四川省德阳市双泉中学2018年高二数学理测试题含解析

四川省德阳市双泉中学2018年高二数学理测试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 复数(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的()．
A．0 B．1 C．2 D．－1
参考答案：
D
略
2. 下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3
个 D．4个
参考答案：
A
略
3. 投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
4. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
参考答案：
C
∵是偶函数，，∴，
∵，∴
∵在上减函数，∴，∴或
∴不等式的解集为或，故选C.
5. 已知复数满足，则的虚部是
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
D
6. 如图，在三棱柱中，若、分别为、的中点，平面
将三棱柱分成体积为、的两部分，那么为（）
A．3：2 B．7：5 C．8：5 D．9：5
参考答案：
B
7. 已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）
A．B．C．﹣D．﹣
参考答案：
D
【考点】任意角的三角函数的定义．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．
∴cosα===﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
8. 为研究某种病菌在特定条件下随时闻变化的繁殖规律，通过观察记录得到如下的统计数据：
天数（天）
繁殖个数（万
个）
若线性回归方程为，则可预测当时，繁殖个数为（）
参考公式及数据：
，，，，，.
A. 6.5
B. 6.55
C. 7
D. 8
参考答案：
B
【分析】
根据已知条件求出回归系数，得到y关于x的回归方程，代入，可得病菌的繁殖个数.
【详解】解：由题意得: ,,，
,,
所以线性回归方程为，
将代入方程，可得，
故选B.
【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，总统思想是求出回归方程，然后结合回归方程的性质进行解答.
9. 函数的单调减区间是
A．（ B. C．（， D.
参考答案：
B
略
10. 两圆和恰有三条公切线，
若，且，则的最小值为（）
A．B．C． D．
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在上的函数同时满足以下条件：①在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②是偶函数；③在x＝0处的切线与直线
y＝x＋2垂直。

（Ⅰ）求函数＝的解析式；
（Ⅱ）设g(x)＝，若存在实数x∈[1，e]，使<，求实数m的取值范围。

参考答案：
解: （Ⅰ）(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0①……………………………………………1分
由f′(x)是偶函数得：b＝0②……………………………………………2分
又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，f′(0)＝c＝－1③…………3分
由①②③得：a＝，b＝0，c＝－1，即f(x)＝x3－x＋3. ……………4分
（Ⅱ）由已知得：存在实数x∈[1，e]，使ln x－<x2－1
即存在x∈[1，e]，使m>x ln x－x3＋x …………………………6分
设M(x)＝x ln x－x3＋x x∈[1，e]，则M′(x)＝ln x－3x2＋2……………7分[来源:学#科#网Z#X#X#K]
设H(x)＝ln x－3x2＋2，则H′(x)＝－6x＝……………8分
∵x∈[1，e]，∴H′(x)<0，即H(x)在[1，e]上递减
于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1<0，即M′(x)<0 ……………10分
∴M(x)在[1，e]上递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3……………12分
于是有m>2e－e3为所求．
略
12. 已知函数（，为常数），当时，函数有极值，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是．
参考答案：
13. m为任意实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点________．
参考答案：
(9，－4)
14. 已知F1、F2是椭圆C： (a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且
. 若的面积为9，则b＝________.
参考答案：
略
15. 的展开式中的系数为（用数字作答）
参考答案：
19
略
16. 现有3人从装有编号为1，2，3，4，5的五个小球的暗箱中每人摸出一只球（摸后不放回）,则有两人所摸的小球编号是连号,且三人编号不连号的摸法种数为。

参考答案：
36
17. 在△ABC中，若角A，B，C成等差数列，且边a=2，c=5，则S△abc= ．
参考答案：
【考点】正弦定理；等差数列的通项公式．
【分析】在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列并结合三角形内角和公式求得
B=，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】解：在△ABC中，由角A，B，C依次成等差数列，可得A+C=2B，
再由三角形内角和公式求得B=．
由于a=2，c=5，
故S△ABC=acsinB==．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 语句p：曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0表示圆；语句q：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若p∨q为真命题，￢p为真命题，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由p∨q为真命题，￢p为真命题，得p假q真，进而可得实数m的取值范围．
【解答】解：若p真，则曲线x2﹣2mx+y2﹣4y+2m+7=0化为（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣2m﹣3，
由已知m2﹣2m﹣3＞0，解得m＜﹣1或m＞3．…
若q真，则m2＞2m＞0，解得m＞2．…
由p∨q为真命题，?p为真命题，得p假q真．…（8分）
则解得2＜m≤3，
所以实数m的取值范围是2＜m≤3．…（10分）
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，椭圆的标准方程，圆的一般方程等知识点，难度中档．
19. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．
（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】（1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式．（2）表示出c n，利用裂项求和，求解即可．
【解答】解：（1）设数列{b n}的公差为d，
∵，
∴q2+3d=18，6+d=q2，q=3，d=3?…
，b n=3n，?…
（2）由题意得：，
?…．
20. （本小题满分12分）
已知函数,
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标先缩短到原来的，把所得到的图象再向左平移单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．
参考答案：
（Ⅰ）因为
=, …………………………………………..3分
函数f（x）的最小正周期为……………………………………………………..4分
由，，
得f（x）的单调递增区间为，
．………………..8分
（Ⅱ）根据条件得=，当时，，所以当x = 时，．……………………………..12分
略
21. 如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．
（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．
参考答案：
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；
（II）取AB中点O，连接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO为DP与平面ABCD 所成角，求出OP，DP，得直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：因为E为AC中点，所以DB与AC交于点E．
因为E，F分别为AC，BP中点，所以EF是△BDP的中位线，
所以EF∥DP．
又DP?平面PCD，EF?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取AB中点O，连接PO，DO．
∵△PAB为正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD内的射影为DO，∠PDO为DP与平面ABCD所成角，OP=，DP=，在Rt△DOP中，sin∠PDO=，
∴直线DP与平面ABCD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作出线面角并证明是解题关键，属于中档题．
22. 已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组可求得，从而可得数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）由于b n==，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），
由已知得：，即，解之得：，
∴a n=2n﹣5，（n∈N*）．
（Ⅱ）∵b n==，n≥1．
T n=+++…+，①
T n=+++…++，②
①﹣②得： T n=+2（++…+）﹣=﹣+，
∴T n=﹣1﹣（n∈N*）．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．。