江西省会昌中学高三数学上学期第一次月考(10月)试题

2018~2019学年第一学期会昌中学十月月考
高三理科数学试题
考试用时：120分钟 满分分值：150分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}|02A x x =<<，集合{}
|2,x B y y x A ==∈，则集合A
B =（ ）
A ．{}|01x x <<
B ．{}|12x x <<
C ．{}|02x x <<
D ．∅ 2．已知()()()1,3,,2,1,2a b x c ===-,若()
a b c +⊥,则x = （ ）
A.-9 B .9 C.-11 D.11
3．曲线3
()ln 3
f x x x x =-
+-在1x =处的切线的倾斜角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56
π
4．下列命题中的假．
命题是（ ） A ．0,32x
x
x ∀>> B ．(0,),ln(1)x x x ∀∈+∞+< C ．000(0,),sin x x x ∃∈+∞< D ．00,ln 0x R x ∃∈<
5．函数2sin 2x
y x =的图像可能是（ ）
A B C D 6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(],0-∞上是增函数,设
()12log 7a f -=,2(log 3)b f =
,
()0.60.2c f =,则,,a b c 的大小关系是（ ）
A. b a c << B . a b c << C. c b a << D. b c a <<
7． 非零向量,a b 满足,()0a b a a a b -=⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为（ ）
A ．45︒
B ．60︒
C ． 120︒
D ．135︒
8． 海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,
已知某海轮的最大航速为30海里/小时, 当速度为10海里/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为（ ）
A. 30海里/小时
B. 25海里/小时 C . 20海里/小时 D. 10海里/小时
9．函数()sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<
在区间5[,
]66ππ
-
上的图像如图所示，将该函
数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)m m >个单位长
度后，所得到的图像关于直线512
x π
=对称，则m 的最小值为（ ） A ．8π B ． 724π C ． 76
π
D ．
6
π
10．对于函数()ln x
f x x
=,下列说法正确的有（ ）
①()f x 在x e =处取得极大值
1
e
;②()f x 有两个不同的零点; ③()()()43f f f π<<;④44ππ<.
A.1个 B .2个 C.3个 D.4个
11．已知锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2
b a a
c =+，则
()
2s i n s i n A
B A -的取值范围是（ ） A
．1,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭ B
．0,2⎛ ⎝⎭ C ．
0,2⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
D
．1,22⎛ ⎝⎭ 12．已知函数12log ,0
()115,0
24x x f x a x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩
, 函数3
()g x x =,若方程()()g x xf x =有4个
不同实根,则实数a 的取值范围为（ ）
A. ()3,5-
B. ()3,5
C. 155,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D . 155,2⎛⎤
⎥⎝⎦
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数()12
log ,0
3,0
x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩ ,则()()4f f 的值为
________． 14
．计算
1
||1
)x e dx -=⎰
______________.
15．过△ABC 的重心G 任作直线分别交射线AB 、射线AC 于D 、
E ，若,AD x AB AE y AC ==，且0xy ≠，则x y +的
取值范围是______________. 16．如图直角坐标系中，角(0)2
π
αα<<
、角(0)
2
π
ββ-
<<的终边分别交单位圆于,A B 两点，若B 点的纵坐标为
513-
，且满足4
AOB S ∆=
，则1sin sin )2222ααα-+= ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知2
:7100p x x -+<,2
2
:430q x mx m -+<,其中0m >． （1）若4m =且p q ∧为真,求x 的取值范围；
（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,求实数m 的取值范围
18.（本小题满分12分）如图，在ABO ∆中，4,2OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为60，
3BP PA =．
（1）求OP AB 的值；
（2）若OQ QA =，PQ x OA y OB =⋅+
⋅
，求,x y 的值．
19.（本小题满分12分）已知函数()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫
=⋅-
+ ⎪⎝
⎭
的最大值为3. （1）求a 的值及()f x 的单调递减区间；（2）若0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,11
25
f α⎛⎫=
⎪⎝⎭,求cos α的值.
20.（本小题满分12分）已知函数3
()31f x x ax =--，a R ∈.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m
的取值范围．
21.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是边BC 上的点，AB AD ==1cos 7
BAD ∠=
. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.
22.（本小题满分12分）设函数()2
ln 2
ax f x x x a x =-+-(a R ∈). （1）若函数()f x 有两个不同的极值点,求实数a 的取值范围;
（2）若2a =,k N ∈,()2
22g x x x =--,且当2x >时不等式()()()2k x g x f x -+<恒
成立,试求k 的最大值.
2018~2019学年第一学期会昌中学十月月考
高三理科数学试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．
19 14．222
e π+- 15．4[,)3+∞ 16．12
13
三、解答题：共70分．
17.解：（1）由27100x x -+<,解得25x <<,所以:25p x <<,又22430x mx m -+<,因为0m >,解得3m x m <<,所以:3q m x m <<.当4m =时, :412q x <<,又p q ∧为真, ,p q 都为真,所以45x <<.
（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件,即,
q p ⌝⇒⌝,其逆否命题为p q ⇒,
,
由1,:25,:3p x q m x m <<<<,所以2
350
m m m ≤⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
,即523m ≤≤．
18．（1）由已知，得3331
()4444
OP OB BP OB BA OB OA OB OA OB =+=+
=+-=+，又AB OB OA =-
，
2231311
()()12129
44442
OP AB
OA OB OB OA OA OB OA OB ∴⋅=+⋅-=-++⋅
=-++=-；
（2）由（1）得1311124444PQ OQ OP OA OA OB OA OB =-=--=--，1
4
x y ∴==-. 19.解：（1）
()4cos sin 6f x x x a π⎛⎫
=⋅-+ ⎪⎝⎭14cos cos 22x x x a ⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭
2cos 2cos x x x a =-+ 2cos 21x x a =--+2sin 216x a π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭时,
()max 213f x a =-+=,∴2a =.由
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤
+,k Z ∈.得到53
6k x k π
πππ+≤≤
+,k Z ∈, 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤
++⎢⎥⎣⎦
,k Z ∈； （2）∵()2sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭,1125f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,又0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,
∴,663π
ππα⎛⎫-
≤- ⎪⎝⎭,∴4cos 65πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
1sin 2626ππαα⎛
⎫⎛⎫=
--- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=
20.解：（1）f ′(x )＝3x 2
－3a ＝3(x 2
－a )，当0a ≤时，对x ∈R，有f ′(x )>0，所以当0a ≤时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)，当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ，由
f ′(x )<0，解得－a <x <a ，所以当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋
∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )；
（2）因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2
－3a ＝0，所以a ＝1.所以
f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调
性，可知f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，又f (－3)＝－19<－3，f (3)＝17>1，结合
f (x )的单调性，可知m 的取值范围是(－3,1)．
21.解：（1）在ABD ∆中，
2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1
772127
+-=，
得BD =由1
cos 7
BAD ∠=
，得sin BAD ∠=ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AD BD
B BAD =∠，所以sin B ==
；
（2）因为sin 7B =
，B 是锐角，所以cos 7
B =，设B
C x =，在ABC ∆中
2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=，即272167
x x +-⋅=，化简得：
290x --=
解得x =或x =，则CD BC BD =-==ADC ∠和
ADB ∠互补，得sin sin sin 7
ADC ADB B ∠=∠==
，所以ADC ∆的面积
11
sin 227
S AD DC ADC =
⋅⋅⋅∠==
22.解：（1）由题意知,函数()f x 的定义域为(0,+∞),()'ln 11ln f x x ax x ax =+--=-,
令()'0f x =,可得ln 0x ax -=,∴ln x a x =,令()ln x
h x x =,则由题可知直线y a =与函数()h x 的图像有两个不同的交点,()2
1ln 'x
h x x
-=,令()'0h x =,得x e =,可知()h x 在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，()()max 1
h x h e e
==,当x 趋向于+∞时,()h x 趋向于零,
故实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. （2）当2a =时,
()2ln 2f x x x x x =-+-,()()()2k x g x f x -+<,即
()2ln k x x x x -<+,
因为2x >,所以ln 2x x x k x +<-,令()()ln 22
x x x F x x x +=>-,则()()2
42ln '2x x F x x --=-,令()()42ln 2m x x x x =-->,则()2
'10m x x
=-
>,所以()m x 在(2,+∞)上单调递增, ()2842ln84ln 440m e =-<-=-=;()31062ln1062ln 660m e =->-=-=,
故函数()m x 在(8,10)上唯一的零点0x ,即0042ln 0x x --=,故当02x x <<时,()0m x <,即
()'0
F x <,当
0x x
<时,
()'0
F x >,所以
()()0
0000
0m
i
n 0041ln 2222
x x x x x x F x F x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--, 所以02x k <,因为()08,10x ∈,所以()04,52
x
∈,所以k 的最大值为4.。