非线性有限元5
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x
L L0 x1 L0 L0
真实应力(对于不可压缩材料)
x x s0 ( x ) s(x )
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性 行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
15
Volume averaged compression stress-strain curve of Cu singlecrystal micro-pillar; ‘A’, ‘B’, ‘C’ is a typical microstructure corresponding to three different stages.
12
Compression for micro-pillars
By performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40μm, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although there is no strain gradient.
Sij Cijkl Ekl S C:E
式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显 著地减少常数。
4 非线性弹性
利用势能表示的应力－应变关系和Green公式，
W Sij Eij
故有
2W 2W Eij Ekl Ekl Eij
Skl Ekl Eij
x f ( x , Dx )
x EDx E x x
一个特殊的线性次弹性关系给出为 对上式的关系积分，得到
x E ln x
x
d x E ln x d x d x 1
这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性 关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。 然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。 x f ( x , Dx ) 的多轴一般形式常常 因为次弹性的简单性，公式 应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。
Movie 1 Movie 2 ZW. Shan et al, Nature Materials,,2008
14
Compression of micro-pillar
(a) (b)
A
800nm
C
B
400
nm
(a) The initial annealed dislocation network in the single crystal copper got by an energy minimization process. (b) FE mesh, the constant stress rate is applied on the top surface along [001] direction.
w( x ) x d x
0
x
对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。 对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。
3 一维弹性
2 2 1 应变能一般是应变的凸函数，例如， (w( 1 x ) w ( x ))( x x ) 0
当
2 1 x x
Strain gradient theories
Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient plasticity.
Test 1: Fluctuation force increase following by dominant elastic response Test 2: dominant elastic response followed by fluctuation force increase
Dislocation nucleation/annihilate rate!
(Uchic et al., Science, 2004)
Dislocation source starvation
Microstructure and sample geometry:
•Defects free pillar, •Diminishing of the taper angle without apparent shearing and buckling Mechanical data:
Sx w E x
在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为 超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示
w 1 SE 2 E Ex 2
S x E SE Ex
对于小应变问题，即为胡克定律。
3 一维弹性
大应变
一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这 种关系一般是非线性的，给出为
第5章 本构模型
1 2 3 4 5 6 7
引言 应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性 一维塑性 多轴塑性 连续介质力学与本构模型
1 引言
金属
本构关系是有限元模 拟关键一环！
生物 材料
塑料
工程 材料
2 应力-应变曲线
材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态 (单轴 应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常 常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。 定义伸长
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米 尺度的应变梯度塑性理论，如MSG
Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tension Q- torsion, k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, 11 Stolken and Evans found when the thickness from h=100m reduced to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly.
3 一维弹性
弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意 味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢 复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关 的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。
小应变
x s( x )
对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。 可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中， 储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。
Sij Cijkl Ekl
S C:E
式中 C 为弹性模量 (切线模量 )的四阶张量，对Kirchhoff 材料是 常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各 向异性。
4 非线性弹性
一般的四阶张量有34＝81个独立常数，与全应力张量的9个 分量和全应变张量的9个分量有关。 如次弹性本构方程
x L L0
名义应力（工程应力）给出为
T px A0
工程应变定义为
L L0 x x1 L0 L0
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量 对数应变（也称为真实应变） L dL ex ln( L L0 ) ln x L L x x Dx 对材料时间求导，表达式为 e x 当一维情况，上式为变形率。
4 非线性弹性
Kirchhoff材料
许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形 的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼 杆的弯曲。 由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但要以PK2 应力代替其中的应力和以Green应变代替线性应变，这称为SaintVenant- Kirchhoff 材料，或者简称为 Kirchhoff 材料。最一般的 Kirchhoff模型为
公式的等号成立。
凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数 是单调递增的，如果w 是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变 软化，这是非稳定的材料反应， ds d x 0 如右下图。
(a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线
(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线
3 一维弹性
大应变
从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共 轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量 耗散。如
0
工程应力－应变曲线
当前面积的表达式给出为
A J A0 L0 L J A0 x
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T T x x J 1 p x A JA0
真实应力－应变曲线
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的 关系为
px s0 ( x )
Sij
这样 C为对称矩阵（主对称性 : Cijkl Cklij ) ， 在 81 个常数中有 45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。
应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性: Cij E ji
率无关和率相关材料的一维反应
2 应力-应变曲线
对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
2 应力-应变曲线
应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则， 称为率相关。名义应变率定义为
L x 0
因为
L 和
x x
L L L 0 0 x
即名义应变率等于伸长率，例如 可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
非线性有限元
第5章 本构模型
2016年9月15日
如何学好这门课？带着科研问题！
这门课得到什么？力学思维方法！ 增加互动机制，请同学讲问题！
1. 通过“有限元离散”这条主线把连续介质力学、固体 本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多 年来学习的力学知识进行有效的梳理。教材是科研中 不可缺少的“百科全书”。 2. 通过数值语言描述一些抽象、艰深的力学概念，比如 从结构体内力更新的角度阐述连续介质力学中 Cauchy 应力与转动Jaumann率的关系，使貌似复杂的力学定义 原来是如此形象和自然。 3. 课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳 定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野， 对博士生选题有很大启发。 4. 课程提高了解决实际力学问题的能力，使得在科研中 通过数值模拟迅速实现一些新想法，若到国外留学， 从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。
L L0 x1 L0 L0
真实应力(对于不可压缩材料)
x x s0 ( x ) s(x )
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性 行为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
15
Volume averaged compression stress-strain curve of Cu singlecrystal micro-pillar; ‘A’, ‘B’, ‘C’ is a typical microstructure corresponding to three different stages.
12
Compression for micro-pillars
By performing uniaxial compression tests for micro-pillars of Ni having diameters from 150 nm to 40μm, the size dependent and dislocations escape from free surfaces are found. The thinner is harder, although there is no strain gradient.
Sij Cijkl Ekl S C:E
式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显 著地减少常数。
4 非线性弹性
利用势能表示的应力－应变关系和Green公式，
W Sij Eij
故有
2W 2W Eij Ekl Ekl Eij
Skl Ekl Eij
x f ( x , Dx )
x EDx E x x
一个特殊的线性次弹性关系给出为 对上式的关系积分，得到
x E ln x
x
d x E ln x d x d x 1
这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性 关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。 然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。 x f ( x , Dx ) 的多轴一般形式常常 因为次弹性的简单性，公式 应用在有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。
Movie 1 Movie 2 ZW. Shan et al, Nature Materials,,2008
14
Compression of micro-pillar
(a) (b)
A
800nm
C
B
400
nm
(a) The initial annealed dislocation network in the single crystal copper got by an energy minimization process. (b) FE mesh, the constant stress rate is applied on the top surface along [001] direction.
w( x ) x d x
0
x
对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。 对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。
3 一维弹性
2 2 1 应变能一般是应变的凸函数，例如， (w( 1 x ) w ( x ))( x x ) 0
当
2 1 x x
Strain gradient theories
Since the strain is non-local, which could not be obtained at a single integration Gauss point. The ABAQUS User Element is developed to calculate the non-local strain gradient plasticity.
Test 1: Fluctuation force increase following by dominant elastic response Test 2: dominant elastic response followed by fluctuation force increase
Dislocation nucleation/annihilate rate!
(Uchic et al., Science, 2004)
Dislocation source starvation
Microstructure and sample geometry:
•Defects free pillar, •Diminishing of the taper angle without apparent shearing and buckling Mechanical data:
Sx w E x
在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为 超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示
w 1 SE 2 E Ex 2
S x E SE Ex
对于小应变问题，即为胡克定律。
3 一维弹性
大应变
一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这 种关系一般是非线性的，给出为
第5章 本构模型
1 2 3 4 5 6 7
引言 应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性 一维塑性 多轴塑性 连续介质力学与本构模型
1 引言
金属
本构关系是有限元模 拟关键一环！
生物 材料
塑料
工程 材料
2 应力-应变曲线
材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态 (单轴 应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常 常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。 定义伸长
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
Size effect：对经典本构理论的挑战，诞生了微米 尺度的应变梯度塑性理论，如MSG
Fleck, 1994, (a) torsion; (b) tension Q- torsion, k-torsion angle per unit length When diameter of copper wire reduced to d=12m, torsion strength increased 3 times than it d=170m. During thin beams bending test, 11 Stolken and Evans found when the thickness from h=100m reduced to h=12.5m, the bending strength was also increased significantly.
3 一维弹性
弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意 味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢 复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关 的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。
小应变
x s( x )
对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。 可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中， 储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。
Sij Cijkl Ekl
S C:E
式中 C 为弹性模量 (切线模量 )的四阶张量，对Kirchhoff 材料是 常数，代表了应力和应变的多轴状态。它可以完全反映材料的各 向异性。
4 非线性弹性
一般的四阶张量有34＝81个独立常数，与全应力张量的9个 分量和全应变张量的9个分量有关。 如次弹性本构方程
x L L0
名义应力（工程应力）给出为
T px A0
工程应变定义为
L L0 x x1 L0 L0
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量 对数应变（也称为真实应变） L dL ex ln( L L0 ) ln x L L x x Dx 对材料时间求导，表达式为 e x 当一维情况，上式为变形率。
4 非线性弹性
Kirchhoff材料
许多工程应用包括小应变和大转动。在这些问题中，大变形 的效果主要来自于大转动，如直升机旋翼、船上升降器或者钓鱼 杆的弯曲。 由线弹性定律的简单扩展即可以模拟材料的反应，但要以PK2 应力代替其中的应力和以Green应变代替线性应变，这称为SaintVenant- Kirchhoff 材料，或者简称为 Kirchhoff 材料。最一般的 Kirchhoff模型为
公式的等号成立。
凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数 是单调递增的，如果w 是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变 软化，这是非稳定的材料反应， ds d x 0 如右下图。
(a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线
(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线
3 一维弹性
大应变
从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共 轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量 耗散。如
0
工程应力－应变曲线
当前面积的表达式给出为
A J A0 L0 L J A0 x
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T T x x J 1 p x A JA0
真实应力－应变曲线
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的 关系为
px s0 ( x )
Sij
这样 C为对称矩阵（主对称性 : Cijkl Cklij ) ， 在 81 个常数中有 45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。
应力张量和应变张量均为对称张量（次对称性: Cij E ji
率无关和率相关材料的一维反应
2 应力-应变曲线
对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
2 应力-应变曲线
应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则， 称为率相关。名义应变率定义为
L x 0
因为
L 和
x x
L L L 0 0 x
即名义应变率等于伸长率，例如 可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
非线性有限元
第5章 本构模型
2016年9月15日
如何学好这门课？带着科研问题！
这门课得到什么？力学思维方法！ 增加互动机制，请同学讲问题！
1. 通过“有限元离散”这条主线把连续介质力学、固体 本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多 年来学习的力学知识进行有效的梳理。教材是科研中 不可缺少的“百科全书”。 2. 通过数值语言描述一些抽象、艰深的力学概念，比如 从结构体内力更新的角度阐述连续介质力学中 Cauchy 应力与转动Jaumann率的关系，使貌似复杂的力学定义 原来是如此形象和自然。 3. 课程涉及到很多固体力学中的前沿问题，如材料的稳 定性、任意欧拉-拉格朗日网格描述等，拓宽了视野， 对博士生选题有很大启发。 4. 课程提高了解决实际力学问题的能力，使得在科研中 通过数值模拟迅速实现一些新想法，若到国外留学， 从事博士后研究，更能体会到该课程带来的好处。