6.状态空间设计法

控制器的状态空间设计法
在这个部分，我们将展示如何用状态空间（时域）的方法设计控制器并观察。

本教程中用到的MTALAB关键命令有：eig，ss，lsim，place，acker
目录
•建模
•稳定性
•可控性和可观性
•用极点配置控制
•引入参考输入
•观测器的设计
建模
Introduction: System Modeling系统建模部分。

对于单输入单输出系统，这状态空表示如下：
这球的垂直位置是h，i是通过电磁铁的电流，V是电压，M是球的质量，g是重力加
稳定性
其我们想要做的第一件事情就是分析开环系统（不带任何控制）是否稳定。

正如所讨论的介绍：系统分析部分，系统矩阵的特征值，A（相当于传递函数的极点）确定的稳定性。

A矩阵的特征值是det（sI—A）=0的s的值。

poles =
31.3050
-31.3050
-100.0000
其中一个极点在又半平面，换言之，有正实数部分说明系统开环不稳定。

检查一下这个不稳定的系统，当有一个非零初始条件下，添加以下代码到您的m文件
可控性和可观性
如果存在一个控制输入u（t）那么一个系统是可控的，在有限的时间内系统的任何状态转移到零。

它可以表明，当且仅当其可控性矩阵，CO，具有满秩（即，如果CO的秩等于 n，其中n是状态的数量）。

LTI模型的可控性矩阵的秩可以用MATLAB命令rank （ctrb（A，B））或者rank（ctrb（sys））确定。

可控性和可观测性的双重概念。

一个系统（A，B）是可控的当且仅当一个系统（A’，C，B’，D）的观察。

当我们设计一个观察的这事有用的，正如我们下面将看到。

用极点配置控制
让我们采用极点配置为系统建立一个控制器。

一个完整的状态反馈系统的原理图如下
所示。

采用全状态，我们的意思是说，对于控制器任何时间所有的状态变量是已知的。

例如，在这个系统中，我们需要一个传感器测量球的位置，一个测量速度，和电磁铁的电流
测量。

为简单起见，我们假设R = 0。

输入是
超调量太大（传递函数中德零点可以增加超调量，在状态空间形式下你看不到零点）。

引入参考输入
现在，控制系统如上述定义并且应用一个阶跃输入（选择一个小的阶跃值，因此我们能留在线性化有效的区域）。

替换你m文件中的t，|u|和lsim，如下所示：
系统一点也没有跟随这个阶跃，不但幅值不是1，还是负的。

回想上图表，我们没有比较输出和参考。

我们测量所有的状态量，乘以乘以向量K，然后被参考量减去。

没有理由期待K*x等于期待的输出量。

为了解决这个问题，我们可以扩大参考输入使它等于K*x的稳定状态。

这比例因素是Nbar，如下表所示：
我可以得到Nbar从MTALAB中通过用函数rscale
Nbar =
-285.7143
注意这不是MATLAB中的标准函数。

你可以下载它，rscale.m，并保存到你当前的工作空间。

现在，在状态反馈和引入参考的情况下，你想找到系统的响应，注意着点输入被乘以新的因子，Nbar：
观测器的设计
当我们不能测量所有的状态变量x（经常这样），我们经常会建立一个观察器来评估他们，只测量输出 y=Cx。

对于磁悬浮球的例子，我们可以添加三个新的，评估的状态到系统中。

这表格如下。

观察期基本是原系统的复制，它有相同的输入和几乎相同的微分方程。

一个额外的环节是比较实际测量的输出y和评估的输出y_hat；这会令评估的状态量hat{x}接近实际的状态量x。

观察器的动态误差有(A-LC)的极点给出。

首先，我们选择观察器的增益L。

因为我们想让观察器的动态比系统本身更快，我们需要将系统的极点放置在主导极点左侧5倍更远的地方。

如果我们想用place，我们需要把观察器的极点放置在不同的位置。

由于可控性和可观测性之间的二元性，我们可以用发现控制矩阵的同样的方法，但是用矩阵C代替矩阵B并且把每个矩阵转置。

上面方程的图框里有hat{x}。

系统和观察器常规的组合方程是用原始状态x加上误差状态：e=x-hat{x}。

状态反馈为u=-K*hat{x}。

经过代数运算，我们得到状态和误差方程。

看一下初始值不为零，没有参考输入的情况，添加如下命令到你的m文件。

我们猜想观察期开始是零状态，hat{x}=0。

误差的初始状态等于初始状态。

所有状态变量的响应图如下。