(全优试卷)吉林省吉林市普通中学高三上学期第一次调研测试数学理科Word版含答案

吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学
本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求。

1. 已知集合{0,1,2},{|11,}M N x x x Z ==-≤≤∈，则 A. M N ⊆ B. N M ⊆
C.
{0,1}M N = D. M N N =
2. 函数()sin()(0)6f x x π
ωω=+
>的最小正周期为π，则()3
f π
的值是
A.
1
2
B.
12
-
C.
D. 3. 若函数同时满足下列两个条件，则称函数为“M 函数”：（1）定义域为R 的奇函数；
（2）对12,x x R ∀∈，且12x x ≠，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-.
有下列函数：①()1f x x =+；②3()2f x x =；③1
()f x x
=；④sin y x =
其中为“M 函数”的是 A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
4. 如果平面向量(2,0),(1,1)a b ==，那么下列结论中正确的是
A. ||||a b =
B. 22a b =
C. ()a b b -⊥
D. a ∥b
5. 设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大
时，n =
A ．6
B ．7
C ．10
D ．9
6. 已知,a b 是不共线的向量，,(,),AB a b AC a b R λμλμ=+=+∈若,,A B C 三点共线,
则,λμ的关系一定成立的是
A ．
2λμ+=
B ．
1λμ-=
C ．1λμ=-
D ．
1λμ=
7. 已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=
A. 32
-
B.
52
C. 2
D. 3
2
-
或1 8. 在ABC ∆
中，已知3
2,4
b c a A ===
，则ABC ∆的面积是 A ．
B ．
C ．
16
5
D ．
45
9. 函数5x y x xe =-在区间(3,3)-上的图像大致是
10. 如图，在ABC ∆中，0AB BC =, 1,30BC BAC =∠=︒, BC 边上有10个不同点1210,,,P P P , 记i i m AB AP = (1,2,
,10)i =， 则1210m m m ++
+=
A.
B. 10
C. D. 30
11. 已知数列{}n a 满足12
33n a n =+，若从{}n a 中提取一个公比为q 的等比数列{}n k a ， 其中11,k =且12,*n n k k k k N <<<∈，则公比q 的最小值为
A.
4
3
B.
53
C. 2
D.
73
12. 在ABC ∆中，1AC CB =-，则sinA sinB 的取值范围是
A.
B. 31[,]44-
C. 31(,]44
-
D. 3(0,]4
1
210
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13. 设函数2log ,0()4,
x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，则[(1)]f f -= .
14. 向量(cos10,sin10),(cos70,sin70)a b =︒︒=︒︒，|2|a b -= ．
15.
为：(1)(2)1,()(1)(2)(2,*)F F F n F n F n n n N ===-+->∈，若此数列每项被4
16. 已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使 得
12()()
2
f x f x A +=成立，则称()f x 在D 上的算术平均数为A ，已知函数
()1,[0,2]g x x x =+∈，则()g x 在区间[0,2]上的算术平均数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
已知{}n a 是等比数列，满足13a =，424a =，数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的
等差数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的前n 项和．
18．（12分）
海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75︒，距离为在A 处看灯塔C
在货轮的北偏西30︒，距离为货轮向正北由A 处行驶到D 处时看灯塔B 在货轮的北偏东120︒. （1）画出示意图并求A 处与D 处之间的距离；（2）求灯塔C 与D 处之间的距离.
19．（12分） 已知02
π
αβπ<<
<<，且51
sin(),tan 1322ααβ+=
=．
（1）求cos α的值；（2）证明：12
sin 13
β>．
20．（12分）
已知()1
x
f x x =
+，数列{}n a 满足111,()(*)n n a a f a n N +==∈
（1）求证：1
{
}n
a 是等差数列； （2）设2n
n n
b a =，求{}n b 的前n 项和n S
21．（12分） 已知函数()x f x e mx n =--(,)m n R ∈
（1）若函数()f x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；
（2）当0n =时，若函数()f x 在R 上没有零点，求m 的取值范围.
22．（12分）
设函数()ln ,()(2)2()2f x x g x a x f x a ==--+- （1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间； （2）设()|()|(0)1
b
F x f x b x =+
>+，对任意1212,(0,2],,x x x x ∈≠都有 1212
()()
1F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.
吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学参考答案与评分标准
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
A
B
C
B
D
A
A
B
D
C
D
二、填空题： 13. -2;
14.
15. 1 ;
16. 2
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．由题意，得3
4
1
8a q a =
=，2q =．
所以11
132n n n a a q --==⋅(1,2,
)n =．
……………3分
又数列{}n n a b +是首项为4，公差为1的等差数列， 所以4(1)1n n a b n +=+-⋅．
从而1
(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,
)n =．
……………5分
（2）由（Ⅰ）知1
(3)32n n b n -=+-⨯(1,2,
)n =
数列{3}n +的前n 项和为
(7)
2
n n +． ……………7分
数列1
{32}n -⋅的前n 项和为
3(12)
32312
n n -=⨯--． ……………9分
所以，数列{}n b 的前n 项和为(7)
3232
n n n +-⨯+． ………10分
18．（12分）
解：由题意画出示意图，如图所示.-----------------2分 （1）ABD ∆中，由题意得60,45ADB B ∠=︒∠=︒， 由正弦定理得sin4524sin60AB AD ︒
=
=︒
(海里). -------7分
（2）在ACD ∆中，由余弦定理，
222222
3
2cos3024224832
CD AD AC AD AC =+-⨯︒=+-⨯⨯=⨯ 故CD =(海里).
所以A 处与D 处之间的距离为24海里；灯塔C 与D 处之间的距离为. --12分 19．（12分）
解：（1）因为1tan 22α
=，所以22tan
42tan 31tan 2
α
αα==- ----------------------3分
所以22sin 4
,(0,)cos 3
2sin cos 1απαααα⎧=⎪∈⎨⎪+=⎩
， 解得3
cos 5α= ------------------------------------6分 另解：
2
2
2
2
2222
221cos sin 1tan 1()32222cos cos sin 1225
cos sin 1tan 1()2222
ααα
αααααα---=-====+++
（2）由已知得
322
π
π
αβ<+<
，又5sin(),13αβ+=
所以12cos()13
αβ+=- -----------------------------------8分
又4sin 5
α== ------------------------9分
sin sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+
531246312()1341556513
=
⨯--⨯=> -----------------------12分
20．（12分）
解：(1)由已知得1111111
(),1,11n n n n n n n n
a a f a a a a a a +++==
∴=+∴-=+ ---------------4分 ∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是公差为1的等差数列． --------------------------------------------6分 （2）因为
111a =，所以11
1(1)1,n n n n a a n
=+-⨯=∴= --------------------------------8分 2n n b n =⨯
231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ （1）
234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+
+⨯（2） ---------------------------------10分
（2）-（1）：
23122222n n n S n +=----
-+⨯ -------------------------------------------11分
12(12)
212
n n n +-=-
+⨯- 1
1122
22(2)2n n n n n +++=-+⨯=+-⨯
即：1
2(2)2
n n S n +=+-⨯ ------------------------------------------------12分
21．（12分）
解：（1）(),(0)1x f x e m k f m ''=-==- ------------------------------------------2分 因为(0)1,f n =-所以切点为(0,1)n - ------------------------------------------3分 所以切线方程为(1)(1)(0)y n m x --=--， ------------------------------------------5分 过点(1,0)，所以(1)1,2n m m n --=-+= -------------------------------------------6分 （2）当0n =时，()x f x e mx =-无零点, 方程x e mx =
函数,x y e y mx ==无公共点 ---------------------------8分
如图,当两函数图象相切时,设切点为00(,)x
x e
0(),x x x y e e k e ''===所以切线方程为000()x x
y e e x x -=-, ------------------10分
过点(0,0),0000,1x x
e e x x -=-=
此时0x m e e ==,所以[0,)m e ∈ --------------------------------------12分 22．（12分） 解：（1）当1a =时，()2ln 1,g x x x =--定义域为(0,)+∞
22
()1x g x x x
-'=-
=
-------------------------------------------------3分 当(0,2)x ∈时，()0,()g x g x '<单调递减 当(2,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增
综上，()g x 的递减区间是(0,2)，递增区间是(2,)+∞ ---------------------------------5分
（2）由已知
1211221212
()()()[()]
10,0F x F x F x x F x x x x x x -+-++<<--
设()()G x F x x =+，则()G x 在(0,2]上单调递减 --------------------------------7分 ①当[1,2]x ∈时，()ln 0f x x =≥，
所以2
1()ln ,()101(1)b b
G x x x G x x x x '=++=-+≤++
整理：222(1)1
(1)33x b x x x x x
+≥++=+++
设21()33,h x x x x =+++则21
()230h x x x
'=+->在(1,2)上恒成立，
所以()h x 在[1,2]上单调递增，所以()h x 最大值是27(2)2h =，27
2
b ≥ ---------------10分
②当(0,1]x ∈时，()ln 0f x x =≤
所以2
1()ln ,()101(1)b b
G x x x G x x x x '=-++=--+≤++
整理：222(1)1
(1)1x b x x x x x
+≥-++=+--
设21()1,m x x x x =+--则21
()210m x x x
'=++>在(0,1]上恒成立，
所以()m x 在(0,1]上单调递增，所以()m x 最大值是(1)0,0m b =≥
综上，由①②得：27
2
b ≥ --------------------12分。