四川省绵阳市江油中学新高中数学三角函数与解三角形多选题专题复习附解析

四川省绵阳市江油中学新高中数学三角函数与解三角形多选题专题复习附解析
一、三角函数与解三角形多选题
1．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图
像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的一个周期为56
B ．函数()f x 的图像关于点
4
,03
成中心对称
C ．函数()f x 在11,26⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递增 D ．圆C 的面积为
3136
π
【答案】BD 【分析】
根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】
由图知：1(,0)3
C ，3(0,)2M ，23(,)32
N ， ∴()f x 中
111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
；单调减区间为17,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径221331()()32r =+=，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.
2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C =
B ．AB
C 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC
【答案】ACD 【分析】
由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】
解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；
由c 为最大边，可得2222221625361
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，
即C 为锐角，选项B 描述不准确；
2222222536163
cos 22564
b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，
291
cos 22cos 121cos 168
A A C =-=⨯
-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；
若6c =
，可得
2sin 7c R C
=
==
，
ABC
外接圆半径为
7
，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.
3．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）
A ．2A =
B ．点7,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 图像的一个对称中心 C ．6
π
=
ϕ D ．直线3
x π
=
是()f x 图像的一条对称轴
【答案】ABD 【分析】
由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.
【详解】
因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得2
1A b =⎧⎨=⎩
，故A 正确；
()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2
ϕ=
.又0ϕπ<<，所以3π
ϕ=，故C 错误；
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
令23
x k π
π+
=，k ∈Z ，解得62πk π
x =-+
，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为6
2
π
k πx =-+， 令1k =，则3
x π
=，D 正确；
令23
2
x k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，解得12
2
k x π
π
=
+
，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故B 正确. 故选：ABD
本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，
()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系
数法求解.
4．已知函数()1
cos cos 632
f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．51,62π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为
1
2
【答案】ABC 【分析】
利用三角恒等变换思想化简()11
sin 2232
f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】
cos cos sin 326
6x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，
()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，32232x πππ≤+≤，
此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
51511
11sin 2sin 26
2632222f π
πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以，51,62π⎛⎫
⎪⎝
⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 11
1122
f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC.
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
5．设函数()sin()(0)4
f x x π
ωω=+>，已知()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A ．()1y f x =+在()02π，
有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，单调递增
C ．ω的取值范围是192388⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
D ．将()f x 的图象先右移
4
π
个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1
()sin()2
g x x ω=
【答案】BC 【分析】
首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，
有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】
A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是
()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；
B.[]
0,2x π∈时，,2444t x π
π
πωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，
则5264
π
πωππ≤⋅+
<，得
192388ω≤<，当023x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时，
,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确；
D. 函数()f x 的图象先右移
4
π
个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到
()1
sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，故D 不正确；
故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4
t x π
ω=+
的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.
6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是
D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确； 若6c =，则4k =，
所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin 2
A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin 3
a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本
题的关键.
7．设函数()()sin f x A x =+ωϕ，x ∈R （其中0A >，0>ω，2
π
ϕ<
），在
,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上既无最大值，也无最小值，且()026f f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）
A ．若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R ，则21min x x π-=
B ．()y f x =的图象关于点,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭中心对称 C ．函数()f x 的单调减区间为()7,12
12k k k Z π
πππ⎡⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
D ．函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是2
π
【答案】ABD
【分析】
根据条件先求函数的解析式，
对于A:判断出()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，即可； 对于B:根据函数的对称性进行判断；
对于C:求出角的范围，结合三角函数的单调性进行判断； 对于D:根据函数的对称性即对称轴之间的关系进行判断. 【详解】 因为函数()f x 在,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上既无最大值，也无最小值， 所以,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个单调区间，区间长度为263πππ-=，
即函数的周期2233T π
π
≥⨯
=
，即223
ππω≥，则03ω<≤
因为()06f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以06212
π
π+
=为函数的一条对称轴；
则1223
πππ
ωϕωϕπ+=
+=①② 由①②解得：=2=3π
ωϕ，，即()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，函数的周期=T π.
对于A: 若()()()12f x f x f x ≤≤对任意x ∈R 恒成立，则()1f x 为最小值，()2f x 为最大值，所以12||22T k x x k π
-==,则21x x -必为2
π的整数倍，故A 错误，可选A; 对于B:3x π
=-
时，()sin 03f x A π⎛⎫=-
≠ ⎪⎝⎭，故,03π⎛-⎫
⎪⎝⎭
不是()y f x =的对称中心，B 错误，可选B; 对于C:当7,12
12x k k π
πππ⎡
⎤∈+
+
⎢⎥⎣
⎦
时，322,2322x k k πππππ⎡⎤
+∈++⎢⎥⎣⎦，此时()y f x =单调递减，C 正确，不选C;
对于D: 函数()()y f x x R =∈的图象相邻两条对称轴之间的距离是44
T π
=,故D 错误，可选D 故选:ABD 【点睛】
（1）求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②(2)求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；
（2）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或
cos y x =的性质解题.
8．已知函数()26f x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭，则下列结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x
C ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．函数()f x 的图象关于直线712
x π
=对称 【答案】BD 【分析】
首先要熟悉()26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象和性质，将()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下
方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，可以得到函数()f x 的图象，并判断选项. 【详解】
由题意，将()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，
可以得到函数()f x 的图象，故函数()f x 的最小正周期为2
π
，故A 错误；
函数()f x B 正确；
函数()f x 的图象是由()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的
图象不变)，所以不是中心对称图形，故C 错误； 由7012
f π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
知D 正确， 故选：BD . 【点睛】
思路点睛：要判断函数()f x 的性质，需先了解函数()26g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的性质，并
且知道函数()26g x x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭在x 轴下方的图象沿x 轴翻折(x 轴上方的图象不变)，
可以得到函数()f x 的图象，函数的周期变为原来的一半，()g x 的对称轴和对称中心都是函数()f x 的对称轴.
9．已知函数()
()tan (0)6
ωωπ
=->f x x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12
ω=
B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()
π0()
6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125
-<f f D ．若()f x 在区间()
π
3π，上单调递增，则203
ω<≤ 【答案】AD 【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】
解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则1
2
ω=，故A 选项正确；
对于B 选项，当1ω=时，()
()tan 6f x x π
=-，所以令,6
2
k x k Z π
π
-
=
∈，解得：,6
2
k x k Z π
π=
+
∈，所以函数的对称中心的坐标为()
0()62k k π
π+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()
()tan 26f x x π
=-，
()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦
，
()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125
f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,2
6
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+<-
<
+∈，解得：233k k x ππππ
ωωωω
-
+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππ
ωωωω
⎛⎫-
++∈ ⎪⎝⎭
，因为()f x 在区间()
π
3π，
上单调递增，所以33
,23k k Z k πππωωπππ
ωω
⎧-+≤⎪⎪∈⎨
⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=
≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56
k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故2
03
ω<≤，故D 选项正确.
故选：AD
【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤
+∈，再结合233
T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.
10．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．(2021)1f π=
C ．函数|()|y f x =为偶函数
D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 【答案】AD
【分析】 先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π
=-时取得最大值求得ϕ，得到
解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可.
【详解】
由图象可知，2A =，
5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π
=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡
⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=
k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，A 正确； 22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭
B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不是恒成立，
故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π
=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R ，故D 正确. 故选：AD.
【点睛】
方法点睛： 三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.。