文科数学- 全国名校2021年高三5月大联考(新课标Ⅲ卷)(全解全析)

2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷）
文科数学·全解全析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】由1)10()(x x -+>可得1x <-或1x >，所以集合{|1M x x =<-或1}x >， 又集合20{|}N x x =-<<，所以2|}1{M N x x =-<<-，故选C ．
2．D 【解析】由题可得43i (43i)(1i)17i 1i (1i)(1i)22z +++==+-+=
-，所以17
i 22
z =-，所以1z z +=，故选D ． 3．C 【解析】对于A ：因为2213
||1(||)024x x x -+=-+>恒成立，所以2,||10x x x ∀∈-+≤R 是假命题；
对于B ：当3x π=
时，
12cos x =，所以1
,11cos x x
∀∈-≤≤R 是假命题； 对于C ：当01x =时，0ln 0x =，所以200,(ln )0x x ∃∈≤R 是真命题； 对于D ：因为1sin 1x -≤≤，所以00,sin 3x x ∃∈=R 是假命题，故选C ．
4．B 【解析】由题可得，样本数据在[20,30)，[30,40)，[50,60]内的频率之和为10.70.3-=，又[20,30)，[30,40)对应的频数分别为4，5，所以样本数据在[50,60]内的频数为500.3456⨯--=，故选B ．
5．B 【解析】因为1cos()3θπ+=，所以1cos 3θ=-，又θ是第二象限角，所以sin θ=
所以1cos tan 2sin θθ
θ
-=
=B ． 6．D 【解析】由题可得函数()f x 的定义域为R ，且3e ()()()e x x f x f x x -=-+-=-，所以函数()f x 是奇函数，由此可排除选项A 、B ；当0x >时，3e ()()e 0x x f x x -=+>，由此可排除选项C ，故选D ． 7．B 【解析】因为以OM 为直径的圆经过抛物线C 的焦点F ，所以OF MF ⊥， 又()0,6F ，所以点M 的纵坐标为6，所以24
||6124
MF =+=，故选B ． 8．C 【解析】由题可知该几何体是半径为3的球的
14，所以该几何体的体积为3
143943
⨯π⨯=π，故选C ．
9
．B 【解析】=，可得sin sin B AC A BC ==，因为3A π=，所以sin B A ==，又AC BC <，所以3B A π<=
，所以4B π=，所以53412
C πππ
=π--=，故选B ． 10．D 【解析】因为函数()f x 的零点为x 轴上的所有整数，所以函数()f x 的最小正周期2T =，所以
2T ωπ=
=π，且(0)2sin 0f ϕ==，结合44
ϕππ
-<<，可得0ϕ=，所以()2sin f x x =π．作出函数()f x 与函数()g x 的图象，如下图所示，可知函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有11个交点，故选D ．
11．C 【解析】在ABC △中，由3tan 2BAC ∠=
可得27
cos 7
BAC ∠=，所以由余弦定理可得2222(7)BC =+ 27
22737
-⨯⨯⨯
=，
所以3BC =，所以222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥．如图，当PA ⊥平面ABC 时，三棱锥P ABC -的体积最大．把三棱锥P ABC -放在长方体中，可知三棱锥P ABC -的外接球的半径222222
2(3)3222
(2)AB BC AP R ++++===，则该三棱锥的外接球的体积为3439()322ππ⨯=
，故选C ．
12．A 【解析】构造函数1(),(0,)e x x f x x +=∈+∞，则2e (1)e ()0e e
x x x
x x x
f x -+'==-<， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，因为(0,)4x π∈，所以22
0sin cos 12cos 2x x x <<<<<<，
所以2(2cos )(cos )(sin )f x f x f x <<，所以a b c <<，故选A ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．1- 【解析】由题可得ln 3y'x =+，令ln 33x +=，解得1x =，将1x =代入ln ()2y x x =+，可得2y =，
所以点(1,2)在直线3y x b =+上，所以23b =+，解得1b =-，故答案为1-．
14．6- 【解析】设2z x y =-，则2y x z =-，求z 的最小值，即求直线2y x z =-纵截距的最大值，
作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，易知2z x y =-在点B 处取得最小值， 由330
2360x y x y ++=⎧⎨-+=⎩
可得(3,0)B -，所以min 2(3)06z =⨯--=-，故答案为6-．
15．
23
2
【解析】因为(23)()+⊥-a b a b ，所以22(23)()230+⋅-=+⋅-=a b a b a a b b ， 又||2=a
，||=b ，
所以222230⨯+⋅-⨯=a b ，所以2⋅=-a b ，
则向量-在向量b 方
向上的投影为
2()2344||||2-+
⋅-⋅===b b b b ，故答案为232
． 16．22
126
x y -= 【解析】方法一：因为以双曲线E 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为4，
所以142ab ⨯=
ab =O 为坐标原点，不妨设点A 在第一象限，易知tan b
AOF a
∠=，
因为FA AB =，所以BOA AOF ∠=∠，所以2
2tan tan tan 21tan AOF b
BOF AOF AOF a
∠∠=∠=
=--∠， 所以2
21()b b a b a a
⨯
=-
-
，化简可得b a
，所以ab b a ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得222,6a b ==，
所以双曲线E 的标准方程为22126x y -
=，故答案为22
126
x y -=． 方法二：因为以双曲线E
的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为
所以1
42
ab ⨯=
ab =O 为坐标原点，双曲线E 的左焦点为1F ，
因为FA AB =，所以160AOF BOA BOF ∠=∠=∠=︒，
所以b a
，所以ab b a
⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得222,6a b ==，
所以双曲线E 的标准方程为22126x y -
=，故答案为22
126
x y -=． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 由48S a =，可得11467a d a d +=+，（1分） 即13d a =，（2分）
所以214a a =，411310a a d a =+=，911825a a d a =+=，（3分）
所以2
241100a a =，122911425100a a a a a =⨯=，（4分） 所以22
49a a a =，且a 1≠0，（5分）
所以2a ，4a ，9a 成等比数列．（6分）
（2）由（1）知13d a =，因为12a =，所以163d a ==，（7分）
所以(1)
262
m m m m S -+
⨯=（8分） 23(31)m m m m =-=-，（9分）
因为200m S ≤，所以(31)200m m -≤，（10分） 因为当8m =时，(31)184m m -=；当9m =时，(31)234m m -=，（11分） 所以正整数m 的最大值为8．（12分） 18．（12分）
【解析】（1）补充完整的22⨯列联表如下：
浪费小于5kg 的天数
浪费不小于5kg 的天数
总计 采取措施前40天 23 17 40 采取措施后40天
37 3 40 总计
60
20
80
（3分）
因为2
K 的观测值80(2333717)60204040k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯（4分）
19613.067>10.82815
=≈，（5分） 所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，能判断食品浪费情况与是否采取措施有关．（6分） （2）由题可知，采取措施后40天的日浪费食品量小于4kg 的频率为
1215627
0.875408
+++==，（7分）
所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，日浪费食品量小于4kg 的概率为0.875．（8分） （3）该酒店采取措施前40天的日浪费食品量的平均数为
1
(0.51 1.52 2.52 3.54 4.514 5.514 6.527.51)40
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（9分） 4.575(kg)=，（10分）
该酒店采取措施后40天的日浪费食品量的平均数为
1
(0.512 1.515 2.56 3.52 4.52 5.51 6.517.51) 1.975(kg)40
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，（11分） 因为(4.575 1.975)365949(kg)-⨯=，
所以估计该酒店倡导节约、采取措施后，一年能节省949kg 食品．（12分） 19．（12分）
【解析】（1）因为,B A 分别是上、下底面的圆心，四边形EFGH 是圆柱的轴截面，（1分） 所以FB EA ∥且FB EA =，（2分） 如图，连接MN ，BN ，
因为,M N 是下底面半圆周上的三等分点，所以MN EA ∥且MN EA =，（3分）
所以FB MN ∥且FB MN =，所以四边形MNBF 是平行四边形，所以FM BN ∥，（4分）
因为FM ⊄平面PAN ，BN ⊂平面PAN ，（5分） 所以FM ∥平面PAN ．（6分）
（2）如图，连接AM ，PM ，由（1）知FM ∥平面PAN ， 所以FM 上任意一点到平面P AN 的距离都相等，（7分） 则三棱锥F PAN -的体积F PAN M PAN V V --=（8分）
P AMN V -=．（9分）
因为圆柱的底面半径为2、高为4，P 是线段AB 的中点，
所以三棱锥F PAN -的体积2112sin 23F PAN P AMN V V --π
==⨯⨯⨯⨯（11分）
23
=．（12分） 20．（12分）
【解析】（1）由题可知，当点M 与椭圆E 的上顶点或下顶点重合时，12F MF △的面积最大，（2分）
设1(,0)F c -，2(,0)F c ，因为12F MF △的面积的最大值为2，所以2bc =，2
12sin 212
a F MF ∠=，（3分）
又123cos 05F MF ∠=-<，所以c b >，124sin 5F MF ∠=，则222514
a ⨯=，解得5a ，（4分）
由222
5bc b c =⎧+=⎨⎩，结合c b >，可得12b c ==⎧⎨⎩，所以椭圆E 的标准方程为2
215x y +=．（5分）
（2）设直线AB 的方程为y x t =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由||1t >及四边形ABCD 1010
，可知点A ，B 位于y 轴同侧，（6分） 且
12121212|2|||1010
|||22|x x y y x x x x ⋅⋅=
+-=+-（7分） 将y x t =-代入2
215
x
y +=，消去y 可得22610550x tx t -+-=，（8分）
则1253t x x +=，21255
6t x x -=，且222100245()5120200t t t ∆--=->=，即216t <<，（9分）
所以21212251010
|||||(553643)5t t x x x x t ⋅-⨯--+=10分） 整理可得42680t t -+=，解得22t =或24t =，即2t =2t =±，（11分） 所以直线AB 的方程为2y x =+或2y x =或2y x =+或2y x =-．（12分）
21．（12分）
【解析】（1）当12b =-时，2
1()ln 2
f x ax x =--，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1分） 则2121
()2ax f x ax x x
-'=-=，当0a ≤时，1(1)02f a =-<，不符合题意；（2分）
当0a >时，令()0f x '<，解得0x <<；令()0f x '>，解得x >
所以函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，（3分）
所以min 1111
()ln(2)ln(2)2222
f x f a a ==+-=，（4分） 因为()1f x ≥恒成立，所以1ln(2)12a ≥，解得2
e 2
a ≥，故a 的最小值为2e 2．（5分）
（2）当1b =-时，2()ln 1f x ax x =--，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（6分）
由2ln 10ax x --=，可得21ln x a x +=，令
2
1ln (),(0,e]x
h x x x +=∈，（7分） 则原问题等价于直线y a =与函数()h x 的图象有两个交点．（8分）
易得
3
12ln ()x
h'x x +=-
，令()0h'x >，解得0x <；令()0h'x <e x <≤，（9分） 所以函数()h x 在
上单调递增，在上单调递减，所以max e
()2h x h ==，（10分）
因为24(e )e 0h -=-<，2
21ln e 2
(e)e e
h +==， 所以当直线y a =与函数()h x 的图象有两个交点时，22e
e 2
a ≤<，（11分）
所以当函数()f x 在(0,e]上有两个零点时，22e e 2a ≤<，故a 的取值范围为22e
[,)e 2
．（12分）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解析】（1）由题可得曲线1C 20y +-=，（1分）
所以曲线1C cos sin 20θρθ+-=，（2分） 由题可得曲线2C 的普通方程为22()11x y +-=，（3分） 即2220x y y +-=，
所以曲线2C 的极坐标方程为2si 2n 0ρρθ-=，（4分） 即in 2s ρθ=．（5分）
（2）设1,()M ρα，2,()N ρα11cos sin 20ααρ+-=，2in 2s ρα=，（6分） 因为N 是线段OM 的中点，所以
122ρρ=sin 4α=，（7分）
所以2cos 12sin ααα=-2cos 2αα=，（8分）
所以
3 tan2α=，
（9分）
因为
2
α
π
<<π，所以22
α
π<<π，所以
7
2
6
α
π
=，所以
7
12
α
π
=．（10分）23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解析】（1）由题可得
5,1
()|22|3|1|51,11
5,1
x x
f x x x x x
x x
+<-
⎧
⎪
=--+=---≤<
⎨
⎪--≥
⎩
，（1分）因为()2
f x<，所以
52
1
x
x
+<
⎧
⎨
<-
⎩
或
512
11
x
x
--<
⎧
⎨
-≤<
⎩
或
52
1
x
x
--<
⎧
⎨
≥
⎩
，（2分）即
3
1
x
x
<-
⎧
⎨
<-
⎩
或
3
5
11
x
x
⎧
>-
⎪
⎨
⎪-≤<
⎩
或
7
1
x
x
>-
⎧
⎨
≥
⎩
，（3分）
所以3
x<-或
3
5
x>-，（4分）
所以不等式()2
f x<的解集为
3
(,3)(,)
5
-∞--+∞．（5分）
（2）因为存在x∈R，使得()
f x a
>，所以
max
()
a f x
<，（7分）
由（1）可知
5,1
()51,11
5,1
x x
f x x x
x x
+<-
⎧
⎪
=---≤<
⎨
⎪--≥
⎩
，作出函数()
f x的图象，如下图所示，（8分）
由函数()
f x的图象可知
max
()(1)4
f x f
=-=，（9分）
所以4
a<，所以实数a的取值范围为(,4)
-∞．（10分）。