
45－28＝17（只）——鸡
答：鸡有17只，兔子有28只。

小试身手：1、鸡兔同笼，头共20个，足共62只，求鸡与兔各有多少只？
2、鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，求鸡与兔各有多少个头？
例【2】盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。

盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？
分析假设全部都是大钢珠，则共重：11×30＝330（克）；
比原来的克数重：330－266＝64（克）；
小钢珠的个数是：64÷（11－7）＝16（个）
大钢珠的个数是：30－16＝14（个）
同样，也可以假设全部都是小钢珠。

算法一样。

解法一假设全是大钢珠。

（30×11－266）÷（11－7）＝16（个）——小钢珠
30－16＝14（个）——大钢珠
解法二假设全是小钢珠。

（266－30×7）÷（11－7）＝14（个）——大钢珠
30－14＝16（个）——小钢珠
勇敢闯关：1、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。

其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。

求汽车和摩托车各有多少辆？
2、全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，求大船和小船各有多少只？
例【3】一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。

这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
分析先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是2000分，比原来的总值多120分。

而多的120分，是把10分一张的看作是20分的一张的，每张多算10分。

因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。

解 10分一张的邮票的张数有：
（2000－1880）÷（20－10）＝12（张）
20分一张的邮票张数有：
100－12＝88（张）
答：10分一张的邮票有12张，20分一张的邮票有88张。

智慧之星：1、小刚买回8分邮票和4分邮票共100张，共付出6.8元，问，小刚买回这两种邮票个多少张？各付出多少元？
2、小华买了2元和5元纪念邮票一共34张，用去98元钱。

求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少张？
例【4】学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。

每个足球比每个排球贵3元。

每个排球和每个足球各多少元？
分析根据“每个足球比每个排球贵3元”可知，当把买2个足球换成买2个排球时，买球共花的钱就会比原来少6元，现在买的是（3＋2）个排球，因此，可以求出每个排球的价钱。

解每个排球的价钱：
（111－3×2）÷（3＋2）＝21（元）
每个足球的价钱：
21＋3＝24（元）
答：每个排球的价钱是21元，每个足球的价钱是24元。

财务小管家：1. 瓷器商店委托搬运站运送800只花瓶，双方商定每只运费是0.35元，如果打破1只，不但不计运费，而且要赔偿2.50元，结果运到目的地后，搬运站共得运费268.6元，求打破了几只花
瓶？
2. 蓝墨水和红墨水，以前都是3角钱一瓶，王营小学每学期都花12元买若干瓶．现在每瓶蓝墨水涨价5分，每瓶红墨水涨价3分，虽然买的两种墨水瓶数还和各学期相等，但比每学期都多付1.8元．该校每学期买两种墨水各多少瓶？
例【5】买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。

如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元，问两种笔每支各多少元？
分析根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”，可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”，买3支钢笔的价钱可以买（4×3）支圆珠笔。

这样，我们就可以将买钢笔的支数转换为买圆珠笔的支数了。

从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。

解一支圆珠笔的价钱：
5＋（8÷2）×3＝17（支）
17÷17＝1（元）
一支钢笔的价钱：
1×8÷2＝4（元）
答：一支钢笔4元，一支圆珠笔1元。

聪明小精灵1. 小张的存钱盒里有2角，5角和1元人民币20张，共12元，算一算三种面值的人民币各有多少张？
2. 小红的储钱罐里有面值2元和5元的人民币共65张，总钱数为205元，两种面值的人民币各多少张？
二、新型鸡兔同笼
某些问题中的量可能并不是鸡与兔,但是其本质仍是鸡兔同笼问题.比如下面两个问题.我们都采用第二种假设与置换法来解决.
例题1：在一个停车场上，汽车、摩托车共停了60辆，一共有
190个轮子。

其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，求停车厂上汽车和摩托车各有多少辆？
解：假设60辆都是汽车，则有轮子（60×4=）240个，比已知条件多出（240-190=）50个，这是因为每一辆摩托车被假设为汽车时，就多出2个轮子，所以多出来的50轮子中包含多少个2个轮子，就是多少辆摩托车被假设为汽车的辆。

摩托车：（60×4-190）÷（4-2）=25（辆）
汽车：60-25=35（辆）。

奇思妙想1、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。

其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。

求汽车和摩托车各有多少辆？
2、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
例题2：某小学举行一次数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分，小明得72分，他做对多少道题？
解：假设15道全对了，则得（8×15=）120分，比已知条件多（120-72=）48分，这是因为每一道错题假设为对题时，相差（8+4）=12分，所以求出来的48分中包含几个12，就是做错题的数量。

做错题：（8×15-72）÷（8+4）=4（道）
做对题：15-4=11（道）。

武林高手：1. 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分．小华参加了这次竞赛，得了64分．问：小华做对几道题？
2、东风小学有3名同学去参加数学竞赛，一份试卷共10道题，答对一题得10分，答错一道不但不得分，还要扣去3分，这3名同学都回答了所有的题目，小明得74分，小华得22分，小红得87分，他们三人共答对多少题？
秘如何学好小学数学。