★试卷3套精选★广东省名校2018年中考一轮总复习数学能力测试题

中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（ ） A ．3 B ．32
C ．33
D ．6
【答案】D
【解析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．
【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOF=10°, ∵OA=OF, ∴△AOF 是等边三角形，∴OA=AF=1.
所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.
2．如图，二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=1，且OA=OC ．则下列结论：①abc ＞0；②9a+3b+c ＞0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
1
a
；⑤抛物线上有两点P （x 1，y 1）和Q （x 1，y 1），若x 1＜1＜x 1，且x 1+x 1＞4，则y 1＞y 1．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】D
【解析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由抛物线的开口可知：a ＜0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＜0，由抛物线的对称轴可知：
2b
a
＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确； 令x=3，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，故②正确； ∵OA=OC ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣
2b
a
=1，∴b=﹣4a ． ∵OA=OC=﹣c ，∴当x=﹣c 时，y=0，∴ac 1﹣bc+c=0，∴ac ﹣b+1=0，∴ac+4a+1=0，∴c=41
a a
+-，∴设关于x 的方程ax 1+bx+c=0（a≠0）有一个根为x ，∴x ﹣c=4，∴x=c+4=1
a
-，故④正确； ∵x 1＜1＜x 1，∴P 、Q 两点分布在对称轴的两侧， ∵1﹣x 1﹣（x 1﹣1）=1﹣x 1﹣x 1+1=4﹣（x 1+x 1）＜0，
即x 1到对称轴的距离小于x 1到对称轴的距离，∴y 1＞y 1，故⑤正确． 故选D ． 【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 1+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．本题属于中等题型．
3．如图，将边长为3a 的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b 的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
A ．3a+2b
B ．3a+4b
C ．6a+2b
D ．6a+4b
【答案】A
【解析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a 的正方形的边长－边长为2b 的小正方形的边长＋边长为2b 的小正方形的边长的2倍代入数据即可.
【详解】依题意有：3a ﹣2b+2b×2=3a ﹣2b+4b=3a+2b ． 故这块矩形较长的边长为3a+2b ．故选A ． 【点睛】
本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键. 4．如图，在▱ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF =4，则下列结论：①
1
2
AF FD =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①④
C ．②③④
D ．①②③
【答案】D
【解析】∵在▱ABCD 中，AO=1
2
AC ， ∵点E 是OA 的中点， ∴AE=
1
3
CE ， ∵AD ∥BC ， ∴△AFE ∽△CBE ， ∴
AF AE BC CE ==1
3
， ∵AD=BC ，
∴AF=
1
3AD ， ∴
1
2
AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4，
AEF BCE
S
S
=（
AF BC ）2=1
9
， ∴S △BCE =36；故②正确； ∵
EF AE BE CE = =1
3
， ∴AEF ABE
S S
=
13
， ∴S △ABE =12，故③正确； ∵BF 不平行于CD ，
∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，
∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ． 5．下列各式：①a 0=1 ②a 2·a 3=a 5 ③ 2–2= –1
4
④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x 2+x 2=2x 2，其中正确的是 ( ) A ．①②③ B ．①③⑤
C ．②③④
D ．②④⑤
【答案】D
【解析】根据实数的运算法则即可一一判断求解.
【详解】①有理数的0次幂，当a=0时，a 0=0；②为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，正确；③中2–2=
1
4
，原式错误；④为有理数的混合运算，正确；⑤为合并同类项，正确． 故选D.
6．一次函数y=kx+k （k≠0）和反比例函数()0k
y k x
=
≠在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，
故选C．
7．下列命题是假命题的是（）
A．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
【答案】C
【解析】解：A．外角为120°，则相邻的内角为60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可以判断，故A选项正确；
B．等边三角形有3条对称轴，故B选项正确；
C．当两个三角形中两边及一角对应相等时，其中如果角是这两边的夹角时，可用SAS来判定两个三角形全等，如果角是其中一边的对角时，则可不能判定这两个三角形全等，故此选项错误；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D选项正确；
故选C．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC
，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
【答案】B
【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC 的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠ABC=105°， ∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°． ∵DF BC =，∠BAC=25°， ∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC ﹣∠DCE=75°﹣25°=50°． 【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
9．估算9153+÷的运算结果应在（ ） A ．2到3之间 B ．3到4之间 C ．4到5之间 D ．5到6之间
【答案】D
【解析】解：9153+÷=35+ ，∵2＜5＜3，∴35+在5到6之间． 故选D ． 【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键． 10．一、单选题
如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则
22CE CF +等于（ ）
A ．75
B ．100
C ．120
D ．125
【答案】B
【解析】根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE 2+CF 2=EF 2，进而可求出CE 2+CF 2的值．
【详解】解：∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，
∴∠ACE=1
2∠ACB，∠ACF=1
2
∠ACD，即∠ECF=1
2
（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．一只蚂蚁从数轴上一点A出发，爬了7 个单位长度到了+1，则点A 所表示的数是_____
【答案】﹣6 或8
【解析】试题解析：当往右移动时，此时点A 表示的点为﹣6，当往左移动时，此时点A 表示的点为8. 12．小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：
（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填"甲”、“乙"或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.
【答案】丙
【解析】不低于四星，即四星与五星的和居多为符合题意的餐厅．
【详解】不低于四星，即比较四星和五星的和，丙最多．
故答案是：丙．
【点睛】
考查了可能性的大小和统计表．解题的关键是将问题转化为比较四星和五星的和的多少．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影
部分的面积为_____．
【答案】4
3 3
π-
【解析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA=OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．
【详解】如图，连接OE、AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE=1
2AB=2，BE=22
42
-=23，
∵OA=OB=OE，
∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，
∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE
=
2
120211
·36022
AE BE π⨯
-⨯
=414
2233 343
ππ
-⨯⨯=-，
故答案为4
3 3
π
-．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键．
14．如果a c e
b d f
===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．
【答案】3
【解析】∵a c e
b d f
===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，
∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，
故答案为：3.
15．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是______.
【答案】（3
2
，
3
2
）
【解析】由题意可得OA：OD=2：3，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为2：3，
∴OA：OD=2：3，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=3
2
，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=3
2
．
∴E点的坐标为：（3
2，
3
2
）．
故答案为：（3
2
，
3
2
）．
【点睛】
此题考查了位似变换的性质与正方形的性质，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．16．在△ABC中，点D在边BC上，BD=2CD，AB a
=，AC b
=，那么AD= ．
【答案】12 33 a b
+
【解析】首先利用平行四边形法则，求得BC的值，再由BD=2CD，求得BD的值，即可求得AD的值．【详解】∵AB a
=，AC b
=，
∴BC=AC-AB=b-a，
∵BD=2CD ，
∴BD =
23BC =2
()3
b a -， ∴AD =AB +BD =2()3a b a +-=12
33
a b +．
故答案为1
233
a b +
． 17．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1的个位数字是_____． 【答案】1
【解析】观察给出的数，发现个位数是循环的，然后再看2019÷4的余数，即可求解． 【详解】由给出的这组数21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝1，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…， 个位数字1，3，1，5循环出现，四个一组， 2019÷4＝504…3， ∴22019﹣1的个位数是1． 故答案为1． 【点睛】
本题考查数的循环规律，确定循环规律，找准余数是解题的关键．
18．如果抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1），那么m 的值为_____． 【答案】2
【解析】把点（2，1）代入y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3，即可求出m 的值. 【详解】∵抛物线y=﹣x 2+（m ﹣1）x+3经过点（2，1）， ∴1= -4+2(m-1)+3,解得m=2,故答案为2. 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式. 三、解答题（本题包括8个小题）
19．某初中学校举行毛笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题：
请将条形统计图补全；获得一等
奖的同学中有1
4
来自七年级，有
1
4
来自八年级，其他同学均来自九年级，现准备从获得一等奖的同学中
任选两人参加市内毛笔书法大赛，请通过列表或画树状图求所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）1 3 .
【解析】（1）根据参与奖有10人，占比25%可求得获奖的总人数，用总人数减去二等奖、三等奖、鼓励奖、参与奖的人数可求得一等奖的人数，据此补全条形图即可；
（2）根据题意分别求出七年级、八年级、九年级获得一等奖的人数，然后通过列表或画树状图法进行求解即可得.
【详解】（1）10÷25%=40（人），
获一等奖人数：40-8-6-12-10=4（人），
补全条形图如图所示：
（2）七年级获一等奖人数：4×1
4
=1（人），
八年级获一等奖人数：4×1
4
=1（人），
∴九年级获一等奖人数：4-1-1=2（人），
七年级获一等奖的同学用M表示，八年级获一等奖的同学用N表示，九年级获一等奖的同学用P1、P2表示，树状图如下：
共有12种等可能结果，其中获得一等奖的既有七年级又有九年级人数的结果有4种，
则所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率P=41123=. 【点评】此题考查了统计与概率综合，理解扇形统计图与条形统计图的意义及列表法或树状图法是解题关键. 20．先化简2221169
x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】3
x x -,当x=2时，原式=2-. 【解析】试题分析: 先括号内通分，然后计算除法，最后取值时注意使得分式有意义，最后代入化简即可．
试题解析:
原式=()()2x x 1x 12x 1x 1x 3--⎛⎫-⋅ ⎪--⎝⎭-=()()2x x 1x 3x 1x 3--⋅--=x x 3
- 当x=2时，原式=2223
=--. 21．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E ．求证：△AFE ≌△CDF ；若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD ，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B ，
AB=AE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF ，EF=DF ，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论．
试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，∴∠E=∠B ，AB=AE ，∴AE=CD ，∠E=∠D ，在△AEF 与△CDF 中，∵∠E=∠D ，∠AFE=∠CFD ，AE=CD ，∴△AEF ≌△CDF ；
（2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF ≌△CDF ，∴AF=CF ，EF=DF ，∴DF 2+CD 2=CF 2，
即DF 2+42=（8﹣DF ）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S △ACE ﹣S △AEF =1
2×4×8﹣12
×4×3=1． 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
22．已知，如图，BD 是ABC ∠的平分线，AB BC =，点P 在BD 上，PM AD ⊥，PN CD ⊥，垂足分别是M 、N .试说明：PM PN =.
【答案】见详解
【解析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB ，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【详解】证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠CBD ，
在△ABD 和△CBD 中，
AB BC ABD CBD BD BD ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝ ∴△ABD ≌△CBD （SAS ），
∴∠ADB=∠CDB ，
∵点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，
∴PM=PN ．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB 是解题的关键．
23．如图，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC ，AC ，BD 相交于点G ，过点A 作AE ∥DB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF ∥CA 交DA 的延长线于点F ，AE ，BF 相交于点H ．图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）证明：四边形AHBG 是菱形；若使四边形AHBG 是正方形，还需在Rt △ABC 的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
【答案】 (1)详见解析；（2）详见解析；（3）需要添加的条件是AB=BC ．
【解析】试题分析：（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，如△ABC ≌△BAD ，利用SAS 可证明．
（2）由已知可得四边形AHBG 是平行四边形，由（1）可知∠ABD=∠BAC ，得到△GAB 为等腰三角形，
▱AHBG 的两邻边相等，从而得到平行四边形AHBG 是菱形．
试题解析：
（1）解：△ABC ≌△BAD ．
证明：∵AD=BC ，
∠ABC=∠BAD=90°，
AB=BA ，
∴△ABC ≌△BAD （SAS ）．
（2）证明：∵AH ∥GB ，BH ∥GA ，
∴四边形AHBG 是平行四边形．
∵△ABC ≌△BAD ，
∴∠ABD=∠BAC ．
∴GA=GB ．
∴平行四边形AHBG 是菱形．
（3）需要添加的条件是AB=BC ．
点睛：本题考查全等三角形，四边形等几何知识，考查几何论证和思维能力，第（3）小题是开放题，答案不唯一．
24．先化简：（1111x x --+）÷221
x x ，再从﹣2，﹣1，0，1这四个数中选择一个合适的数代入求值． 【答案】2
2
x ，1． 【解析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，最后代入求出即可．
【详解】原式=
1111x x x x +--+-（）（）（）（）•112
x x x +-+（）（） =211x x +-（）（）•112x x x +-+（）（）
=22x +． ∵由题意，x 不能取1，﹣1，﹣2，∴x 取2． 当x=2时，原式=
22x +=202+=1． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
25．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x+a ﹣1＝1．若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．
【答案】（3）a=15，方程的另一根为12
；（2）答案见解析. 【解析】（3）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=3时，为一元一次方程；②当a≠3时，利用b 2－4ac ＝3求出a 的值，再代入解方程即可．
【详解】（3）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15
． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 3＝12
，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12
； （2）①当a ＝3时，方程为2x ＝3，解得：x ＝3.
②当a≠3时，由b 2－4ac ＝3得4－4(a －3)2＝3，解得：a ＝2或3．
当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋3＝3，解得：x 3＝x 2＝－3；
当a ＝3时， 原方程为：－x 2＋2x －3＝3，解得：x 3＝x 2＝3．
综上所述，当a ＝3，3，2时，方程仅有一个根，分别为3，3，－3.
考点：3.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.
26．抛物线y ＝x 2+bx+c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，﹣3）．
求抛物线的解析式；如图1，抛物线顶点为E ，
EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC ＝90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．如图2，将抛物线平移，使其顶点E 与原点O 重合，直线y ＝kx+2（k ＞0）与抛物线相交于
点P 、Q （点P 在左边），过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，当k 发生改变时，请说明直线QH 过定点，并求定点坐标．
【答案】（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）554
m -<；（3）当k 发生改变时，直线QH 过定点，定点坐标为（0，﹣2）
【解析】（1）把点A （﹣1，0），C （0，﹣3）代入抛物线表达式求得b ，c ，即可得出抛物线的解析式； （2）作CH ⊥EF 于H ，设N 的坐标为（1，n ），证明Rt △NCH ∽△MNF ，可得m ＝n 2+3n+1，因为﹣4≤n≤0，即可得出m 的取值范围；
（3）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则点H （﹣x 1，y 1），设直线HQ 表达式为y ＝ax+t ，用待定系数法和韦达定理可求得a ＝x 2﹣x 1，t ＝﹣2，即可得出直线QH 过定点（0，﹣2）．
【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过点A 、C ， 把点A （﹣1，0），C （0，﹣3）代入，得：013b c c =-+⎧⎨-=⎩
， 解得23
b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；
（2）如图，作CH ⊥EF 于H ，
∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标E （1，﹣4），
设N 的坐标为（1，n ），﹣4≤n≤0
∵∠MNC ＝90°，
∴∠CNH+∠MNF ＝90°，
又∵∠CNH+∠NCH ＝90°，
∴∠NCH ＝∠MNF ，
又∵∠NHC ＝∠MFN ＝90°，
∴Rt △NCH ∽△MNF ， ∴CH HN NF FM =，即131n n m
+=-- 解得：m ＝n 2+3n+1＝23524n ⎛⎫+- ⎪⎝
⎭， ∴当32n =-时，m 最小值为54
-； 当n ＝﹣4时，m 有最大值，m 的最大值＝16﹣12+1＝1．
∴m 的取值范围是554
m -<． （3）设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
∵过点P 作x 轴平行线交抛物线于点H ，
∴H （﹣x 1，y 1），
∵y ＝kx+2，y ＝x 2，
消去y 得，x 2﹣kx ﹣2＝0，
x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣2，
设直线HQ 表达式为y ＝ax+t ，
将点Q （x 2，y 2），H （﹣x 1，y 1）代入，得221
1y ax t y ax t =+⎧⎨=-+⎩， ∴y 2﹣y 1＝a （x 1+x 2），即k （x 2﹣x 1）＝ka ，
∴a ＝x 2﹣x 1，
∵22x ＝（ x 2﹣x 1）x 2+t ，
∴t ＝﹣2，
∴直线HQ 表达式为y ＝（ x 2﹣x 1）x ﹣2，
∴当k 发生改变时，直线QH 过定点，定点坐标为（0，﹣2）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、待定系数法求一次函数的解析式、（2）问通过相似三角形建立m 与n 的函数关系式是解题的关键．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米
A．5B．3C．5+1 D．3
【答案】C
【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°
据勾股定理则BC=2222
+=+=m；
125
AC AB
∴AC+BC=（1+5）m.
答：树高为（1+5）米．
故选C.
2．将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】分析：面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；
B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；
C、是一个圆台，故本选项错误；
D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；
故选A．
点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．
3．关于x的不等式
2(1)4
x
a x
＞
＜
-
⎧
⎨
-
⎩
的解集为x＞3，那么a的取值范围为（）
A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3D．a≤3
【答案】D
【解析】分析：先解第一个不等式得到x＞3，由于不等式组的解集为x＞3，则利用同大取大可得到a的范围．
详解：解不等式2（x-1）＞4，得：x＞3，
解不等式a-x＜0，得：x＞a，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴a≤3，
故选D．
点睛：本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
4．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【解析】试题分析：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．
考点：有理数大小比较．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞1
【答案】B
【解析】根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出△=4-4m＞0，解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-2）2-4m=4-4m＞0，
解得：m＜1．
故选B．
【点睛】
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
6．－4的绝对值是（ ）
A ．4
B ．1
4 C ．－4 D ．14
- 【答案】A
【解析】根据绝对值的概念计算即可.（绝对值是指一个数在坐标轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值.）
【详解】根据绝对值的概念可得-4的绝对值为4.
【点睛】
错因分析：容易题.选错的原因是对实数的相关概念没有掌握，与倒数、相反数的概念混淆.
7．如图所示，90,,E
F B C AE AF ∠=∠=∠=∠=，结论：①EM FN =；②CD DN =；③FAN EAM ∠=∠；④ACN ABM ∆≅∆，其中正确的是有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】根据已知的条件，可由AAS 判定△AEB ≌△AFC ，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】解：如图：
在△AEB 和△AFC 中，有
90B C E F AE AF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△AEB ≌△AFC ；（AAS ）
∴∠FAM=∠EAN ，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN ，
即∠EAM=∠FAN ；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF ，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；
故正确的结论有：①③④；
故选C．
【点睛】
此题主要考查的是全等三角形的判定和性质，做题时要从最容易，最简单的开始，由易到难．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
9．如图，点A是反比例函数y=k
x
的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，
连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【答案】D
【解析】试题分析：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB=S△CAB=3，而S△OAB=|k|，∴|k|=3，∵k＜0，∴k=﹣1．故选D．
考点：反比例函数系数k 的几何意义．
10．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、
3y 的大小关系是（ ）
A ．123y y y ＞＞
B ．213y y y ＞＞
C ．231y y y ＞＞
D ．312y y y ＞＞
【答案】C
【解析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2b a
-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞．
故选C ．
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌
握二次函数2
0y ax bx c a =++≠（）的图象性质．
二、填空题（本题包括8个小题） 11．已知直线23y x =+与抛物线2231y x x =-+交于A 11x y （，），B 22x y （，）两点，则
121111
x x +=++_______． 【答案】95
【解析】将一次函数解析式代入二次函数解析式中,得出关于x 的一元二次方程,根据根与系数的关系得出“x 1 +x 2 =-b a =52 ,x 1x 2=c a
=-1”,将原代数式通分变形后代入数据即可得出结论. 【详解】将23y x =+代入到2231y x x =-+中得，223231x x x +=-+，整理得，22520x x --=，∴1252
x x +=，121x x =-，
∴211212()1111()1111x x x x x x ++++==++++121212
()(52292515
112
)x x x x x x +++==⋅+++-++. 【点睛】
此题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，解题关键在于将一次函数解析式代入二次函数解析式 12．若-2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，则m+n= ．
【答案】-1．
【解析】试题分析：根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得方程组，根据解方程组，可得m 、n 的值，根据有理数的加法，可得答案．
试题解析：由-2a m b 4与5a 2b n+7是同类项，得
，
解得
．
∴m+n=-1． 考点：同类项．
13．如图，⊙O 的半径为6，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD=∠BCD ，则弧BD 的长为________．
【答案】4π
【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD ，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.
【详解】解:∵四边形ABCD 内接于⊙O ，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A ，∠BOD=∠BCD ，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴BD 的长=41812060
ππ=⨯， 故答案为4π.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A的度数是解题的关键.
14．64的立方根是_______．
【答案】4.
【解析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】∵43=64，
∴64的立方根是4
故答案为4
【点睛】
此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
15．如图，直线l1∥l2∥l3，等边△ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1=25°，则边AB与直线l1的夹角∠2=________．
【答案】
【解析】试题分析：如图：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵直线l1∥l2∥l3，∠1=25°，
∴∠1=∠3=25°．
∴∠4=60°-25°=35°，
∴∠2=∠4=35°．
考点：1．平行线的性质；2．等边三角形的性质．
16．关于x的方程
1
10
1
ax
x
+
-=
-
有增根，则a=______.
【答案】-1
【解析】根据分式方程
1
1
ax
x
+
-
－1＝0有增根，可知x-1=0，解得x=1，然后把分式方程化为整式方程为：
ax+1-（x-1）=0，代入x=1可求得a=-1.
故答案为-1.
点睛：此题主要考查了分式方程的增根问题，解题关键是明确增根出现的原因，把增根代入最简公分母即可求得增根，然后把它代入所化为的整式方程即可求出未知系数.
17．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是______．
【答案】258或5或1． 【解析】根据以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形分类讨论即可．
【详解】解：如图
（1）当在△ADE 中，DE=5，当AD=DE=5时为等腰三角形，此时m=5.
(2)又AC=5，当平移m 个单位使得E 、C 点重合，此时AE=ED=5,平移的长度m=BC=1,
(3)可以AE 、AD 为腰使ADE 为等腰三角形，设平移了m 个单位：
则AN=3,AC=223(m-4)+，AD=m ，
得：2223(m-4)=m +，得m=
258, 综上所述：m 为
258或5或1， 所以答案：
258或5或1． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论的完整性.
18．已知⊙O 半径为1，A 、B 在⊙O 上，且2AB =
，则AB 所对的圆周角为__o .
【答案】45º或135º
【解析】试题解析：如图所示，
∵OC ⊥AB ，
∴C 为AB 的中点,即122
AC BC AB ===
在Rt △AOC 中,OA=1, 2
AC =
根据勾股定理得：OC ==
即OC=AC ， ∴△AOC 为等腰直角三角形，
45AOC ∴∠=，
同理45BOC ∠=，
90AOB AOC BOC ∴∠=∠+∠=，
∵∠AOB 与∠ADB 都对AB ,
1452
ADB AOB ，∴∠=∠= ∵大角270AOB ∠=，
135.AEB ∴∠=
则弦AB 所对的圆周角为45或135.
故答案为45或135.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元．A 、B 两种奖品每件各多少元？现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？
【答案】（1）A 种奖品每件16元，B 种奖品每件4元．（2）A 种奖品最多购买41件．
【解析】（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，根据“如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A 种奖品购买a 件，则B 种奖品购买（100﹣a ）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【详解】（1）设A 种奖品每件x 元，B 种奖品每件y 元，
根据题意得：20153801510280
x y x y +=⎧⎨+=⎩，。