专题08 三角函数-2021年江苏省高考数学命题规律大揭秘(原卷版)

专题08 三角函数
【真题感悟】
1、【2019年江苏，13】已知tan 2
π3tan 4αα=-⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 2、【2019江苏，15】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b
，cos B =2
3
，求c 的值； （2）若
sin cos 2A B a b =，求sin()2
B π
+的值． 3、【2018江苏，理7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-
<<的图象关于直线3
x π
=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 4、【2017江苏，5】若π1
tan(),46
α-=则tan α= ▲ .
5、【2016江苏，9】定义在区间[0，
3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 6、【2016江苏，14】在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 7、【2015江苏高考，8】已知tan 2α
=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______.
8、【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在ABC ∆中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.
9、【2016江苏，15】在ABC △中，AC =6，4πcos .54
B C ， （1）求AB 的长； （2）求π
cos(6
A
)的值. 10、【2018江苏，理16】已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=，cos()αβ+=．
（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．
【考纲要求】
一、三角函数的基本概念
1．了解任意角的概念．
2．了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化．
3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 4．理解三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的概念及意义． 二、同角三角函数的基本关系式及诱导公式
1．借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sinα
cosα＝tanα，掌握已知角的一个三
角函数值求其他三角函数值的方法．
2．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式(π
2±α，π±α的正弦、余弦、正切)，经历并体验用诱导公式
求三角函数值，感受诱导公式的变化规律． 三、两角和与差的三角函数
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦． 四、二倍角公式
1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
2．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)． 五、三角函数图象
1．理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图像．
2．会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，理解A ，ω，φ的物理意义． 六、三角函数性质
1．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期． 2．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题． 七、正余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
【考向分析】
1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．
2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零点问题；(3) 考查图象的识别．
【高考预测】
高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．
【迎考策略】
1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A ，B 主要是
根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即
2A -=
最大值最小值，2B +=
最大值最小值
；（2）ω的
值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．
2.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移
ϕ
ω
个长度单位． 3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 4. 求解三角函数的周期性的方法：
（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．
（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或
tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=
或||
T π
ω=来确定；③根据图象来判断． 5. 求解三角函数的单调性的方法：
（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．
（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：
②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
6. 求解三角函数的奇偶性的策略：
（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；
（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈；若函数
()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2
k k Z π
ϕπ=+
∈；②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数，则
()2
k k Z π
ϕπ=+
∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈．
7. 求解三角函数对称性的方法：
（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x 即可；②因为sin y x =的对称轴是2
x k π
π=+
，k ∈Z ，所以可由2
x k π
ωϕπ+=+
解出x ，即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；
注意tan y x =的对称中心为1
(,0)()2
k k Z π∈；
（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()
0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断． 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：
（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；
（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±，化为关于t 的二次函数
求值域(最值).
9. 同角三角函数的基本关系的基本功能就是转化功能，利用它可以使函数种类减少，次数降低，项数减少等，从而达到简化运算的目的．常用有五种转化途径：（1）正弦与余弦的互化；（2）、“1”和正弦、余弦平
方和的互化，即“221sin cos θθ=+”；（3）化正弦、余弦为正切，即sin tan cos θ
θθ
=；
（4）化正切为正弦、余弦，即sin tan cos θ
θθ
=
；（5）正弦、余弦和（差）与积的互化，即()2sin cos 12sin cos θθθθ±=±． 10. 二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性；(4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等． 掌握二倍角的两个特殊变式：（1）sin 2cos 22παα⎛⎫=-
⎪⎝⎭＝22cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）cos 2sin 22sin cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
11. 根据已知单角的三角函数值求和角（或差角）的三角函数，通常将结论角利用条件角来表示，利用同角三角函数基本关系化为相关角的三角函数后，再利用两角和与差的三角函数公式可求解．常见的配角技巧：
()ααββ=+-；()αββα=--；1[()()]2ααβαβ=++-；1
[()()]2
βαβαβ=+--；
4
24π
π
παα⎛⎫+=
-- ⎪⎝⎭，6666ππππααα⎛⎫⎛⎫
=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
等等． 12. 三角恒等变换与正、余弦定理在高考中经常交汇出现.根据正、余弦定理可以计算内角的正、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值，恒等变换公式与正、余弦定理公式往往交替使用，具体的选择要结合条件及待求量灵活处理．
【强化演练】
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=
2
sin cos ++x x
x x
在[,]-ππ的图像大致为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（
2
π，π）单调递增
③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2
π为周期且在区间(
4
π，
2
π)单调递增的是（ ）
A ．f (x )=|cos2x |
B ．f (x )=|sin2x |
C ．f (x )=cos|x |
D ．f (x )=sin|x |
4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，
2
π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=（ ）
A ．
15
B 5
C ．
3
D ．
5
5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的
最小正周期为2π，且4g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭38f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．2-
B ．
C
D ．2
7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．
8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π
6,2,3
b a
c B ===
，则ABC △的面积为_________．
9．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .
（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++的值域． 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若
45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．
11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．
（1）求A ；
（22b c +=，求sin C ．
12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin
sin 2
A C
a b A +=． （1）求B ；
（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 13．【2019年高考北京卷理数】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12
-
． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B –C ）的值．
14．【2019年高考天津卷理数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，
3sin 4sin c B a C =．
（1）求cos B 的值； （2）求sin 26B π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值． 15．若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象与直线y =m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π
3
，
则实数ω的值为____．
16．函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0≤φ<2π)在R 上的部分图象如图所示，则f(2018)的值为__________．
17．若将函数f(x)=cos(2x +φ)（0<φ<π）的图象向左平移π
12个单位所得到的图象关于原点对称，则φ
=__________．
18．已知函数f(x)=sin(πx +φ)(0<φ<2π)在x =2时取得最大值，则φ=____．
19．已知函数f(x)=2cos(ωx −φ) (ω>0,φ∈[0,π])的部分图象如图所示，若A (π
2,√2)，B (3π
2,√2)，则f(0)=__________．
20．已知函数()()cos f x A x ωφ=+的图象如图所示， 223f π⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，则()0f =____.
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的图像与x 轴的交点A ，
B ，
C 满足2OA OC OB +=，则ϕ=________.
22．已知函数()[]()
sin 0,f x x x π=∈和函数()1
tan 3
g x x =的图像相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．
23．已知函数f (x )=sinx ，若存在x 1,x 2,⋯,x n 满足0≤x 1<x 2<⋯<x n ≤6π，且|f (x 1)−f (x 2)|+|f (x 2)−f (x 3)|+ ⋯+|f (x n−1)−f (x n )|=12（m ≥2，m ∈N ∗），则m 的最小值为__________． 24．将函数2sin 3y x πω⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
（0ω>）的图象，向左平移
3π
ω
个单位，得到()y g x =函数的图象，若()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，则ω的最大值为__________．
25．在平面直角坐标系xOy 中，以ox 轴为始边作角α，角α+π
4的终边经过点P(−2,1).
(I)求cosα的值； (Ⅱ)求cos(
5π6
−2α)的值.
26．已知向量a ⃑=(sinθ,2),b ⃑⃑=(cosθ,1)，且a ⃑,b ⃑⃑共线，其中θ∈(0,π
2). （1）求tan(θ+π
4)的值；
（2）若5cos(θ−ϕ)=3√5cosϕ，0<ϕ<π
2，求ϕ的值.
27．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =−√10
10
，b =√2，c =√5．
（1）求a ；
（2）求cos(B −A)的值．
28．在平面直角坐标系xOy 中，锐角α,β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P,Q ．已知点P 的横坐标为2√77，点Q 的纵坐标为3√3
14
． （1）求cos2α的值； （2）求2α−β的值.
29．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，设△ABC 的面积为S ，且4S =√3(a 2+c 2−b 2).
（1）求∠B 的大小；
（2）设向量m =(sin2A ，3cosA)，n =(3，−2cosA)，求m ⋅n 的取值范围． 30．在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，cosA =3
4，C =2A .
（1）求cosB 的值；
（2）若ac =24，求ΔABC 的周长.
31．在平面直角坐标系xOy 中，设向量()cos sin a αα=，， ()sin cos b ββ=-，， （1a b c +=，求()sin αβ-的值；
（2 0πβ<<，且()
//a b c +，求β的值． 32．设向量m =(2cosx,√3sinx)，n =(sinx,−2sinx)，记f(x)=m ⋅n ． （1）求函数f(x)的单调递增区间； （2）求函数f(x)在[−π3,π
6]上的值域．
33．在ABC ∆中， CA CB CA CB +=-. (1) 求角C 的大小；
(2)若CD AB ⊥，垂足为D ，且4CD =，求ABC ∆面积的最小值. 34．已知向量()sin ,cos a αα= ， ()
1,3b =，，若a b ⊥，
（1）求α的值； （2，求角β的大小．。