高考专题甘肃省天水市秦安县第二中学高三下学期第三次模拟考试

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）
甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试
数学试题(文科)
（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。

并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}0,1M =，{}0,1-=N ,则=N M
A. {}1,0,1-
B. {}1,1-
C. {}0
D. φ 2.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x ，－4)，若a ∥b ，则x = A ．4
B ．－4
C ．2
D ．2-
3. 设a,b ∈R,则“a ≥1且b ≥1”是“a+b ≥2”的 A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
正视图俯视图侧视图
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4. 公比为2的等比数列错误！未找到引用源。

的各项都是正数，且错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于（）
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

5.以下是某个几何体的三视图（单位：cm）,则该几何体的体积是（）
错误！未找到引用源。

2错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

3错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

4错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

5错误！未找到引用源。

6．给出以下命题
①数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和错误！未找到引用源。

，
则错误！未找到引用源。

是等差数列；
②直线错误！未找到引用源。

的方程是错误！未找到引用源。

，则它的方向向量是错误！未找到引用源。

；
③向量错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

方向上的投影是1；
④三角形错误！未找到引用源。

中，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

；以上正确命题的个数是（）
错误！未找到引用源。

3 错误！未找到引用源。

2 错误！未找到引用源。

1 错误！未找到引用源。

0
7．已知错误！未找到引用源。

是平面错误！未找到引用源。

的一条斜线，点错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

为过点错误！未找到引用源。

的一条动直线，则下列情形可能出现的是（）错误！未找到引用源。

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∥错误！未找到引用源。

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错误！未找到引用源。

∥错误！未找到引用源。

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∥错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∥错误！未找到引用源。

8. 已知实数错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

,则下列关系式恒成立的是（）
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

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错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

9．执行如图所示的程序框图，输出的错误！未找到引用源。

值是（）
错误！未找到引用源。

1 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

10．设错误！未找到引用源。

为等差数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和，若错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

的值为
错误！未找到引用源。

5 错误！未找到引用源。

6 错误！未找到引用源。

7 错误！未找到引用源。

8
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11. 已知(1＋2i)z ＝3－i(i 为虚数单位)，则复数z = . 12. 某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，
抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取 名学生.
高一 高二 高三 女生 373
m
n
男生
377 370 p
13.设32()32f x ax x =++，若f （x ）在x =1处的切线与直线330x y ++=垂直，则实数a 的 值为 ．
14.为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数 分别为6、12、18。

若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数 为 。

15.一空间几何体的三视图如右图所示， 该几何体的体积为85
123
π+
， 则正视图与侧视图中x 的值为 .
16.给出以下四个结论： ① 函数21
()1
x f x x -=
+的对称中心是(1,2)-； ② 在△ABC 中，“A B >”是“cos2cos2A B <”的充分不必要条件；
③ 在△ABC 中，“cos cos b A a B =”是“△ABC 为等边三角形”的必要不充分条件； ④ 若将函数()sin(2)3
f x x π
=-的图像向右平移(0)φφ>个单位后变为偶函数，则φ的最小
值是
12
π
.其中正确的结论是： （写出所有的正确结论的序号） 三、解答题：（本大题共6个小题，75分）解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
已知向量)sin 2,sin (),cos 3,sin 2(x x q x x p -== ，函数q p x f
⋅=)( (1)求 )(x f 的单调递增区间；
(2)在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且32,1,1)(===ab c C f ，且a >b ， 求b a ,的值．
17. （本小题满分12分）
有编号为12,A A ，…，10A 的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间［1.48，1.52］内的零件为一等品.
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个.
(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
(ii)求这2个零件直径相等的概率
18．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中，0
90
=
∠ADC，CD∥AB，4
=
AB，2
=
=CD
AD，将ADC
∆沿AC 折起，使平面⊥
ADC平面ABC，得到几何体ABC
D-，如图2所示．
(1)求证：⊥
BC平面ACD；
(2)求几何体ABC
D-的体积．
19.（12分）
在锐角ABC
∆中，
222cos()
sin cos
b a
c A C
ac A A
--+
=
（1）求角A；（5分）（2）若2
a=，求bc的取值范围。

（7分）
20.（13分）
已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的焦点是(3,0)
-、(3,0)，且由椭圆上顶点、右焦点和原点组成的三角形面积为
3
2。

（1）求椭圆C 的方程；（5分）
（2）设(0,4)P ,M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的任意两个不同的点，连接PN 交椭圆C 于另一点E,证明：直线ME 与y 轴相交于定点。

（8分）
21.（14分）
设函数)1(ln )(2
-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2
+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y 。

（1）求a ，b 的值；（3分）
（2）证明：当1≥x 时，2
)1()(-≥x x f ；（5分）
（3）若当1≥x 时，2
)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围。

（6分）
数学试题(文科)参考答案
一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.B 6.C 7.A 8.C 9.B 10.D 二、11. 17
55
i - 12. 16 13.1- 14.4 15. 3 三、 16. 解：
(1)f (x )＝－2sin 2
x ＋23sin x cos x ＝－1＋cos 2x ＋23sin x cos x
＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin(2x ＋π
6
)－1 ………………………………3分
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
∴f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． ………………………………6分 (2)∵f (C )＝2sin(2C ＋π
6
)－1＝1，
∴sin(2C ＋π
6
)＝1，
∵C 是三角形的内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π
6
………………………………8分
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32
，即a 2＋b 2
＝7.
将ab ＝23代入可得a 2＋12a
2＝7，解得a 2
＝3或4.
∴a ＝3或2，∴b ＝2或 3.
∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3 ………………………………12分 17. 解：
（1）由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则63
()105
P A =
=． ………………………………4分 （2）（i ）解：一等品零件的编号为654321.....A A A A A A ．从这6个一等品零件中随机抽取2
个
，
所
有
可
能
的
结
果
有
：
{}12,,A A {}13,,A A {}14,,A A {}15,,A A {}16,,A A {}32,A A ,{}42,A A ,{}52,A A ,{}
62,A A ,{}43,A A ,{}53,A A ,{}63,A A ,{}54,A A ,{}64,A A ,{}65,A A .共15种.
……………………………8分 (ii)解“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能结果有：{}14,,A A {}16,,A A {}64,A A ,{}32,A A ,{}52,A A ,{}53,A A ,共有6种. 所以5
2
156)(==B P . ………………………………12分 18. 解：
（1）证明：在图1中，可得22==BC AC ，从而2
22AB BC AC =+，故BC AC ⊥，
方法一：取AC 的中点O ，连接DO ，则AC DO ⊥，又平面ADC ⊥平面ABC ，平面
ADC 平面AC ABC =，⊂DO 平面ADC ，从而⊥DO 平面ABC
∴BC DO ⊥，又BC AC ⊥，O DO AC = ，∴BC ⊥平面ACD ……………6分 （方法二：ABC ADC 平面平面⊥
AC ABC ADC =∴平面平面 ABC BC BC AC 平面⊂⊥,
ADC BC 平面⊥∴……………6分）
(2)解 由(Ⅰ)知BC 为三棱锥ACD B -的高，22=BC ，2=∆ACD S ∴3
242223131=⨯⨯=⋅=
∆-BC S V ACD ACD B
由等体积性可知，几何体ABC D -的体积为
3
2
4。

………………………12分 19.（1）由2222cos a c b ac B +-= 2cos cos()
sin cos ac B B ac A A
π--⇒=
sin 21A ∴=且02
A π
<<
4
A π
⇒=
5分
（2）1350904590090B C B C C +=︒
⎧⎪
︒<<︒⇒︒<<︒⎨⎪︒<<︒⎩
又
2sin sin sin b c a
B C A
=== 2sin ,2sin b B c C ∴==
2sin(135)2sin bc C C =︒-⋅ 2sin(245)2C =-︒+
2
45245135sin(245)12
C c ︒<-︒<︒⇒
<-︒≤ (22,22]bc ∴∈+ 12分
20.解：（1）设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的上顶点、右顶点和原点分别为,,B A O ，半焦
距为,3c c =
，13322
ABO
S
b == ，1b ∴= 2224a b
c ∴=+=
所以所求椭圆C 的方程为2
214
x y += 5分
（2）设11(,)N x y 、22(,)E x y 、11(,)M x y -,直线PN 的方程为4y kx =+，则
由22
14x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得：22(14)32600k x kx +++= 7分 1212
22
3260
,1212k x x x x k k -+=
=++ 8分
21
2121
:()ME y y l y y x x x x -∴-=
-+直线 9分 21112
21
11212
211212121212()04)4)24()=
12014324
y y x x y x y x y y x x x x x kx x kx kx x x x x x x x -+∴==
+=+++++++=++=
+=- 当时，（（ 12分 所以直线ME 与y 轴相交于定点1
(0,)4
13分 21.解：(1)()2ln f x a x ax b '=++，
(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ． 3分
(2)2
()ln 1f x x x x =-+，
设2
2
()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+
(())2ln 0g x x ''=>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，
∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=． ∴2()(1)f x x ≥-． 8分
（3）设2
2
()ln (1)1h x x x x m x =---+，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---， 在(2) 中知2
2
ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，
∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---， 11分
①当023≥-m 即2
3
≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，成立．
②当320m -<即2
3
>
m 时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=+--， (())2ln 32h x x m ''=+-，令(())0h x ''=，得232
01m x e
-=>，
当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立．
3
m． 14分
综上，
2。