椭圆中与焦点三角形顶角有关的问题

课题：椭圆中与焦点三角形有关的问题
证明:略 例1．若P 是椭圆164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积．
例2 已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 2
12121=，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 3
3 例3（04湖北）已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 59 B. 779 C. 49 D. 4
9或779 练习1：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若6
21π=∠PF F ，则=∆21F PF S _______。

练习2：P 是椭圆1422=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3
21π=∠PF F ，则=∆21F PF S _______。

错题：P 是椭圆14522=+y x 上的点，F l ，F 2是椭圆的焦点，若3
21π=∠PF F ，则21F PF ∆的面积等于_______。

为什么错？
例4设F 1、F 2为椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两 点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，12PF PF ⋅ 的值等于 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
例1：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上动点，当 21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是_______。

问题1. 椭圆14
92
2=+y x 的焦点为F l 、F 2，点P 为其上一点，当21PF F ∠为直角时，点P 的横坐标是_______。

问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
例2：22
12,:1,84
x y F F C +=是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在P PF PF C 21⊥ 总结：1如点P 运动到短轴端点B 1时，21PF F ∠恰为直角，则在椭圆上满足21PF PF ⊥的点的个数是 2如点P 运动到短轴端点B 1时，21PF F ∠为钝角，则在椭圆上满足21PF PF ⊥的点的个数是 3如点P 运动到短轴端点B 1时，21PF F ∠为锐角，则在椭圆上满足21PF PF ⊥的点的个数是
例3：已知
1F 、2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

方法一：
方法二：
例4：已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

例5：若椭圆13
42
2=+y x 的两个焦点1F 、2F ，试问：椭圆上是否存在点P ，使︒=∠9021PF F ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

方法一：
方法二：
证明：
练习1：P 是椭圆22a x +22
b
y =1（a ＞b ＞0）上一点，21F F 、是椭圆的左右焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 椭圆的离心率为=e ___________．
练习2：已知21F F 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若
75,151221=∠=∠F PF F PF ，则椭圆的离心率为___________．
例1：已知椭圆1C ：221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程。

【课堂测试】
1.已知P 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，21F F 、是两个焦点，且︒=∠3021PF F ，求21F PF ∆的面积。

2.（2009年上海文）
已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且，若的面积为93. 椭圆124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24
4．已知椭圆1222
=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）A ．1 B ．31
C ．34
D ．3
2 5. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ） A. 0 B.2 C. 4 D. 2-
6. 椭圆14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ） A. 0 B.1 C. 3 D. 6
7. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为21时，21PF PF ⋅的值为_______________.
8．2003北京春考：P 是椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>上一点，,E F 是两个焦点，O 是椭圆中心，若∆POF 2b 的值为________.
9.设P 是椭圆14
9x 2
2=+y 上一点，21F F 、是椭圆的两个焦点，则21cos PF F ∠的最小值是（ ） A ．91- B ．-1 C ．91 D ．21 10.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．1
(0,]2 C ． D ． 11.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________.
12F 、F p C 12PF F ∆
12.设F 1、F 2为椭圆22
194
x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|,求
12||||PF PF 的值.
13. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，离心率为3
5，求椭圆的标准方程. 14．已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，212121-=，△21PF F 的面积是3，准线方程为3
34±
=x ，求椭圆的标准方程. 15.(2007天津22)设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113
OF
．证明a =；。