高考数学一轮复习 第六章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新

第2讲 等差数列及其前n 项和
配套课时作业
1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14
答案 C
解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×2
2d
＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C.
2．(2019·某某模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．－8 答案 C
解析 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24.故选C.
3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B
解析 S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，a 7＋a 8＋a 9成等差数列，∴a 7＋a 8＋a 9
＝54－9＝45.故选B.
4．(2019·某某某某调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )
A ．50
B ．45
C ．55
D ．40 答案 B
解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝
10
a 1＋a 10
2
＝
10a 5＋a 6
2
＝45.故选B.
5．(2019·某某某某模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9
＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．36
答案 C
解析 由等差数列的通项公式及性质，可得
S 9＝
9
a 1＋a 9
2
＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C.
6．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30
B ．45
C ．90
D ．186
答案 C
解析 因为a 2＝6，a 5＝15，所以a 5－a 2＝3d ，d ＝3，所以{b n }是公差为6的等差数列，其前5项和为5a 2＋10×6＝90.故选C.
7．(2019·某某模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9
T 9
＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
答案 A
解析 由a 5＝2b 5，得a 5b 5＝2，所以S 9
T 9＝
9
a 1＋a 9
29
b 1＋b 92
＝a 5b 5
＝2，故选A.
8．(2019·某某统考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
答案 C
解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，
a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.故选C.
9．(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若a b n ＝3n －1，则b 2019
＝( )
A ．2017
B ．2018
C ．2019
D ．2020
答案 D
解析 由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－2
2
＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n
＋1
＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，知数列{a n }为单调数列，所以结合a b n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2019＝2020.故选D.
10．已知数列{a n }(n ∈N *
)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结
论错误的是( )
A ．d <0
B ．a 7＝0
C ．S 9>S 6
D ．S 6，S 7均为S n 的最大值 答案 C
解析 因为S 5<S 6，所以S 5<S 5＋a 6，所以a 6>0，因为S 6＝S 7，所以S 6＝S 6＋a 7，所以a 7＝0，因为S 7>S 8，所以S 7>S 7＋a 8，所以a 8<0，所以d <0且S 6，S 7均为S n 的最大值，所以S 9<S 6.故选C.
11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，m ≥2，m ∈N *
，则
m ＝( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
答案 C
解析 ∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.
又S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1. 又S m ＝
m a 1＋a m
2
＝
m a 1＋2
2
＝0，
∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 12．(2019·某某模拟)定义：在数列{a n }中，若满足
a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n
＝d (n ∈N *
，d 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则
a 2019
a 2017
＝( ) A ．4×20192
－1 B ．4×20182
－1 C ．4×20172－1 D ．4×20172
答案 C
解析 由题意知{a n }为等差比数列，a 2
a 1＝1，a 3a 2＝3，a 3a 2－a 2a 1
＝2，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以
a n ＋1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，则a 2019a 2017＝a 2019a 2018×a 2018
a 2017
＝(2×2018－1)×(2×2017－1)＝4×20172
－1.故选C.
13．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n
(n ∈N *
)，则a 1＋a 2＋…＋a 51
＝________.
答案 676
解析 ∵a n ＋2－a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
0，n 为奇数，
2，n 为偶数，∴数列{a n }的奇数项为常数1，偶数项构成以2为
首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 51 ＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫25×2＋
25×242×2＝676. 14．(2019·某某模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当
n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值X 围为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－78
解析 由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 8>0，
a 9<0.所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
7＋7d >0，
7＋8d <0.所
以－1<d <－7
8
.
15．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2
n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．
答案 10
解析 ∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又a n －1＋a n ＋1－a 2
n ＝0， ∴2a n －a 2
n ＝0，即a n (2－a n )＝0.
∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝2(2n －1)＝38， 解得n ＝10.
16．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 与B n ，且满足A n B n ＝7n ＋1
4n ＋27
(n ∈N ＋)，
则
a 11
b 11
的值是________． 答案 43
解析 根据等差数列的性质得：
a 11
b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝21
a 1＋a 21
221b 1＋b 212
＝A 21B 21＝148111＝4
3
. 17．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．
解 (1)设{a n }的公差为d ，由题意，得3a 1＋3d ＝－15. 由a 1＝－7，得d ＝2.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)由(1)，得S n ＝n 2
－8n ＝(n －4)2
－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
18．(2019·某某某某调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n
2a n ＋1
，n ∈N *
.
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝a n
2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使不等式S n <k 对一切n ∈N *
恒成立的实
数k 的取值X 围．
解 (1)证明：因为a n ＋1＝
a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝1
a n
＋2. 因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1
a n
＝2n －1，所以
a n ＝
12n －1
. (2)由b n ＝a n
2n ＋1
，
得b n ＝
1
2n ＋1
2n －1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12
，
所以要使不等式S n <k 对一切n ∈N *
恒成立，则k 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.
19．(2019·某某市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n
－3(n ∈N *
)．
(1)求a 2的值并证明a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，所以a 2＝1
2.
2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②
②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2.
(2)由(1)可知，数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 即n 为奇数时，a n ＝n .
数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2， 首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，
即n 为偶数时，a n ＝n －32
.
综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，n 为奇数，n －3
2
，n 为偶数.
20．(2019·某某模拟)已知{a n }是公差为正数的等差数列，且a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n
2n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵{a n }是公差d >0的等差数列， ∴由a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16＝a 3＋a 6， 解得a 3＝5，a 6＝11，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋2d ＝5，
a 1＋5d ＝11，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2，∴a n ＝2n －1.
(2)∵a n ＝b 1＋b 23＋b 35＋…＋b n
2n －1
，
∴a n －1＝b 1＋b 23＋b 3
5＋…＋b n －1
2n －3(n ≥2，n ∈N *
)，
两式相减，得b n
2n －1＝2(n ≥2，n ∈N *
)， 则b n ＝4n －2(n ≥2，n ∈N *
)， 当n ＝1时，b 1＝1，
∴b n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
1，n ＝1，4n －2，n ≥2，
∴当n ≥2时，S n ＝1＋
n －1
6＋4n －22
＝2n 2
－1.
又n ＝1时，S 1＝1，适合上式， 所以S n ＝2n 2
－1.。