高中数学第一单元基本初等函数(Ⅱ)1.2.4诱导公式(一)学案新人教B版必修4(2021学年)

2017-2018学年高中数学第一单元基本初等函数（Ⅱ)1.２.４诱导公式(一)学案新人教B版必修4
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１。

2．４诱导公式（一）
学习目标1。

了解三角函数的诱导公式的意义和作用。

2。

理解诱导公式的推导过程．３．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题。

知识点一角α与α＋ｋ·2π（ｋ∈Z)的三角函数间的关系
思考角α与α＋k·２π(k∈Ｚ)的终边有什么位置关系？其三角函数值呢?
梳理诱导公式（一）
cｏｓα+ｋ·２π=
k∈Z,
ｓiｎα+k·2π=
k∈Z，
ｔａnα+ｋ·2π=
k∈Ｚ。

知识点二角α与－α的三角函数间的关系
思考1 设角α的终边与单位圆的交点为P1(x,y）,角－α的终边与角α的终边有什么关系？如图，－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何?
思考2 根据三角函数定义,－α的三角函数与α的三角函数有什么关系?
梳理诱导公式(二)
cos-α
＝，
sｉn－α
＝，
ｔan－α
＝。

知识点三角α与α+（2ｋ+1）π(k∈Z）的三角函数间的关系
思考1 设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y），则角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？如图,设角α的终边与单位圆交于点P1(x,y),则角π＋α的终边与单位圆的交点P2的坐标如何?
思考2 根据三角函数定义,sin(π+α)、ｃoｓ(π+α)、ｔan（π+α)的值分别是什么？对比ｓin α，ｃos α,ｔan α的值，（2k＋1)π+α的三角函数与α的三角函数有什么关系？
梳理诱导公式（三)
ｃos［α+２k＋1π]
＝，
ｓiｎ［α＋２k+１π］
＝，
taｎ[α+2k＋1π］
= .
特别提醒:公式一~三都叫做诱导公式,他们分别反映了２kπ+α(ｋ∈Z）,-α,（２k+1)π+α(ｋ∈Z）的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”!
类型一利用诱导公式求值
命题角度１给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值.
（1）cos 210°;(2)siｎ１１π
4
;
(３）ｓin(-＼ｆ（４３π,6)）;（4)cos（-１９2０°)。

反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤: (１）“负化正":用公式一或二来转化。

（2）“大化小”:用公式一将角化为0°到3６0°之间的角.
(3)“角化锐”：用公式一或三将大于90°的角转化为锐角。

(４)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
跟踪训练1 求下列各三角函数式的值。

(1）sｉｎ１ 32０°; (2)cｏs错误!；(3）tａn（－９４5°)。

命题角度２给值求角问题
例2 已知sｉｎ(π+θ)＝-＼r(3)ｃｏｓ（2π-θ)，|θ|<错误!，则θ等于（)
A.－＼f（π，6) Ｂ.-π
3
Ｃ。

错误!Ｄ.错误!
反思与感悟对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值,再结合特殊角的三角函数值逆向求角。

跟踪训练2 已知sin(π-α)＝-错误!siｎ（π＋β)，错误!cos（－α）＝-错误!cos(π＋β）,0＜α〈π，0<β〈π,求α，β。

类型二利用诱导公式化简
例3 化简下列各式.
(1)错误!；
(２)错误!．
引申探究
若将本例(1)改为：
错误!（ｎ∈Z),请化简.
反思与感悟三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦"法,即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用:如１＝sｉn2α+coｓ2α=ｔａn 错误!.
跟踪训练3 化简下列各式。

（1)错误!;
（2）错误!。

1。

ｓin 585°的值为（ )
A．－错误!B。

错误!Ｃ．-错误!Ｄ．错误!
2。

ｃｏs(－＼f(１6π,3))+ｓiｎ（-＼f(１６π，3)）的值为（）A.－错误! B.错误!
C。

错误!ﻩＤ。

错误!
3.已知ｃｏs(π-α）＝错误!（错误!<α＜π）,则ｔan(π＋α)等于( ) A。

B。

C。

－ D.－
4。

siｎ750°=__＿__＿_＿.
5．化简：错误!·siｎ（α-2π）·ｃos(2π－α）.
1。

明确各诱导公式的作用
诱导公式作用
公式(一）将角转化为0~２π之间的角
求值
公式(二)将负角转化为正角求值
公式(三)将角转化为0~π之间的角求
值
2。

诱导公式的记忆
这三组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号。

α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角。

答案精析
问题导学
知识点一
思考角α与α＋k·2π(k∈Z)的终边相同，根据三角函数的定义,它们的三角函数值相等.梳理coｓαｓin αｔan α
知识点二
思考1 角－α的终边与角α的终边关于ｘ轴对称．
角－α与单位圆的交点为Ｐ2(x,-y)．
思考2 sｉn α＝y，coｓα＝ｘ,tａn α＝错误!;
siｎ(－α）=－y=－sin α;
coｓ（-α）＝ｘ＝ｃos α,
ｔａn（－α）＝-错误!=－tan α.
梳理cos α－sｉn α－tan α
知识点三
思考1 角π+α的终边与角α的终边关于原点O对称.P2（－ｘ,－ｙ）.
思考2 sin（π+α)＝－y，ｃｏs(π+α）=-x,
ｔａｎ（π+α)=＼f(-y，-ｘ)=＼f(ｙ，x）。

梳理－cos α -sｉn αtaｎα
题型探究
例１（1）cos 21０°＝－错误!.
(2)ｓin错误!＝错误!.
（3)siｎ（-错误!)＝错误!。

（4）cos(－1 92０°)＝－错误!。

跟踪训练1 解（1）sin 1 ３20°=
sｉn(3×３60°＋240°)
＝sin 240°＝ｓin(１80°+60°)
＝－sｉn 6０°=－＼f（＼r(3）,2)。

(2)ｃos错误!=coｓ错误!
=cos错误!
＝coｓ(π＋错误!)=-ｃos 错误!=-错误!．例2 D
跟踪训练2 解由题意,得
错误!
①2＋②2,得sin2α+3coｓ２α＝2，
即ｓiｎ2α＋3(１-sin2α)＝2,
∴sin2α＝错误!,∴siｎα＝±错误!.∵0<α〈π,∴siｎα＝错误!，
∴α=错误!或α=错误!π。

把α=错误!,α=错误!π分别代入②,
得cos β=错误!或coｓβ=－错误!。

又∵0〈β<π，∴β＝＼f（π,6)或β=5
6π。

∴α=＼f(π,4)，β=＼f(π,6)或α＝错误!π,β＝错误!π。

例３解 (1)原式=错误!
＝错误!
＝-错误!＝－ｔａｎα。

(2）原式=错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!＝-1.
引申探究
解当n=2k时,
原式=＼f(-tan α·-sｉn α·coｓα,-ｃos α·sｉn α)＝-taｎα;当n=2ｋ+1时,
原式=错误!
＝-tａｎα。

综上，原式=-tan α。

跟踪训练3 (1)1 (2)＼ｆ(1,２)
当堂训练
1．A 2。

C 3．D 4。

1 2
５.解原式=错误!·[－ｓiｎ(2π－α)］·cos（2π-α)
＝－cｏs α
-sｉｎα
·sin α·coｓα=cos２α.
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