17-18版 第5章 第27课 课时分层训练27

课时分层训练(二十七)
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝__________. 63 [由正弦定理可得1532＝10sin B ，所以sin B ＝3
3，再由b ＜a ，可得B 为锐
角，
所以cos B ＝1－sin 2B ＝6
3.]
2．(2016·天津高考改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________.
1 [由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．]
3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．
34 [依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.]
4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是________(填“一解”“二解”“不存在”)．
不存在 [∵b sin c ＝40×sin 60°＝203，c ＝20， ∴b sin c >c ， ∴△ABC 不存在．]
5．(2016·全国卷Ⅲ改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝________.
31010 [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π
4，∴AD
＝BD，∴BD＝AD＝a
3，DC＝
2
3a，∴AC＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫a
3
2＋
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2
3a
2＝
5
3a，在△ABC中，由正弦定理得
a
sin∠BAC
＝
5
3a
sin 45°，
∴sin ∠BAC＝
310
10.]
6．若a cos(π－A)＋b sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
2＋B＝0，内角A，B的对边分别为a，b，则三角形ABC的形状为________．
等腰三角形或直角三角形[因为a cos(π－A)＋b sin
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
2＋B＝0，所以－a cos A＋b cos B＝0，所以－sin A cos A＋sin B cos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B，所以A＝B或A＋B＝
π
2，所以三角形ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．]
7．已知△ABC中，AB＝3，BC＝1，sin C＝3cos C，则△ABC的面积为________. 【导学号：62172149】
3
2[由sin C＝3cos C得tan C＝3＞0，所以C＝
π
3.
根据正弦定理可得
BC
sin A＝
AB
sin C，即
1
sin A＝
3
3
2
＝2，
所以sin A＝
1
2.因为AB＞BC，所以A＜C，所以A＝
π
6，所以B＝
π
2，即三角形为直角三角形，
故S
△ABC
＝
1
2×3×1＝
3
2.]
8．(2017·镇江期中)在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么tan C＝________.
－15[∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c，
∴a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a ＝2x ，则b ＝3x ，c ＝4x ， ∴cos C ＝4x 2＋9x 2－16x 22×2x ×3x ＝－1
4.
又c ∈(0，π)，∴sin c ＝15
4， ∴tan C ＝sin C
cos C ＝－15.]
9．(2017·盐城模拟)在锐角△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，△ABC 的面积为33
2，则AC 的长为________．
7 [∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×3sin B ＝332， ∴sin B ＝32.
又△ABC 为锐角三角形，故cos B ＝1
2. 在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝4＋9－2×2×3cos B ＝13－12×1
2＝7. ∴AC ＝7.]
10．(2017·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A ＝2tan B ，a 2－b 2＝1
3c ，则c ＝________.
1 [∵tan A ＝2tan B ，∴sin A cos A ＝2sin B
cos B ， ∴a cos B ＝2b cos A ， ∴a 2＋c 2－b 22c ＝b 2＋c 2－a 2c ，
∴3a 2－3b 2＝c 2， 又a 2－b 2＝13c ，
∴c 2－c ＝0，即c ＝1，或c ＝0(舍去)．] 二、解答题
11．(2017·南通一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2a cos B，b＝2，求△ABC的面积. 【导学号：62172150】
[解](1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2
2ab＝－1
2，即
cos C＝－1 2.
因为0<C<π，所以C＝2π3.
(2)法一：因为c＝2a cos B，由正弦定理，得
sin C＝2sin A cos B，
因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)，
所以sin(A＋B)＝2sin A cos B，即sin A cos B－cos A sin B＝0，即sin(A－B)＝0，
又－π
3<A－B<
π
3，
所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2.
所以△ABC的面积为S
△ABC ＝
1
2ab sin C＝
1
2×2×2×sin
2π
3＝ 3.
法二：由c＝2a cos B及余弦定理，得c＝2a×a2＋c2－b2
2ac，
化简得a＝b，
所以，△ABC的面积为S
△ABC ＝
1
2ab sin C＝
1
2×2×2×sin
2π
3＝ 3.
12．(2016·苏北四市期末)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知sin A＝3
5，tan(A－B)＝－
1
2.
(1)求tan B的值；
(2)若b＝5，求c. 【导学号：62172151】
[解](1)在锐角三角形ABC中，由sin A＝3
5，得cos A＝1－sin 2A＝
4
5，
所以tan A＝sin A
cos A＝
3
4.
由tan(A－B)＝
tan A－tan B
1＋tan A·tan B
＝－
1
2，得tan B＝2.
(2)在锐角三角形ABC 中，由tan B ＝2，得sin B ＝255，cos B ＝5
5， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝115
25， 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝11
2.
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________.
－4
3 [因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，
即sin C －2cos C ＝2， 所以(sin C －2cos C )2＝4， sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C
sin 2C ＋cos 2C ＝4，
所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，
解得tan C ＝－4
3或tan C ＝0(舍去)．] 2．在△ABC 中，tan A ＋B 2＝2sin C ，若AB ＝1，则1
2AC ＋BC 的最大值为
________．
21
3
[因为tan A ＋B 2＝2sin C ， 所以sin
A ＋
B 2
cos A ＋B 2
＝2sin C ，
2sin A ＋B 2·cos A ＋B 2
2⎝
⎛
⎭⎪⎫cos
A ＋
B 22＝2sin
C ，
sin (A ＋B )
1＋cos (A ＋B )
＝2sin C .
因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， 所以
sin C
1－cos C
＝2sin C .
又sin C ≠0，所以cos C ＝12，sin C ＝32，C ＝π
3. 因为BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ＝233， 所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋23
3sin A ＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋23
3sin A
＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋1
2sin A ＋2sin A
＝21
3sin(A ＋φ)， 其中0<φ<π2，tan φ＝3
5，
当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值21
3.]
3．(2017·南京模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A c
＝2cos C .
(1)求角C 的大小；
(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求边c 的长．
[解] (1)由余弦定理知a cos B ＋b cos A ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2
2c ＝c ，
∴
a cos B ＋
b cos A
c ＝1，∴cos C ＝
1
2，
又C ∈(0，π)，C ＝π
3.
(2)∵S△ABC＝1
2ab sin C＝23，∴ab＝8.
又∵a＋b＝6，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝12，∴c＝2 3.。