三次函数的有关性质

【例 1】（2021 届贵州省凯里市高三三模）已知函数 f ( x) = x3 − 3kx + 2, k R .
（1）若 x = −2是函数 f ( x) 的极值点,求 k 的值及 f ( x) 的单调区间；
（2）若函数 f ( x) 在0, 2 上有且仅有 2 个零点,求 f ( x) 在0, 2 上的最大值 g (k ) .
的图象应为上图中的（1）、（3）、（5）三种情况；而当 a 为负时,原函数的图象则为（2）、（4）、（6）三种情
况.当 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相异实根 x1 , x2 ,且在 x1 , x2 的两边 f (x) 的符号相反,故函数 f (x) 存
在两个极值点,图象为上图中的（3）、（4）两种；当 = 0 时,二次方程 f (x) = 0 有两相等实根,且在根的两
三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 的图象有六种,如图：
200
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
200
10
0
x
200
f(x) 0
图(1)
10
图(3)
10
图(5)
f(x) 0 200 10
图(2)
0
10
x
200
f(x) 0 200 10
200 f(x) 0
三次函数的性质
一、考情分析 函数与导数一直是高考中的热点与难点, 我们知道二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数,,学生 对此已有较为全面、系统、深刻的认识,并在某些方面具备了把握规律的能力,由于三次函数的导数是二次函 数,使得我们可以利用二次函数研究三次函数的图象与性质,这使得三次函数成为高考数学的一大亮点. 二、解题秘籍 (一) 三次函数的图象与性质
边 f (x) 的符号相同,这时函数 f (x) 只存在驻点（但不是极值点）,函数的图象为上图中（1）、（2）两种,当
0 时；方程 f (x) = 0 无实根, f (x) 的值恒为正（或负）,函数的图象为上图中的（5）、（6）两种.
仔细观察图象,我们还不难发现三次函数是中心对称曲线,这一点可以得到进一步的验证:设
3a
性质刚好与图象吻合.除此,三次函数的对称中心还有一个很少引起注意的性质---过三次曲线的对称中心且 与该三次曲线相切的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条. 由于三次曲线都是中心对称曲线,因此,将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为
f (x) = ax3 + bx.
f ( x) 在0, 2 上单调递增,最多只有1个零点,不符合条件.
②当 k 4 时, f ( x) 在0, 2 上单调递减,最多只有1个零点,不符合条件.
( ) ( ) ③ f (x) 在 0, k 上递减,在 k , 2 上递增,
要使函数 f ( x) 在区间0, 2 上有且仅有 2 个零点,必有
若 M（x1,y1）是三次曲线 f (x) = ax3 + bx 上的任一点,设过 M 的切线与曲线 y=f（x）相切于（x0,y0）,则切
线 方 程 为 y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) , 因 点 M 上 此 切 线 上 , 故 y1 − y0 = f (x0 )(x1 − x0 ) , 又
y0 = ax03 + bx0 , y1 = ax13 + bx1 , 所 以 ax13 + bx1 − (ax03 + bx0 ) = (3ax02 + b)(x1 − x0 ) , 整 理 得 ：
(x0
−
x1 )2 (2x0
+
x1 )
=
0 ,解得, x0
=
x1 或 x0
=
−
x1 2
.
综上所述,当点 M 是对称中心即 x1 = 0 时,过点 M 作曲线的切线切点是惟一的,且为 M,故只有一条切线；当
【分析】（1）由 f ( x) = 3x2 − 3k ,得 f (−2) = 12 − 3k = 0 ,解得 k = 4 ,
f ( x) 的单调增区间是 (−, −2) 和 (2, +) ,单调减区间为(−2, 2) .
（2） f ( x) = 3( x2 − k ) ,
①当 k 0 时, f ( x) = 3( x2 − k ) 0 恒ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ立,
3a n = am3 + bm2 + mc + d ,从而三次函数是中心对称曲线,且由 n = f (m) 知其对称中心 (m, f (m)) 仍然在曲 线上.而 m = − b 是否具有特殊的意义？对函数 f (x) 进行两次求导, f (x) = 6ax + 2b 再令等于 0,得
3a x = − b ,恰好是对称中心的横坐标,这可不是巧合,因为满足 f (m) = 0 的 m 正是函数拐点的横坐标,这一
f (m − x) + f (m + x) = 2n ,得
[a(m − x)3 + b(m − x)2 + c(m − x) + d] + [a(m + x)3 + b(m + x)2 + c(m + x) + d] = 2n 整 理 得 , (6ma + 2b)x2 + (2am3 + 2bm2 + 2mc + 2d ) = 2n . 据 多 项 式 恒 等 对 应 系 数 相 等 , 可 得 m = − b 且
图(4)
0
10
x
图(6)
200
10
0
10
x
200
10
0
10
x
对函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) 进行求导： f (x) = 3ax2 + 2bx + c 是二次函数,原函数的极值点与
单调性与导函数的正负有关,所以容易发现导函数中的参数 a 与 的符号起决定性作用.当 a 为正时,原函数
点 M 不是对称中心即 x1 0 时,过点 M 作曲线的切线可产生两个不同的切点,故必有两条切线,其中一条就是
以 M 为切点（亦即曲线在点 M 处）的切线. 由此可见,不仅切线与曲线的公共点可以多于一个,而且过曲线上点的切线也不一定惟一求以曲线上的点
(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数 f(x)的导数 f′(x)；②求切线的斜率 f′(x0)；③写出切线方 程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．