2020-2021学年甘肃省天水一中高一上学期期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）
A．150°B．120°C．60°D．30°
2．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8πB．16πC．D．
3．（4分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y+6＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（）
A．内含B．内切C．相交D．外切
4．（4分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，则k的值是（）
A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2
5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（）A．B．
C．D．
6．（4分）将半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为
（）
A．πB．C．3πD．
7．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
9．（4分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
10．（4分）已知边长为的菱形ABCD，A＝60°，沿对角线BD把△ABD折起，二面角A﹣BD﹣C的平面角是120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．20πB．28πC．36πD．54π
二、填空题（共4小题）.
11．（5分）已知直线l过点P（1，1），圆C：x2+y2＝4，则直线l与圆C的位置关系是．12．（5分）一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的体积是．
13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为．
14．（5分）不论m取何实数，直线l：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点．三、解答题（每题10分，共40分）
15．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4＝0与l2：x﹣y+5＝0的交点，且与直线x ﹣2y﹣6＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．
16．（10分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．
18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．
（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；
（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）
A．150°B．120°C．60°D．30°
解：由直线可知：直线的斜率，解得α＝600，
故选：C．
2．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8πB．16πC．D．
解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为半圆柱．
所以V＝．
故选：A．
3．（4分）已知圆C1：x2+y2﹣2x﹣4y+6＝0和圆C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（）
A．内含B．内切C．相交D．外切
解：两圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣2）2＝1，x2+（y﹣3）2＝9，
圆心坐标分别为C1（，2），C2（0，3），半径分别为R＝1，r＝3，
则|C1C2|＝＝＝＝2＝3﹣1＝r﹣R，
即两圆相内切，
故选：B．
4．（4分）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1＝0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3＝0平行，
则k的值是（）
A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2
解：由两直线平行得，当k﹣3＝0时，两直线的方程分别为y＝﹣1 和y＝，显然两直线平行．
当k﹣3≠0时，由＝≠，可得k＝5．综上，k的值是3或5，
故选：C．
5．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x+a正确的是（）A．B．
C．D．
解：由y＝x+a得斜率为1排除B、D，
由y＝ax与y＝x+a中a同号知若y＝ax递增，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y＝ax递减，则y＝x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选：C．
6．（4分）将半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）
A．πB．C．3πD．
解：如图所示，
半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，
则该圆锥的母线长为SA＝3，底面圆周长为2π•OA＝•3＝2π，所以OA＝1；
所以圆锥的高为SO＝＝＝2，
所以圆锥的体积为V＝π•OA2•SO＝π×12×2＝．
故选：D．
7．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；
选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；
选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；
选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．
故选：D．
8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，
则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），
C（0，2，0），
＝（﹣2，2，1），＝（0，﹣2，0），
设异面直线AE与CD所成角为θ，
则cosθ＝＝＝，
sinθ＝＝，
∴tanθ＝．
∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．
故选：C．
9．（4分）已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，
∵PA的斜率为＝﹣1，PB的斜率为＝1，
∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，
故选：D．
10．（4分）已知边长为的菱形ABCD，A＝60°，沿对角线BD把△ABD折起，二面角A﹣BD﹣C的平面角是120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A．20πB．28πC．36πD．54π
解：如图所示：
设菱形ABCD的对角线交于F，由菱形的性质可得：
二面角A﹣BD﹣C的平面角是∠AFC＝120°，∠AFE＝60°，
因为菱形的边长为2，A＝60°，
所以AF＝，AE＝，EF＝，
设OO′＝x，又O′B＝2，O′F＝1，
所以由勾股定理可得：R2＝OB2＝OA2，
即R，
解得x＝，所以R2＝7，
所以四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×7＝28π，
故选：B．
二、填空题（每题5分，共20分）
11．（5分）已知直线l过点P（1，1），圆C：x2+y2＝4，则直线l与圆C的位置关系是相交．
解：因为P（1，1）在圆C：x2+y2＝4内，
故直线l与圆C：x2+y2＝4相交．
故答案为：相交．
12．（5分）一个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的体积是．
解：个长方体共一顶点的三条棱长分别是，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，
设球的半径为R，
所以，解得R＝，
则：．
故答案为：4．
13．（5分）已知圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，则直线AB的方程为x﹣y+2＝0．
解：根据题意，圆C1：x2+y2﹣4＝0与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0相交于A，B两点，联立，可得4x﹣4y+8＝0，
即x﹣y+2＝0，
故答案为：x﹣y+2＝0．
14．（5分）不论m取何实数，直线l：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点（9，﹣4）．
解：∵不论m取何实数，直线L：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点，
∴m（x+2y﹣1）﹣x﹣y+5＝0恒成立，
∴，
∴
∴直线L：（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5恒过定点（9，﹣4）．
故答案为：（9，﹣4）．
三、解答题（每题10分，共40分）
15．（10分）已知直线l经过两直线l1：2x﹣y+4＝0与l2：x﹣y+5＝0的交点，且与直线x
﹣2y﹣6＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（a，1）到直线l的距离为，求实数a的值．
解：（1）联立两直线l1：2x﹣y+4＝0与l2：x﹣y+5＝0，得交点（1，6），
∵与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，
∴直线l的方程为2x+y﹣8＝0；
（2）∵点P（a，1）到直线l的距离为，
∴＝，
∴a＝6或1．
16．（10分）如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：直线PA∥平面EDB；
（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】证明：（1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵E是PC的中点，∴OE∥PA，
∵PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴直线PA∥平面EDB．
解：（2）∵直线PD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，PD＝DC，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成角，
设PD＝DC＝a，则BD＝＝，
∴tan∠PBD＝＝＝．
∴直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求二面角P﹣AB﹣C的大小．
解：（1）证明：连接AC，BD，交于点O，连接OP，
∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
∴AC⊥BD，O是BD中点，
∵其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，
∴PO⊥AC，
∵PO∩BD＝O，PO⊂平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB⊂平面PBD，∴PB⊥AC．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），A（0，﹣，0），B（，0，0），
＝（0，，﹣），＝（，0，﹣），
设平面PAB的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝，得＝（，，），
平面ABC的法向量＝（0，0，1），
设二面角P﹣AB﹣C的大小为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴θ＝60°．
故二面角P﹣AB﹣C的大小为60°．
18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．
（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；
（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．
解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x＝3与圆C相切，
当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3＝m（x﹣3），
圆心到直线的距离等于半径＝2，解得m＝﹣，切线方程为：5x+12y+21＝0，综上，过点M（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为：x＝3或5x+12y+21＝0．
（2）圆C：（x﹣1）2+y2＝4与x轴正半轴的交点为P（3，0），
依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3＝k（x﹣3），代入圆C：（x ﹣1）2+y2＝4
＝整理得：（1+k2）x2﹣2（3k2+3k+1）x+9（k+1）2﹣3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴直线PA和PB的斜率之和为：
k PA+k PB＝+＝+＝k﹣+k﹣＝2k﹣3（+）＝2k﹣3×＝2k﹣3×
＝2k﹣3×
＝2k﹣3×＝2k﹣＝2k﹣2k+＝．。