【专业资料】新版高中数学北师大版必修1习题：第一章集合 1.1.1 含解析

01第一章
集合
§1集合的含义与表示
第1课时集合的含义
课时过关·能力提升1给出下列说法:
①地球周围的行星能构成一个集合;
②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;
③集合A为{1,2,3},集合B为{1,3,2},是不同的集合.
其中正确的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满足集合元素的确定性.
②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合.
③是错误的,因为集合中的元素是无序的.
答案:B
2已知集合M中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()
A.-1∉M
B.-11∈M
C.3k2-1∈M
D.-34∉M
∉Z;C正确,因为3k2-1=3k-1,解得k=0或k=1,满解析:A错,当k=0时,-1∈M;B错,若3k-1=-11,则k=-10
3
足条件;D错,当k=-10时,-34∈M.故选C.
答案:C
3集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).下列选项中元素与集合的关系都正确的是()
A.2∈A,且2∈B
B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B
C.2∈A,且(3,10)∈B
D.(3,10)∈A,且2∈B
答案:C
4已知集合A 含有两个元素a-3和2a-1,若a ∈A ,则实数a 的值是( )
A.-3
B.0或1
C.1
D.-1
解析:由于a ∈A ,则a=a-3或a=2a-1.若a=a-3,则有-3=0,不成立;若a=2a-1,则a=1,此时集合A 中的两个元素是-2,1,符合题意.
答案:C
5已知集合M 中含有3个元素0,x 2,-x ,则x 满足的条件是( )
A.x ≠0
B.x ≠-1
C.x ≠0且x ≠-1
D.x ≠0且x ≠1
解析:由{x 2≠0,
x 2≠-x ,-x ≠0,
解得x ≠0且x ≠-1.故选C .
答案:C
6集合A 中有3个元素1,2,3,集合B 中有2个元素4,5,设集合M 中的元素x 满足x=a+b ,a ∈A ,b ∈B ,则M 中元素的个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:因为集合A 为1,2,3,集合B 为4,5,集合M 中的元素满足x=a+b ,a ∈A ,b ∈B ,所以a+b 的值可能为1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以集合M 中的元素有5,6,7,8,共4个,故选B . 答案:B
7若已知-5是x 2-ax-5=0的根,集合M 中的元素为方程x 2-4x-a=0的根,则集合M 中所有元素之和为 .
解析:把-5代入方程x 2-ax-5=0,得a=-4,将a=-4代入方程x 2-4x-a=0得x 2-4x+4=0,故集合M 中的元素即为2.因此所有元素之和为2.
答案:2
8设a ,b 为非零实数,则x=a
|a |+b |b |+ab |ab |的所有值组成的集合中的元素为 .
解析:当a<0,b<0时,ab>0,则x=-1-1+1=-1;
当a<0,b>0时,ab<0,则x=-1+1-1=-1;
当a>0,b>0时,ab>0,则x=1+1+1=3;
当a>0,b<0时,ab<0,则x=1-1-1=-1.
故x=-1或x=3.所以由x 的所有值构成的集合中的元素为-1,3.
答案:-1,3
9已知集合A 的元素满足条件x=m+n √2,n ,m ∈Z .
(1)设x 1=3-4√2
,x 2=√9-4√2,判断x 1,x 2与集合A 之间的关系;
(2)任取x 3,x 4∈A ,判断x 3+x 4与集合A 之间的关系.
解(1)∵x 1=3-4√2=-323
−4√223,∴x 1∉A , ∵x 2=√(2√2)2-4√2+1=-1+2√2,∴x 2∈A.
(2)x 3,x 4∈A ,设x 3=m 1+n 1√2,x 4=m 2+n 2√2(m 1,n 1,m 2,n 2∈Z ).
则x 3+x 4=m 1+√2n 1+m 2+√2n 2=(m 1+m 2)+(n 1+n 2)√2,
∵m 1,n 1,m 2,n 2∈Z ,∴m 1+m 2,n 1+n 2∈Z ,
∴x 3+x 4∈A.
10设集合A 的元素为2,3,a 2+2a-3,集合B 的元素为|a+3|,2.已知5∈A ,且5∉B ,求a 的值. 解∵5∈A ,∴a 2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.
又5∉B ,∴|a+3|≠5,
解得a ≠2,且a ≠-8.
∴a=-4.
★11已知方程ax 2-3x-4=0的解组成的集合为A.
(1)若A 中有两个元素,求实数a 的取值范围.
(2)若A 中至多有一个元素,求实数a 的取值范围.
解(1)因为A 中有两个元素,所以方程ax 2-3x-4=0有两个不等的实数根,所以{a ≠0,Δ=9+16a >0,
即a>-916且a ≠0.
所以实数a 的取值范围为a>-916
,且a ≠0.
(2)当a=0时,由-3x-4=0得x=-43;
当a ≠0时,若关于x 的方程ax 2-3x-4=0有两个相等的实数根,则Δ=9+16a=0,即a=-916;
若关于x 的方程无实数根,则Δ=9+16a<0,即a<-916,故所求的a 的取值范围是a ≤-916或a=0. ★12已知集合A 的元素全为实数,且满足当a ∈A 时,1+a 1-a ∈A. (1)若2∈A ,则A 中一定还有哪些元素?
(2)0是不是集合A 中的元素?请你设计一个实数a ∈A ,再求出A 中的所有元素.
(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?
解(1)当2∈A 时,依次代入1+a
1-a ,计算可得,
1+21-2=-3∈A ,1-31+3=-12
∈A , 1-121+12=13∈A ,1+131-13=2∈A ,…… 结果循环出现,故A 中一定还有-3,-12,13.
(2)0不是集合A 中的元素.
若0∈A ,则1+01-0=1∈A ,而此时1+11-1没有意义,与条件1+a 1-a ∈A 矛盾,故0不是集合A 中的元素. 若a=3,则集合A 的元素为3,-2,-13,12.
(3)根据(1)(2)可得出如下结论:A 中不含0,1,-1;若a ∈A ,则其负倒数也属于A.。