浅谈均值定理的应用

浅谈均值定理的应用
长沙市工商职业中专学校 陈志强
均值定理作为不等式一章的重点，具有着广泛应用。

由于应用时，学生常感到困难，为了帮助学生解除困惑，现在从如下几个方面浅谈其应用。

一、求最值。

利用已知几个正数的和为定值，可求它们的积的最大值。

已知几个正数的积为定值，可求它们的和的最小值。

1、直接用定理 例1、已知1>x ，求1
24624--
-x x 的最大值。

解：∵
1>x ∴01>-x
6
1
2462431
24)1(66
2418]1
24)1(6[181
24624241
24)
1(62124)1(6---
-=-=--=-≤-+
--=--
-=--≥-+-有最大值为
时
当x x x x x x x x x x x x x
2、变形后再用均值定理 例2、已知0>>b a ，求)
(162b a b a -+
的最小值。

解：∵ 0>>b a
>-b a
)
(4)
(4)
(4)(4)()()()
(16)(2)()
(162
2
2
2
2
b a b b a b b a b b a b b b a b b a b b a b b a b b a b b a b a b a -+
-+
-+
-+
+-+-+-=+-+
-+-=-+
16
)
(4
)()()(8
8
4
4
4
2
2=----≥b a b b
b a b b a b b a
16
)
(162
2
2)(4
)()(2
2
2有最小值为时即当b a b a ，b a b a b b
b a b b a -+
⎪⎩⎪⎨⎧==-==-=-
变形后，涉及撤项，要撤成相等的项，然后再用，否则会出现错误，如上例，如果撤成：
62
22
54
8)
(316)
(316)
(316)(2)()
(16≥-+
-+
-+
+-+-=-+
b a b b a b b a b b b a b b a b a b a ，
这个就是错误因为： 当)
(316)(2)(2
2
b a b b b a b b a -=
=-=-时，由
b
a b b a 2)(2
2==-得，由
b
a b a b b a 3)(2)(2
=-=-得，这样撤项不相等，故不能取“等号”，因此
不能取最值。

例3、求)20(4)(2
<<-=x x
x x f 的最大值。

解： ∵ 20<<x ∴22
4)4()(2
22
2=+-≤
-=
x
x x
x x f
2)(24max 2
2
==
=-x f ，
x x
x 时即当
二、用于证明。

例4、已知121=∙∙n x x x ，且n x x x ∙∙ 21都是正数， 求证：n
n x x x x 2
)1()1)(1()1(321≥+∙∙+++
证：∵
n x x x ∙∙ 21均为正数
∴
1121x x ≥+ （1） 2221x x ≥+ （2）
3
321x x ≥+ （3）
n
n x x 21≥+ （n ）
1
2
)1()1)(1)(1()
()3()2()1(2121321=≥++++⨯⨯⨯⨯n n
n
n x x x x x x x x x x n 得
∴n
n
x x x x 2)1()1)(1)(1(3
2
1
≥++++ 2、经过变形后再用均值定理
例5、已知2233,ab b a b a ：，R b a +≥+∈+求证 除书上的比较法可证外，还可用均值定理。

证：∵
+
∈R
b a ,
∴
b a b
a a b
a a 23
3
333
333=≥
++
（1）
2
3
3
333
3
3
3
ab
b
b a b
b a =≥
++ （2）
（1）+（2）得2
2
33ab
b a b a +≥+
依此法可证：。

b
a b a b a ab
b a b a ab
b a b
a 等3
2
2
3
5
544
553344
+≥++≥++≥+
只要满足右边齐次式的次数是几，就将左端相应项撤成几个做和，如果有分数指数幂应根据实际情况来定。

例6、已知a 、b 均为正数，求证：ab
b a b
a )(2
2
+≥+。

分析3
3
)
(ab
b a ab b a +
=+
证：∵
)
2(4
)1(4
,042
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2222
222
ab
b b
b b a b
b b a ab a b a a a b
a a a
b a =≥
+++=≥
+++>>
（1）+（2）得，ab
b a b a
)(2
2
+≥+
例7、若0,0>>b a 且a+b=1求证：2
212
1≤+
+
+
b a
分析：构造满足均值定理的条件。

证法一：21
211)2
1(0
,0++≤
⋅+
>>a a b a
（1）
21
211)2
1(++≤
⋅+
b b （2）
（1）+（2）2
2
1
12
12
12
1)2
1(=+++++≤
+
++
b a b a 故命题成立。

证法二：∵2
2
12
11,0,0≤+
++
=+>>b a b a b a
而
成立
即
，b a b a b a b a b a 12
21
2
1)2
1)(21(1
)21)(21(4
)2
1)(2
1(22121=+++≤
+
+≤+
+
≤+
+++++
⇔
故原命题成立。

三、用于解答应用题
例8、一轮船的燃料费P （元）与其速度（km/时）v 满足P=kv 2。

已知轮船速度为每小时10km 的时候燃料费为每小时200元，轮船其余费用（不随速度变化）为每小时450元，求轮船速度为每小时多少千米时，航行每千米的费用总和最小。

解：依题意得：当v=10时，P=200 则200=k ×102 ∴k=2 设航行每千米的费用总和为y 元
v
v v
v v
v y 450224502450
22
⋅
≥+
=+=
=2×30 =60 当v
v
4502=时
v=15（千米/时）
答：轮船速度为15千米/小时时，航行每千米费用总和最小最值
为60元。