北京四中数学必修四巩固练习简单的三角恒等变换提高版

【巩固练习】(提高)
1．设3sin 52πααπ⎛⎫
=
<< ⎪⎝⎭
，1tan()2πβ-=，则tan(2)αβ-的值等于（ ） A ．247- B ．724- C ．247 D ．724
2．若71sin 63πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则3cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．79
-
B ．13-
C ．13
D ．79
3．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则（ ） A ．()y f x =在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，其图象关于直线4x π
=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减，其图象关于直线2
x π=对称 4．
sin 2002sin 2008cos6sin 2002cos 2008sin 6︒︒-︒
︒︒+︒
的值是（ ）
A ．tan28°
B ．－tan28°
C ．1tan 28︒
D ．1
tan 28-︒
5．若θ是第二象限的角，且cos
02
θ
<
，则
sin
cos
2
2
θ
θ
-的值是（ ）
A ．－1
B ．
1
2
C ．1
D ．2 6．在△ABC 中，sin 2
A ＋cos 2
B ＝1，则cosA ＋cosB ＋cos
C 的最大值为( ) A.
54
C ．1 D.32
7．函数2()cos sin f x x x =+在区间ππ
44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的最小值（ ）
Ｂ． Ｃ．1-
8．函数()cos f x x
=
（ ）
A ．在0,
,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上递增，在33,,,22
2π
πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
上递减 B ．在30,
,,22πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭上递增，在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤
⎥⎥⎝⎦⎝⎦
上递减 C ．在3,,,222ππππ⎛⎤⎛⎤
⎥⎥⎝⎦⎝⎦上递增，在30,,,22πππ⎡⎫⎡⎫
⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
上递减 D ．在33,
,,22
2ππππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭上递增，在0,,,22πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
上递减 9．在△ABC 中，已知cos(
4
π
＋A )＝35，则cos2A 的值为________．
10．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-
．当3
a π
=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1
[,1]2
-
，则a 的取值范围是______． 11．已知sin αcos β＝
1
2
，则cos αsin β的取值范围是________． 12．若()sin sin 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（ab ≠0）是偶函数，则有序实数对（a ，b ）可
以是________．（注：写出你认为正确的一组数字即可）
（1）sin 2α；
14．已知：0<α<
2<β<π，cos(β－4
π)＝13，sin(α＋β)＝45.
(1)求sin2β的值； (2)求cos(α＋
4
π
)的值． 15．已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 16．如图，点P 在以AB 为直径的半圆上移动，且AB ＝1，过点P 作
圆的切线PC ，使PC ＝1.连结BC ，当点P 在什么位置时，四边形ABCP 的面积等于
1
2
？
【答案与解析】
1．【答案】D 【解析】 ∵3sin 52πααπ⎛⎫
=
<< ⎪⎝⎭
，∴4cos 5α=-，3tan 4α=-，1tan()2πβ-=，∴1tan 2β=-，4
tan 23
β=-，34
tan tan 2743tan(2)1tan tan 21124αβαβαβ-+
--=
==++，故选D ． 2．【答案】A 【解析】71sin 63πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，∴1sin 63πα⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，
原式2
17cos 212sin 2123639ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--=---=-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，故选A ．
3．【答案】D
【解析】 因
为sin 2cos 222442y x x x x πππ⎛
⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，所
以2y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，对称轴为2x=k π，即()2k x k Z π=∈．
4．【答案】D 【解析】原式sin 2002sin 2008cos(20082002)sin 2002cos 2008sin(20082002)
︒︒-︒-︒=
︒︒+︒-︒
cos 2008cos 2002cos 28cot 28sin 2008cos 2002sin 28-︒︒︒
=
=-=-︒︒︒︒
，故选D ．
5．【答案】A
【解析】θ是第二象限的角，且cos
02
θ
<，
∴53
22422
k k θππππ+
<<+，k ∈R ，
cos
sin 2
21sin
cos
sin
cos
2
2
22
θ
θθ
θ
-==---，故选A ．
6．【答案】D
【解析】由sin 2
A ＋cos 2
B ＝1，得sin 2
A ＝sin 2
B ，
∴A ＝B ，故cos A ＋cos B ＋cos C ＝2cos A －cos2A ＝－cos 2
A ＋2cos A ＋1.
又0＜A ＜
2π
，0＜cos A ＜1. ∴cos A ＝12时，有最大值3
2
.
7．【答案】D
【解析】2
2241()cos sin 1sin sin sin 52f x x x x x x ⎛⎫
=+=-+=-- ⎪⎝⎭
，
又因为,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，所以22sin ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，故选Ｄ． 8．【答案】A
【解析】原式=2tan ,()
2|sin |cos 2tan ()x x x x x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩在一、二象限，
在三、四象限，
图象如图所示．
9．【答案】
【解析】cos(
4π＋A )＝cos 4πcos A －sin 4
π
sin A ＝
22(cos A －sin A )＝35
， ∴cos A －sin A ＝
32
5
＞0. ① ∴0＜A ＜
4π，∴0＜2A ＜2
π ①2
得1－sin2A ＝
1825，∴sin2A ＝7
25
. ∴cos2A ＝2
24
1sin 225
A -=
. 10．【答案】1[,1]2-，[,]
62ππ
【解析】第一问略．（2）因为x ∈[-π/6，a]，所以2x+π/6∈[-π/6，2a+π/6]，因为值域是[-1/2，1]，画一个单位圆可知定义域的长度是小于2π的．然后通过单位圆可知
2a+π/6小于等于7π/6 ，大于等于π/2，所以a ∈[π/6，π/2] 11．【答案】[－
12，12
] 【解析】法一：设x ＝cos αsin β， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1
2
＋x ， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝
1
2
－x . ∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴1112111
2
x x ⎧
-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩ ∴31221322x x ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩ ∴－
12≤x ≤1
2
. 法二：设x ＝cos αsin β，sin αcos βcos αsin β＝1
2
x . 即sin2αsin2β＝2x .
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x |≤1，∴－
12≤x ≤12
. 12．【答案】（－2，2）
【解析】由442
x x ππ
π
⎛
⎫⎛⎫+
+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，得 ()sin cos 44f x a x b x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭tan 4a x b πϕϕ⎛⎫⎛
⎫=++= ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭．
由于函数y=cos x 的对称轴为x=k π（k ∈Z ），因此只需4
k π
ϕπ+=（k ∈Z ）即可，
于是4
k π
ϕπ=-
（k ∈Z ），此时tan ϕ=－1，∴a+b=0．于是取任意一对非零相反数即可，
如（1，－1）． 13．【解析】
14．【解析】(1)法一：∵cos(β－
4π)＝cos 4πcosβ＋sin 4
π
sinβ
sinβ＝1
3
.
. ∴1＋sin2β＝
29，∴sin2β＝－79
. 法二：sin2β＝cos(
2
π
－2β) ＝2cos 2
(β－
4
π)－1＝－79.
(2)∵0<α<
2π<β<π，∴4π<β－4π<34π，2π<α＋β<32π
.
∴sin(β－
4
π
)>0，cos(α＋β)<0. ∵cos(β－
4
π)＝13，sin(α＋β)＝45，
∴sin(β－
4
π)＝3，cos(α＋β)＝－35.
∴cos(α＋
4π)＝cos[(α＋β)－(β－4
π)] ＝cos(α＋β)cos(β－
4π)＋sin(α＋β)sin(β－4
π
)
＝－
35×13＋45
×3＝3
15.
15．【解析】（1）因为1()4cos sin 14cos cos 1622f x x x x x x π⎛⎫⎛
⎫=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
222cos 12cos 22sin 26x x x x x π⎛
⎫=+-=+=+ ⎪⎝
⎭，所以()f x 的最小正
周期为π．
（2）因为6
4
x π
π
-
≤≤
，所以226
6
3
x π
π
π
-
≤+
≤
．
于是，当26
2
x π
π
+=
，即6
x π=
时，()f x 取得最大值2；
当26
6
x π
π
+
=-
，即6
x π
=-
时，()f x 取得最小值－1．
16．【解析】设∠PAB=α，连结PB. ∵AB 是直径，∴∠APB=90°. 又AB=1，∴PA=cosα，PB=sinα. ∵PC 是切线，∴∠BPC=α.又PC=1， ∴S 四边形ABCP =S △APB +S △BPC =
11
sin 22PA PB PB PC α⋅+⋅⋅ =
211
cos sin sin 22ααα+ =
11
sin 2(1cos 2)44αα+- =
11(sin 2cos 2)44αα-+ =
21sin(2)444
πα-+ 由已知，
211
)4442
πα-+= 2
sin(2)42
πα∴-=．
又30,
,2,2444
ππππ
αα⎛⎫
⎛⎫
∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
． 2,4
4
4
π
π
π
αα∴-
=
∴=
故当点P 位于AB 的中垂线与半圆的交点时，四边形ABCP 的面积等于12
．。