组合数学第一章基本计数问题

例1：展开 (x1 x2 x3 x4 x5 )7 , 问 x12 x3x43x5 的
系数是多少？
例2：展开 (2x1 3x2 5x3)6, 问 x13x2 x32 的系数是
多少？
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将a,b,c,d,e,f 进行排列，问： 在所有六位二进制数中，
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定理1.2.2 n元集合的r圆排列数为：1 P(n, r) n!
r
r(n r)!
例如：集合S={1,2,3,4}有6个4圆排列。
例3：10个男生和5个女生聚餐，围坐在圆桌旁，任意两 个女生不相邻的坐法有多少种？
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n元集合S的一个r组合是指从S中选出r个元素的一种
定理1.2.4 对任意正整数n ，有
n 0
n 1
n 2
n n
2n
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例6：单射函数 f : X Y 的个数等于P(m,n)，其中， n X , m Y (m n).
例7：求至少出现一个6且能被3整除的五位数的个数。 例8：某车站有6个入口，每个入口每次只能进一个人， 问9人小组共有多少种进站方案？
n r
n
n
r
（2）递推关系：
n r
n
r1
n r
11
m
n m
1
m m
n
m m
n11
0n
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（3）单峰性：
当n为偶数时，有
n 0
n 1
n n
2
n
n1
n n
;
当n为奇数时，有
n 0
n 1
n
n 1
2
n
n 1
2
n
n1
n n
;
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1
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当α=1/2时：
r
1 2
(1 2
1)( 1 2
r!
r
1)
(1) r 1
1 2r
1 3 (2r r!
3)
(1) r 1
r
1 2 2 r 1
2r 2 r 1
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二项式系数的基本性质：
当n,r为非负整数，且n≥ r时：
（1）对称关系：
n的增字。 例如 若M={a,b,c,d},且有顺序a<b<c<d,则acc是一个增字.
定理1.3.5 设集合 X x1, x2,, xm 是一全序集，则X上
长度为n的增字共有
m
n n
1个。
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1.4 二项式系数
定理1.4.1 (二项式定理) 设n为一正整数，则对任意 的x和y，有
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1.3 多重集合的排列与组合
多重集合表示为：M {k1 a1, k2 a2,, kn an},其中 a1, a2,, an 为M中所有的互不相同的元素，M中有 ki个ai
(1 i n),称ki为ai的重数，ki 是正整数，也可以是∞。
定理1.3.1 多重集合 M { a1, a2,, ak}的r排列 数为k r .
定理1.3.4 多重集合 M {k1 a1, k2 a2,, kn an}要求
a1, a2,, ak 至少出现一次的r组合数为
r k
11
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定义1.3.1 设集合 X {x1, x2,, xm} 是一个全序集， x1 x2 xm, 那么由X 中的n个字母构成的字符串 xi1 xi2 xin ,只要 xi1 xi2 xin , 就称其为X上长度为
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例1：将a,b,c,d,e,f 进行排列，问： （1）使得字母b正好在字母e的左邻的排列有多少种？ （2）使得字母b在字母e的左边的排列有多少种？ 例2：从{1,2,…,9}中选出不同的7个数字组成七位数，
要求5与6不相邻，问有多少种方法？
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(0,0)
例3：将6个蓝球，5个红球，4个白球，3个黄球排成一
行，要求黄球不挨着，问有多少种排列方式？
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定理1.3.3 多重集合 M { a1, a2,, ak}的r组合
数为
k
r r
1.
例4：从M={1,2, …,n}中能够取出多少个长为r的递增序
列 a1, a2,, ar , 使得 ai1 ai s 1 (s 0; i 1,2,, r 1)
(x y)n
y
n
n 1
xy n 1
n 2
x2
yn2
n
n
1
x
n1
y
x
n
n r 0
n r
x
r
ynr
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定理1.4.2 对一切实数α和x (|x|<1), 有
(1
x)
r 0
r
x
r
其中：
r
(
1)(
r!
r
1)
当α=-n时：
r
n(n
1)(n r!
r
1)
(1)r
n
r r
定理1.4.3 (多项式定理)
设n为一正整数，则
(x1 x2 xt )n
n n1n2 nt
x n1 1
x n2 2
xt
nt
其中：
n n1n2 nt
n! n1!n2! nt !
多项式系数
求和号是对所有满足 n1 n2 nt n 的非负整数 序列 n1, n2, , nt 求和。
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精品课件！
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多项式系数的基本性质：
(x1 x2 xt )n
n n1n2 nt
x n1 1
x n2 2
xt
nt
1.若端求和号中所包含的项数是方程：n1 n2 nt n
的非负整数解的数目，即为
n
t n
1项
2.在多项式定理中，令 x1 x2 xt 1, 则有
n n1n2 nt
1.2 排列与组合
n元集合S的一个r 排列是指从S中选出r个元素,然后 将其按次序排列。记为P(n,r)。当r=n时，称为全排列。 定理1.2.1 设n，r为正整数，则
(1) 若r n, P(n, r) 0 (2) 若r n, P(n, r) n(n 1)(n r 1)
n! (n r)!
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系里欲将6名保送研究生推荐给3个单位， 机动 目录 上页 下页 返回 结束
从中选取一个人的方式有多少种？
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设事件A有m种选取方式, 3 多重集合的排列与组合 n元集合的r圆排列数为： 从{1,2,…,9}中选出不同的7个数字组成七位数， 事件B有n种选取方式, 至少出现一次的r组合数为 将6个蓝球，5个红球，4个白球，3个黄球排成一 至少出现一次的r组合数为 从(0,0)点沿水平和垂直 从M={1,2, …,n}中能够取出多少个长为r的递增序 从5位先生、6位女士、2位男孩和4位女孩中选取
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乘法原则: 设事件A有m种选取方式, 事件B有n种选取方式, 则选取A以后再选取B共有m·n种方式.
定理1.1.2 设A,B为有限集，A m, B n, 则
AB A B mn
推论1.1.2 设n个有限集合 A1, A2,,An 则
A1 A2 An A1 A2 An
t
n
M { a1, a2,, ak}
的n 排列数
机动 目录 上页 下页 | Ai
i 1
i 1
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例2：从5位先生、6位女士、2位男孩和4位女孩中选取 1位先生、1位女士、1位男孩和1位女孩，有多少 种方式？从中选取一个人的方式有多少种？
例3：从1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？
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定理1.1.1 设A,B为有限集，A B , 则
| A B || A | | B |
推论1.1.1 设n个有限集合 A1, A2,,An 满足
Ai Aj (1 i j n),
n
n
则 | Ai | Ai
i 1
i 1
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例1：在所有六位二进制数中，至少有连续4位是1的有 多少个？
无序选择。其组合数记为
n r
或Cnr
定理1.2.3
若0
r
n,
则
n r
P(n, r) r!
n! r!(n
r)!
推论1.2.1
若0
r
n,
则
n r
n
n
r
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例4：系里欲将6名保送研究生推荐给3个单位，每个单 位2名，问有多少种方案？
例5：在一个凸n(n>3)边形C的内部，如果没有三条对角 线共点，求其全部对角线在C内部的交点的个数。
例1：用26个英文字母可以构造出多少个包含4个元音
字母、长度为8的字符串。
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定理1.3.2 多重集合 M {k1 a1, k2 a2,, kn an}的全
排列数为：k1
k2 kn k1!k2!kn!
!
例2：
(m,n) 从(0,0)点沿水平和垂直 道路可以走到(m,n)点， 问有多少种走法？
组合数学第一章基本 计数问题
一、基本计数问题 1.1 加法原则与乘法原则 1.2 排列与组合 1.3 多重集合的排列与组合 1.4 二项式系数 1.5 集合的分划与第二类Stirling数 1.6 正整数的分拆 1.7 分配问题
1.1 加法原则与乘法原则
加法原则: 设事件A有m种选取方式, 事件B有n种选取方式, 则选A或B共有m+n种方式.
组合恒等式：
等式1：
n0
1n
n n
2n
等式2：
n 0
n2
n4
n 1
n 3
n 5
等式3：1
n 1
2
n 2
n
n n
n
2n1
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等式4：
0 k
1 k
kn
n k
11
等式5：
n k 0
n 2 k
2nn
等式6：
k
n 0
m i
r
n
i
m m
n r
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