河南高三高中数学月考试卷带答案解析

河南高三高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.设全集I是实数集R,
都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为( )
A．B．C．D．
2.已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.已知命题p：（）
A．B．
C．D．
4.函数的图象是（）
5.在的切线中，斜率最小的切线方程为（）
A．B．C．D．
6.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（）
A．B．C．D．
7.以下四个命题中，其中正确的个数为（）
①命题“若”的逆否命题；②“”是“”的充分不必要条件③命题“若q≤1，则x2＋2x＋q＝
0有实根”的否命题；④若
A．1B．2C．3D．4
8.已知函数且是递增数列，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
9.已知都是正实数，函数的图象过（0,2）点，则的最小值是（）[
A．B．C．D．
10.若关于x的方程有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．
11.已知函数的导函数为，若对任意实数x，都有，则等于（）
A．1B．-1C．0D．1或-1,
12.现定义一种运算当m、n都是正偶数或都是正奇数时，当中一个为正奇数另一个为正偶数时，则集合中的元素个数是（）
A．B．26C．D．
二、填空题
1.已知
2.已知点P(x、y)满足不等式组，则的取值范围是 .
3.函数上为增函数，则实数的取值范围是 .
4.已知函数是上的偶函数，对任意，都有成立，当且
时，都有给出下列命题：
①且是函数的一个周期；②直线是函数的一条对称轴；③函数在
上是增函数；④函数在上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题
1.（本小题满分12分）已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前
项和；
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，证明：
2.（本小题满分12分）某批发市场对某商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
(1)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率；
(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望．
3.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC 的中点 (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值
(2)在线段AN上找点S，使得ES平面AMN，并求线段AS的长；
4.已知椭圆的离心率，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、．是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
5.（本小题满分12分）已知函数,
（Ⅰ）试用含的式子表示b，并求函数的单调区间；
（Ⅱ）已知为函数图象上不同两点，为的中点，记AB两点连线斜率为K，证明：
6.选修4－1：几何证明选讲如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.
（Ⅰ）求证：FB=FC；
（Ⅱ）求证：FB2=FA·FD；
7.选修4－5：不等式证明选讲已知函数．
（Ⅰ）试求的值域；(Ⅱ)设，若对，，恒成立，试求实数的取值范围
河南高三高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.设全集I是实数集R,
都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，则，则阴影部分所表示的集合为，故选D．
2.已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】因为，所以复数在复平面内的对应点位于第二象限，故选B．
3.已知命题p：（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】命题P是全称命题，则命题是存在性命题，因此．故选C．
4.函数的图象是（）
【答案】A
【解析】函数是定义在R上的偶函数，再利用描点法即可画出函数的图象即为选择支A．
5.在的切线中，斜率最小的切线方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，则当时，；因此曲线在
处的切线斜率最小，又，则曲线在处的切线方程为，即，这就是在曲线的切线中，斜率最小的切线方程．故选D．
6.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数在上是增函数；函数不具有奇偶性；函数是偶函数．只有在定义域上是奇函数，且在上减函数．故选C．
7.以下四个命题中，其中正确的个数为（）
①命题“若”的逆否命题；②“”是“”的充分不必要条件③命题“若q≤1，则x2＋2x＋q
＝0有实根”的否命题；④若
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】①命题“若”是真命题，则它的逆否命题也是真命题；②由可得，但由，却得不到，因此“”是“”的充分不必要条件是真命题；③命题“若q≤1，则x2＋2x＋
q＝0有实根”的否命题为“若，则x2＋2x＋q＝0没有实根”，因为当时，方程的根的判别式，所以方程没有实根，则命题“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的否命题是真命题；④若为假，则至少一个为假；若为真，则至少一个为真．因此“若
”是真命题．因此①②③④都是真命题，故选D．
8.已知函数且是递增数列，那么实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，故选C．
9.已知都是正实数，函数的图象过（0,2）点，则的最小值是（）[ A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，即，又都是正实数，则
（当且仅当，即，时，上式取等号），则的最小值是．故选A．10.若关于x的方程有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程即为，则方程有两个不相等的实数解，即为函数与的图象有两不同的交点．画出与的图象即可得到实数
m的取值范围是．故选D．
11.已知函数的导函数为，若对任意实数x，都有，则等于（）
A．1B．-1C．0D．1或-1,
【答案】A
【解析】由题意得，又对任意实数x，都有，则是奇函数，所以，则，所以，则（），所以
=1，故选A。

12.现定义一种运算当m、n都是正偶数或都是正奇数时，当中一个为正奇数另一个为正偶
数时，则集合中的元素个数是（）
A．B．26C．D．
【答案】D
【解析】当都是正偶数或都是正奇数时，由得数组分别为，,,…,,共35组；当中一个为正奇数另一个为正偶数时，由得数组分别为,,, ,,共6组。

因此集合M中共有个元素。

故选D。

二、填空题
1.已知
【答案】
【解析】因为，所以。

2.已知点P(x、y)满足不等式组，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】可以看着PO的距离，画出不等式组所表示的平面区域，可得
，，则的取值范围是。

3.函数上为增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设由题意得，解得。

4.已知函数是上的偶函数，对任意，都有成立，当且
时，都有给出下列命题：
①且是函数的一个周期；②直线是函数的一条对称轴；③函数在
上是增函数；④函数在上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确
命题的序号都填上）
【答案】①②④
【解析】由及是上的偶函数得，，令得，，则；因此，所以是函数的一个周期；则①正确。

由是上的偶函数得的图象关于轴对称，则直线是函数的一条对称轴；则②正确。

由当且时，都有得到函数在上是增函数，而是上的
偶函数，所以在上是减函数，又是函数的一个周期，所以函数在上是
减函数；则③不正确。

由，得，则，。

因此函数在上有四个零点。

则④正确。

三、解答题
1.（本小题满分12分）已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前
项和；
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前n项和，证明：
【答案】（1），。

(2)证明略
【解析】（1）由题意得，公差…………2分
所以………………………………4分
由，
…………………………6分
得，则数列是以为首项，为公比的等比数列，所以……8分
（2）由（1）得
2.（本小题满分12分）某批发市场对某商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
(2)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望．
【答案】(1)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3 .
(2)
P。

【解析】（1）周销售量为2号，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3. ……3分
（11）该商品两周可能销售4、5、7、8吨，所以
的可能值为8、10、12、14、16，且
的分布列为
P
（千元）…12分
3.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，，且MD=NB=1，E为BC 的中点 (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值
(2)在线段AN上找点S，使得ES平面AMN，并求线段AS的长；
【答案】(1) 。

(2)。

【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标
依题意，得．
，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
………………………（6分）
（2）设是线段上的点，使得平面.
, 则
又.
由平面，得即
故，此时.
经检验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时…………12分
4.已知椭圆的离心率，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、．是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）。

（Ⅱ）不存在符合题意的常数，理由略。

【解析】（1）椭圆方程是……4分
（Ⅱ）由已知条件，直线:，代入椭圆方程得．
整理得①
由已知得，解得或……6分
设，则，
由方程①，．②
又．③
而，，,
所以共线等价于，
将②③代入上式，解得,……10分
又或，故没有符合题意的常数．………………12分
5.（本小题满分12分）已知函数,
（Ⅰ）试用含的式子表示b，并求函数的单调区间；
（Ⅱ）已知为函数图象上不同两点，为的中点，记AB两点连线斜率为K，证明：
【答案】（Ⅰ），函数单调增区间是，单调减区间是。

（Ⅱ）证明略。

【解析】（Ⅰ），
∴函数单调增区间是，单调减区间是。

……6分
（Ⅱ）因A、B在
假设
即……………………8分
即令
，在上是增函数，…………10分
，所以假设不成立，
故．……12分
6.选修4－1：几何证明选讲如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.
（Ⅰ）求证：FB=FC；
（Ⅱ）求证：FB2=FA·FD；
【答案】（Ⅰ）证明略。

（Ⅱ）证明略
【解析】（Ⅰ）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．
∵四边形AFB C内接于圆，∴ÐDAC=ÐFBC．
∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，
∴FB=FC． -----（5分）
（Ⅱ）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC，ÐAFB=ÐBFD，
∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，∴FB2=FA·FD．-----（10分）
7.选修4－5：不等式证明选讲已知函数．
（Ⅰ）试求的值域；(Ⅱ)设，若对，，恒成立，试求实数的取值范围
【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ)
【解析】（Ⅰ）函数可化为,………5分
(Ⅱ) 若，则，即当时，，又由（Ⅰ）知．……………………8分
若对，，恒有成立，即，，即a的取值范围是．…………………10分。