完全平方公式教案(二)

1．8．2 完全平方公式（二）
●课题
§1．8．2 完全平方公式（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1．通过有趣的分糖情景，使学生进一步巩固（a+b）2=a2+2ab+b2,同时帮助学生进一步理解（a+b）2与a2+b2的关系．
2．运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算．
3．进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．
（二）能力训练要求
1．在进一步巩固完全平方公式同时，体会符号运算对解决问题的作用．
2．进一步熟练乘法公式，提高最基本的运算技能，并且明白每一步的算理．
（三）情感与价值观要求
1．鼓励学生算法多样化，提高学生合作交流意识和创新精神．
2．从有趣的分糖游戏中，提高学习数学的兴趣．
●教学重点
1．巩固完全平方公式，区分（a+b）2与a2+b2的关系．
2．熟悉乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义．
●教学难点
1．区分（a+b）2与a2+b2的关系．
2．熟练乘法公式的运用，体会公式中字母a、b的广泛含义．
●教学方法
活动探究法．
●教具准备
投影片四张
第一张：提出问题，记作（§1．8．2 A）
第二张：分糖游戏，记作（§1．8．2 B）
第三张：例2，记作（§1．8．2 C）
第四张：例3，记作（§1．8．2 D）
●教学过程
Ⅰ．创设情景，引入新课
［师］上节课我们推导出了完全平方公式，现在我们来看一个问题：
出示投影片（§1．8．2 A）
一个正方形的边长为a厘米，减少2厘米后，这个正方形的面积减少了多少厘米2？
［生］原来正方形的面积为a2平方厘米，边长减少2厘米后的正方形的面积为（a－2）2平方厘米，所以这个正方形的面积减少了a2－（a－2）2平方厘米，因为a2－（a－2）2=a2－（a2－4a+4）=a2－a2+4a－4=4a－4,所以面积减少了（4a－4）平方厘米．［师］很好！这节课我们继续巩固完全平方公式．
Ⅱ．讲授新课
［师］下面我们来做一个“分糖游戏”．
出示投影片（§1．8．2 B）
一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，……
（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第三天有（a+b）个孩子一块去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
［生］根据题意，可知第一天有a个男孩去了老人家，老人给每个孩子发a块糖，所
以一共发了a2块糖．
第二天有b个女孩去了老人家，老人给每个孩子发b块糖，所以一共发了b2块糖．第三天有（a+b）个孩子去了老人家，老人给每个孩子发（a+b）块糖，所以一共发了（a+b）2块糖．
［生］前两天他们得到的糖果总数是（a2+b2）块，因为（a+b）2－（a2+b2）=a2+2ab+b2－a2－b2=2ab．由于a>0,b>0,所以2ab>0．
由此可知这些孩子第三天得到的糖果数比前两天他们得到的糖果总数要多，多2ab块糖果．
［师］为什么会多出2ab块糖果呢？同学们可分组讨论多出2ab块糖的原因．
（老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花）
［生］对于a个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是（a+b）块，每个男孩比第一天多b块，一共多了ab块；同理可知这b个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了ab块．因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了2ab块．［师］不错！而这个游戏又充分说明了（a+b）2与a2+b2的关系，即（a+b）2≠a2+b2．
下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现．
出示投影片（§1．8．2 C）
［例2］利用完全平方公式计算：
（1）1022；（2）1972．
如果直接计算1022，1972会很繁．根据题目的提示使我们想到1022可以写成（100+2）2，1972可以写成（200－3）2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试．［生］解：（1）1022=（100+2）2=1002+2×2×100+22=10000+400+4=10404．
（2）1972=（200－3）2=2002－2×3×200+32=40000－1200+9=38809
［师］我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用．
下面我们再来看一个例题（出示投影片§1．8．2 D）
［例3］计算：
（1）（x+3）2－x2;
（2）（a+b+3）（a+b－3）;
（3）（x+5）2－（x－2）（x－3）．
分析：（1）题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；（2）题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；（3）题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错．注意要为学生提供充分交流的机会．
解：（1）方法一：（x+3）2－x2
=x2+6x+9－x2——运用完全平方公式
=6x+9
方法二：（x+3）2－x2
=［（x+3）+x］［（x+3）－x］——逆用平方差公式
=（2x+3）×3
=6x+9
（2）（a+b+3）（a+b－3）
=［（a+b）+3］［（a+b）－3］
=（a+b）2－32
=a2+2ab+b2－9
（3）（x+5）2－（x－2）（x－3）
=x2+10x+25－（x2－5x+6）
=x2+10x+25－x2+5x－6
=15x+19
［例4］已知x+y=8,xy=12,求x2+y2的值．
分析：由完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2,可知x2+y2=（x+y）2－2xy,故可将
x +y =8,xy =12整体代入求值．
解：x 2+y 2=（x +y ）2－2xy
把x +y =8,xy =12代入上式，
原式=82－2×12=64－24=40
Ⅲ．随堂练习
1．利用整式乘法公式计算：
（1）962 （2）（a －b －3）（a －b +3）
解：（1）962=（100－4）2
=10000－800+16=9216
（2）（a －b －3）（a －b +3）
=［（a －b ）－3］［（a －b ）+3］
=（a －b ）2－32=a 2－2ab +b 2－9
2．试一试，计算：（a +b ）3
分析：利用转化的思想和逆用同底数幂的乘法得（a +b ）3=（a +b ）2·（a +b ）,可以使运算简便．
解：（a +b ）3=（a +b ）2·（a +b ）
=（a 2+2ab +b 2）（a +b ）
=a 3+a 2b +2ab 2+2a 2b +ab 2+b 3
=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3
3．已知x +x 1=2,求x 2+21x
的值． 解：由x +x 1=2,得（x +x
1）2=4． x 2+2+21x =4．所以x 2+21x =4－2=2．
Ⅳ．课时小结
［师］一节课在紧张而又活泼的气氛中度过了，你有何收获和体会，不妨和大家共享．
［生］在有趣的分糖情景中，不仅巩固了完全平方公式，而且更进一步理解了（a +b ）2与a 2+b 2的关系．
［生］通过实例，我更进一步体会到完全平方公式中的字母a ,b 的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．
……
Ⅴ．课后作业
1．课本P 45，习题1.14．
Ⅵ．活动与探究
化简 个n 9999× 个n 9999+
个
n 9991 ［过程］当n =1时，9×9+19=102
当n =2时，99×99+199=104
当n =3时，999×999+1999=106
……
于是猜想：原式=102n
［结果］原式=（10n －1）（10n －1）+（2×10n －1）
=（10n －1）2+2×10n －1
=102n －2×10n +1+2×10n －1
=102n
●板书设计
§1．8．2 完全平方公式（二）
一、糖果游戏
（1）a 2 （2）b 2 （3）（a +b ）2
（4）（a +b ）2的总数较多，多2ab ．
结果：（a +b ）2≠a 2+b 2
二、例题讲解
例2．利用完全平方公式计算
（1）1022 （2）1972
例3．计算：
（1）（x +3）2－x 2
（2）（a +b +3）（a +b －3）
（3）（x +5）2－（x －2）（x －3）
●备课资料
参考练习
1．选择题
（1）下列等式成立的是（ ）
A ．（a －b ）2=a 2－ab +b 2
B ．（a +3b ）2=a 2+9b 2
C ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2
D ．（x +9）（x －9）=x 2－9
（2）（a +3b ）2－（3a +b ）2计算结果是（ ）
A ．8（a －b ）2
B ．8（a +b ）2
C ．8b 2－8a 2
D ．8a 2－8b 2
（3）（5x 2－4y 2）（－5x 2+4y 2）运算的结果是（ ）
A ．－25x 4－16y 4
B ．－25x 4+40x 2y 2－16y 4
C ．25x 4－16y 2
D ．25x 4－40x 2y 2+16y 4
（4）运算结果为x 4y 2－2x 2y +1的是（ ）
A ．（x 2y 2－1）2
B ．（x 2y +1）2
C ．（x 2y －1）2
D ．（－x 2y －1）2
2．填空题
（1）（4a －b 2）2= ．
（2）（－21m －1）2= ．
（3）（m +n +1）（1－m －n ）= ．
（4）（7a +A ）2=49a 2－14ab 2+B ,则A = ,B = ．
（5）（a +2b ）2－ =（a －2b ）2．
3．用乘法公式计算：
（1）9992;
（2）20022－4004×2003+20032．
4．已知,a +b =8,ab =24．求21（a 2+b 2）的值．
5．已知x +x 1=4,求证x 2+21
x ． 6．已知：x 2－2x +y 2+6y +10=0,求x +y 的值． 答案：1．（1）C （2）C （3）B （4）C
2．（1）16a 2－8ab 2+b 4
（2）4
1m 2+m +1
（3）1－m 2－2mn －n 2
（4）－b 2 b 4
（5）8ab
3．（1）998001 （2）1 4．8 5．14 6．－2。