九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合附详细答案

九年级数学一模试题分类汇编——二次函数综合附详细答案
一、二次函数
1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣1
2
时，△APC的面积取最大值，
最大值为27
8
，此时点P的坐标为（﹣
1
2
，
15
4
）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，
2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为10
2
【解析】
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得
出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3，再利用二次函数的性
质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
10423b c b c -++=⎧⎨
--+=⎩，解得：2
3b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：
023m n m n +=⎧⎨
-+=⎩，解得：1
1m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．
（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．
设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），
∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +1
2）2+278
． ∵﹣
3
2
＜0， ∴当x ＝﹣
12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278
，此时点P 的坐标为（﹣1
2，15
4
）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，
∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．
∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），
∴AC
＝，AN ，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关
系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3的最值；（3）利用二次函
数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，
另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【答案】（1）y=3
8x 2﹣34
x ﹣3
（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是9
10
（3）K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）
【解析】 【详解】
试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣9
10
（t ﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K 的坐标为（m ，3
8m 2﹣34
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =
9
4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12
•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣
34m 2+3m=9
4．易求得K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）．
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=3
8x 2﹣34
x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，
BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=
35
t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+9
5t=﹣910（t ﹣1）2+910
．
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，
S △PBQ 最大=
910
． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3k c c +=⎧⎨
=-⎩
， 解得3k 4c 3
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，3
8
m 2﹣
3
4
m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，
3
4
m ﹣3）．
∴EK=3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9 10
．
∴S△CBK=9
4
．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m）
=1
2
×4•EK
=2（﹣3
8
m2+
3
2
m）
=﹣3
4
m2+3m．
即：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
3．（12分）如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4
m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=
1
6
x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到
OB的水平距离为3 m，到地面OA的距离为17
2
m.
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度
不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=16
-x 2
+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m ；(2)两排灯的水平距离最小是3． 【解析】 【详解】
试题分析：根据点B 和点C 在函数图象上，利用待定系数法求出b 和c 的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y 的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x 的值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点17(0,4),3,
2B C ⎛⎫
⎪⎝⎭
在抛物线上 所以4
171932
6c b c =⎧⎪
⎨=-⨯++⎪⎩，解得24b c =⎧⎨
=⎩，所以21246y x x =-++ 所以，当62b
x a
=-=时，10t y =≦ 答：2
1246
y x x =-
++，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 （2）由题知车最外侧与地面OA 的交点为（2,0）（或（10,0）） 当x=2或x=10时，22
63
y =>，所以可以通过 （3）令8y =，即2
12486
x x -
++=，可得212240x x -+=，解得12623,623x x =+=- 1243x x -=答：两排灯的水平距离最小是3考点：二次函数的实际应用．
4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；
②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32
，154） 【解析】
试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；
（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；
②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）∵抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于
点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0
{3
1
2a b c c b
a
++==-=-，解得：1
{23a b c =-=-=，∴二次函数的
解析式为2
23y x x =--+=2
(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；
（2）令2
230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作
PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；
②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =
12OB •OC+12AD•PD+12
(PD+OC)•OD=111
31+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=
333222
x y -+ =
2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228
x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32
-时，2
23y x x =--+=154，此时P
（32
-
，15
4）．
考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．
5．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
【答案】（1）213
42
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式； （2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为1
2
y x =
直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组12
22y x
y x t ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112
S 4t t t 223
∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,
m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO
AC OC
=时，△PQO ∽△CAO ，则2131
m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝1
4
， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0），
易得直线OA 的解析式为y ＝1
2
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，
把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得k 2
b 12=⎧⎨=-⎩
，
∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，
解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
1124t t t 223
=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3
=-+ 21(t 3)33
=--+， 当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；
（3）设213m,m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ，
∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=， ∴PQ ＝2PO ，即
213m m 2|m |42-=， 解方程
213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程
213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48
=， ∴PQ ＝
12PO ，即2131m m m 422-=， 解方程2131m m m 422=
-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131m m m 422
=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
6．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．
（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；
（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.
【答案】(1) 221y x x =
+-；(2)12y y >.
【解析】
【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.
【详解】
(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），
∴22122m m -=++-.
∴m 1=m 2=-1.
∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.
(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()2
22m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.
此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.
∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.
∵12x x <≤－2，
∴1y >2y .
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
7．如图1，二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点()0,3C -.
（1）求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;
（2）若点D 在二次函数图像上，且45
DBC ABC S S =△△，求点D 的横坐标; （3）将直线BC 向下平移，与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧)，如图2，过M 作ME y ∥轴，与直线BC 交于点E ，过N 作NF y ∥轴，与直线BC 交于点F ，当MN ME +的值最大时，求点M 的坐标.
【答案】（1）y ＝239344
x x --，A （﹣1，0），B （4，0）；（2）D 点的横坐标为22﹣2，2；（3）M （
13，﹣113） 【解析】
【分析】
（1）求出a ，即可求解；
（2）求出直线BC 的解析式，过点D 作DH ∥y 轴，与直线BC 交于点H ，根据三角形面积的关系求解；
（3）过点M 作MG ∥x 轴，交FN 的延长线于点G ，设M （m ，
34m 2﹣94m ﹣3），N （n ，34
n 2﹣94n ﹣3），判断四边形MNFE 是平行四边形，根据ME ＝NF ，求出m +n ＝4，再确定ME +MN ＝﹣
34m 2+3m +5﹣52m ＝﹣34（m ﹣13）2+6112，即可求M ； 【详解】
（1）y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C （0，﹣3），
∴a ＝
34， ∴y ＝34
x 2﹣94x ﹣3， 与x 轴交点A （﹣1，0），B （4，0）；
（2）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，
∴
40
3
k b
b
+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴
3
4
3 k
b
⎧
=-⎪
⎨
⎪=-⎩
，
∴y＝
3
4
x﹣3；
过点D作DH∥y轴，与直线BC交于点H，
设H（x，
3
4
x﹣3），D（x，
3
4
x2﹣
9
4
x﹣3），
∴DH＝|
3
4
x2﹣3x|，
∵S△ABC＝115
53
23
⨯⨯=，
∴S△DBC＝415
52
⨯＝6，
∴S△DBC＝2×|
3
4
x2﹣3x|＝6，
∴x＝2+22，x＝2﹣22，x＝2；
∴D点的横坐标为2+22，2﹣22，2；
（3）过点M作MG∥x轴，交FN的延长线于点G，
设M（m，
3
4
m2﹣
9
4
m﹣3），N（n，
3
4
n2﹣
9
4
n﹣3），则E（m，
3
4
m﹣3），F（n，
3
4
n﹣3），
∴ME＝﹣
3
4
m2+3m，NF＝﹣
3
4
n2+3n，
∵EF∥MN，ME∥NF，
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴ME＝NF，
∴﹣
3
4
m2+3m＝﹣
3
4
n2+3n，
∴m+n＝4，
∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，
∴∠NMG＝∠OBC，
∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝MG OB
MN BC
,∵B（4，0），C（0，﹣3），
∴OB＝4，OC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∴MN＝5
4（n﹣m）＝
5
4
（4﹣2m）＝5﹣
5
2
m，
∴ME+MN＝﹣3
4
m2+3m+5﹣
5
2
m＝﹣
3
4
（m﹣
1
3
）2+
61
12
，
∵﹣3
4
＜0，
∴当m＝1
3
时，ME+MN有最大值，
∴M（1
3，﹣
11
3
）
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，结合三角形的性质解题.
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
（3）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）；（3）42
【解析】
试题分析：（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）如图1，设D（2，y），利用两点间的距离公式得到BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，然后讨论：当BD为斜边时得到18+4+（y﹣3）2=1+y2；当CD 为斜边时得到4+（y﹣3）2=1+y2+18，再分别解方程即可得到对应D的坐标；
（3）先证明∠CEF=90°得到△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于
G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，则PE=
2
2
PG，PF=2PH，设P（t，t2
﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，这样PE+EF=2PE+PF=﹣2t2+42t，然后利用二次函数的性质解决问题．
试题解析：解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y=x2+bx+c得：
930
3
b c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
，解
得：
4
3
b
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=x2﹣4x+3；
（2）如图1，抛物线的对称轴为直线x=﹣
4
2
-
=2，设D（2，y），B（3，0），C（0，
3），∴BC2=32+32=18，DC2=4+（y﹣3）2，BD2=（3﹣2）2+y2=1+y2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即18+4+（y﹣3）2=1+y2，解得：y=5，此时D点坐标为（2，5）；
当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，即4+（y﹣3）
2=1+y2+18，解得：y=﹣1，此时D点坐标为（2，﹣1）；
（3）易得BC的解析式为y=﹣x+3．∵直线y=x+m与直线y=x平行，∴直线y=﹣x+3与直线y=x+m垂直，∴∠CEF=90°，∴△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交
BC于G，如图2，△EPG、△PHF都为等腰直角三角形，PE=
2
2
PG，PF=2PH，设P
（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），∴PF=2PH=2t，PG=﹣t+3﹣（t2﹣
4t+3）=﹣t2+3t，∴PE=2
PG=﹣
2
t2+
32
t，∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣
2t2+32t+2t=﹣2t2+42t=﹣2（t﹣2）2+42，当t=2时，PE+EF的最大值为42．
点睛：本题考查了二次函数的综合题．熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式．
9．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，10）或P
（﹣1，﹣10）或P（﹣1，6）或P（﹣1，5
3
）；（3）存在，Q（﹣1，2）；（4）
63 8，
315
,
24
E
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
.
【解析】
【分析】
（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：
①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M 的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．
②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．
③当CM＝C P时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；
（3）根据轴对称﹣最短路径问题解答；
（4）由于四边形BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE 分割成规则的图形进行计算，过E 作EF ⊥x 轴于F ，S 四边形BOCE ＝S △BFE +S 梯形FOCE ．直角梯形FOCE 中，FO 为E 的横坐标的绝对值，EF 为E 的纵坐标，已知C 的纵坐标，就知道了OC 的长．在△BFE 中，BF ＝BO ﹣OF ，因此可用E 的横坐标表示出BF 的长．如果根据抛物线设出E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE 的面积与E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE 的最大值及对应的E 的横坐标的值．即可求出此时E 的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）， ∴309330
a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， 解得：12a b =-⎧⎨
=-⎩． ∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3；
（2）如答图1，
∵抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x+3，
∴其对称轴为x ＝22-＝﹣1， ∴设P 点坐标为（﹣1，a ），当x ＝0时，y ＝3，
∴C （0，3），M （﹣1，0） ∴当CP ＝PM 时，（﹣1）2+（3﹣a ）2＝a 2，解得a ＝
53， ∴P 点坐标为：P 1（﹣1，53
）； ∴当CM ＝PM 时，（﹣1）2+32＝a 2，解得a ＝±10，
∴P 点坐标为：P 2（﹣110）或P 3（﹣110）；
∴当CM ＝CP 时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a ）2，解得a ＝6， ∴P 点坐标为：P 4（﹣1，6）．
综上所述存在符合条件的点P ，其坐标为P （﹣110）或P （﹣110）或P （﹣1，6）或P （﹣1，53
）； （3）存在，Q （﹣1，2），理由如下：
如答图2，点C （0，3）关于对称轴x ＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，
直线AC′与对称轴的交点即为点Q．
设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．
将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得
23 k t
k t
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得
1
1
k
t
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．
将x＝﹣1代入，得y＝2，
即：Q（﹣1，2）；
（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a
∴S四边形BOCE＝1
2BF•EF+
1
2
（OC+EF）•OF
＝1
2
（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+
1
2
（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）
＝﹣3
2
a2﹣
9
2
a+
9
2
＝﹣
3
2
（a+
3
2
）2+
63
8
，
∴当a＝﹣3
2时，S四边形BOCE最大，且最大值为
63
8
．
此时，点E坐标为（﹣3
2
，
15
4
）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是（2）中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解．
10．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣1
2
x2+bx+c经过点A（﹣1，0）
和点B （0
，52
），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD 的长； （3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，
72）或（0，﹣72
）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，
92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到
12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到
12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12
x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，
∴抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+
5
2
；
（2）∵y=﹣1
2
（x﹣2）2+
9
2
，
∴C（2，9
2
），抛物线的对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2，9
2
﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，9
2
﹣t），
把P（2+t，9
2
﹣t）代入y=﹣
1
2
x2+2x+
5
2
得﹣
1
2
（2+t）2+2（2+t）+
5
2
=
9
2
﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，9
2
），D点坐标为（2，
5
2
），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，9
2
）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P点（4，9
2
）向左平移2个单位，向下平移
9
2
个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），
当m＞0时，1
2
•（m+
5
2
+2）•2=8，解得m=
7
2
，此时M点坐标为（0，
7
2
）；
当m＜0时，1
2
•（﹣m+
5
2
+2）•2=8，解得m=﹣
7
2
，此时M点坐标为（0，﹣
7
2
）；
综上所述，M点的坐标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的
性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
11．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；
（3）M1（113
2
+
，0）、N1131）；M2（
113
2
+
，0）、N2（1，﹣1）；M3
（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
20
3
a a c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：13a c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，
所以点G 的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C 2的解析式为y=﹣x 2+2x+3﹣k ，即y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，
过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D=3
B′D=3m ，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：
24043m k k m
⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231
m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴k=1；
（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，
∴△AOQ ≌△PQN ，
如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ ≌△PQN ，
∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，
∴∠MOQ=∠HQN ，
∴△OQM ≌△QNH （AAS ），
∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，
解得：x=1132±（负值舍去）， 当x=1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （1132
+，0）， ∴点N 坐标为（
1132++1312-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，
同理可得△OQM ≌△PNH ，
∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，
∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113+0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
12．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？
（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ．
①求y 与x 的函数关系式；
②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.
【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-
12
x 2+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】
【分析】 （1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；
（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题．
【详解】
（1）如图，在AB 上取AG=EC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，
有∵AG=EC ，∴BG=BE ，
又∵∠B=90°，
∴∠AGE=135°，
又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ，
∴∠ECF=135°，
∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC ，
在△AGE 和△ECF 中，
AGE ECF AG EC
GAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△AGE ≌△ECF ，
∴AE=EF ；
(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ，
∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°，
∴△ABE ≌△ENF ，
∴FN=BE=x ，
∴S △ECF =12 (BC-BE)·FN ， 即y=12
x(4-x ）， ∴y=- 12
x 2+2x （0＜x ＜4)， ②()
()222111y x 2x x 4x x 22222
=-+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2.
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间满足函数关系y ＝at 2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m .
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m )与飞行时间t(单位：s )之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是85
s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5m ；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at 2+5t+c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t 2+5t+，当t=时，y 最大
=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
14．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，1
2
），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平
行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣12
x 2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．
【解析】
分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=
12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12
m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得
12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ =，即214 132222
m m m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．
详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2，
解得：a=-12
， 则抛物线解析式为y=-
12（x+1）（x-4）=-12
x 2+32x+2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2），
设直线BD 解析式为y=kx+b ，
将B （4，0）、D （0，-2）代入，得： 402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=
12
x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），
∴Q （m ，--12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2）， 则QM=-
12m 2+32m+2-（12m-2）=-12
m 2+m+4， ∵F （0，12）、D （0，-2），
∴DF=5 2
，
∵QM∥DF，
∴当-
1
2
m2+m+4=
5
2
时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则
21
=
42
DO MB
OB BQ
==，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴
BM BP
BQ PQ
=，即
2
14
13
22
22
m
m m
-
=
-++，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
15．如图，抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （1，
3），点B （3，﹣3），O 为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围； （3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．
【答案】（1）22353y x x =；（2）t ＞4；（3）∠BOC =60°，C （323 【解析】 分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （13点B （33
详解：（1）把点A （13B （33y=ax 2+bx 得
3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩ ，解得3353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴y=﹣23333
x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54
， 当x ＞
54
时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ． （3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E。