高中数学二轮专题复习——数形结合思想总结(K12教育文档)

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思想方法专题
数形结合思想
【思想方法诠释】
一、数形结合的思想
所谓的数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化,抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．
二、数形结合思想解决的问题常有以下几种：
1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
5．构建立体几何模型研究代数问题；
6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
7．构建方程模型，求根的个数；
8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效，具体操作时,应注意以下几点：
1．准确画出函数图象，注意函数的定义域;
2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图）然后作出两个函数的图象,由图求解。

四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：
1．要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
2．要恰当设参，合理用参,建立关系，做好转化；
3．要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
4．精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化，以便于问题求解。

【核心要点突破】
要点考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题
例1:实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0,1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：
（1)点（a，b)对应的区域的面积；
（2）的取值范围；
（3）(a-1）2+(b—2）2的值域．
思路精析：列出a，b满足的条件→画出点（a，b）对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+（b—2）2的几何意义求值域．
解析：方程x2+ax+2b=0的两根在区间（0，1）和（1，2）上的几何意义分别是:函数y=f(x）= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0，1）和（1，2）内，
由此可得不等式组
由,解得A(—3，1）．由，解得C（-1,0）．
∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界）．
（1）△ABC的面积为(h为A到Oa轴的距离）．
（2）几何意义是点（a，b）和点D(1,2）边线的斜率．
由图可知
（3）∵(a—1）2+(b—2）2表示的区域内的点（a，b)与定点(1,2)之间距离的平方,
注:如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解，比较常见的对应有:
（1)连线的斜率;
(2）之间的距离；
（3）为直角三角形的三边；
(4）图象的对称轴为x=．只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．
要点考向2：用数形结合求方程根的个数,解决与不等式有关的问题例2：(1)已知:函数f(x）满足下面关系：①f（x+1）=f(x—1)；②当x∈[—1,1］时，f （x）=x2，则方程f(x）=lgx解的个数是（）
（A）5 （B）7 (C）9 (D）10
（2）设有函数f（x)=a+ 和g（x)= ，已知x∈［-4,0]时，恒有f（x）≤g(x)，求实数a的范围．
思路精析：（1）画出f(x）的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数．
（2）f（x）≤g（x)变形为→画出的图象→画出的图象→寻找成立的位置
解析：（1）选C．由题间可知，f(x）是以2为周期，值域为[0，1］的函数．又f(x） =lgx，
则x∈（0，10]，画出两函数图象,则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．
(2）f(x）≤g(x）,即,变形得,令…………①，………………②
①变形得，即表示以（—2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；
②表示斜率为，纵截距为1—a的平行直线系．设与圆相切的直线为AT，其倾斜角为α，则有tanα=，,
要使f（x）≤g（x)在x∈[—4，0]时恒成立，则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合,故有1-a≥6，∴a≤—5．
注：（1)用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
（2）解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．
要点考向2：数形结合在解析几何中的应用
例3：已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点(0,2)F ,且长轴长与短轴长的比是2:1．
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1,过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ,求证：直线AB 的斜率为定值；
（Ⅲ）求PAB ∆面积的最大值．
解析：(Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221(0)y x a b a b +=>>．
由题意222,:2:1,
2.a b c a b c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………………………………………………2分
解得 24a =，22b =． 所以椭圆C 的方程为22
142y x +=．………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知，两直线PA ,PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k ，则PB 的直线方程为2(1)y k x -=-.
由22
2(1),1.42y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得
222(2)2(2)(2)40k x k k x k +++-=.……6分 设(,)A A A x y ,(,)B B B x y ,则22221B B k k x x --=⋅=,
同理可得2222A k k x +-=， 则
42A B k x x -=，28(1)(1)2A B A B k y y k x k x k -=----=+.
所以直线AB
的斜率A B AB A B y y k x x -==-为定值. ……………………………………8分
(Ⅲ）设AB
的直线方程为y m =+。

由22
,1.42y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
得22440x m ++-=。

由
22)16(4)0m ∆=-->，得28m <.……………………………………10分
此时A B x x +=，
244A B m x x -⋅=。

P 到AB
的距离为
d =
,AB =
=
则12PAB S AB d ∆==
2282m m -+=≤=
因为24m =使判别式大于零，所以当且仅当2m =±时取等号,[
所以PAB ∆
面积的最大值为．………………………………………………………13分
注：1．数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形,通过方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效．
2．此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息或结论信息结合在一起,观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组)，从而将问题解决．
要点考向2:数形结合在立体几何中的应用
例4：如图1，在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ，4,2AB AD CD ===， M 为线段AB 的中点。

将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图2所示.
(Ⅰ) 求证：BC ⊥平面ACD ；
（Ⅱ) 求二面角A CD M --的余弦值.
解析：(Ⅰ）在图1中,可得22AC BC ==，从而222AC BC AB +=,故AC
BC ⊥.
取AC 中点O 连结DO ，则DO AC ⊥，又面ADC ⊥面ABC ,
面ADC 面ABC AC =,DO ⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC 。

…………………4分
∴OD BC ⊥，又AC BC ⊥,AC OD O =.
∴BC ⊥平面ACD 。

………………………………………………6分 （Ⅱ)建立空间直角坐标系O xyz -如图所示，则(0,2,0)M ,(2,0,0)C -,(0,0,2)D
(2,2,0)CM =,(2,0,2)CD =. ………………………………………………8分
设1(,,)n x y z =为面CDM 的法向量，
则1100n CM n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220220x y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,解得y x z x =-⎧⎨=-⎩.
令1x =-,可得1(1,1,1)n =-.
又2(0,1,0)n =为面ACD 的一个法向量,∴
1212123cos ,3||||3n n n n n n ⋅<>===。

∴二面角A CD M --的余弦值为3
3. 注：1．应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置．其一般思路是:尽量建立空间直角坐标系,将要证、要求的问题转化为坐标运算．
2．立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,为代数法求解找到突破口．
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分，共36分）
1.方程lgx=sinx 的根的个数( )
(A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
2．已知全集U=R ，集合A={x|x2-3x-10〈0}，B={x ｜x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( ）
A ．（3,5）
B ．（—2，+∞)
C ．（-2,5）
D ．（5,+ ∞）
3．在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域A={（x ，y ）｜x+y ≤1，且x ≥0，y ≥0｝，则平面区域B=｛（x+y ，x-y)|(x ，y ）∈A}的面积为（ ）
（A)2 (B)1 （C)12 (D ） 14
4．函数32()f x x bx cx d =+++图象如图，则函数 2233
c y x bx =++的单调递增区间为( ） A ．]2,(--∞ B ．),3[+∞ C ．]3,2[- D ．),2
1[+∞ 5．不等式组2
142x a x a ⎧->⎨
-<⎩有解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(1,3)-
B ．(,1)(3,)-∞-+∞
C ．(3,1)-
D ．(,3)(1,)-∞-+∞
6．已知f(x)是定义在(—3，3）上的奇函数，当0〈x<3时,f （x)的图象如图所示，那么不等式f （x ）·cosx<0的解集是 （ ）
－2 3 y x 0
二、填空题（每小题6分,共18分）
7．复数（x —2）+yi ，其中x 、y 均为实数,当此虚数的模为1时,的取值范围是
8。

已知关于x 的方程x 2-4|x ｜+5=m 有四个不相等的实根，则实数m 的范围是_______。

9.设A={（x ，y)|x 2+（y —1）2=1｝,B={(x ，y ）｜x+y+m ≥0｝,则使A
B 成立的实数m 的取
值范围是______.
三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）
10．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，点M 、N 分别在侧棱PD 、PC 上,且PM MD = （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PCD ；
(Ⅱ）若12PN NC =，求平面AMN 与平面PAB 的所成锐
二面角的大小
11．如图，1l ，2l 是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M 、N 两地的铁
路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M 到L1、L2的距离分别是2 km 、4km ，N 到L1、L2的距离分别是3 km 、9 kin ．
（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；
(Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题,要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km,并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km．求此厂离点
0的最近距离．（注:工厂视为一个点）
12．已知函数f（x）=—x2+8x,g(x）=6lnx+m。

(1）求f（x）在区间［t，t+1]上的最大值h（t);
（2)是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g（x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
1．【解析】选C。

在同一坐标系中作出y=lgx与y=sinx的图象，如图.其交点数为3。

2．答案:B
3．
作出不等式组表示的平面区域B，如图所示，根据图形可知该区域为等腰直角三角形，可求出
面积，所以平面区域B的面积为1．
4．答案：D
5．答案：A
6．【解析】选B。

根据对称性画出f(x)在(—3,0）上的图象如图，
结合y=cosx在(-3,0), (0,3)上函数值的正负,
易知不等式f(x）cosx〈0的解集是
7．【解析】由题意知，设，则k为过圆(x—2)2+y2=1上的点及原点的直线斜率，作图如下：
又由对称性，可得答案：
答案:
8．【解析】令f(x)=x2-4|x|+5=（｜x｜—2）2+1，其图象如图。

画直线y=m ，由图象知当1〈m<5时，方程有四个不相等的实根. 答案：（1，5）
9．【解析】由于集合A ，B 都是点的集合，故可结合图形进行分析、求解。

集合A 是一个圆x 2+(y —1）2=1上的点的集合，集合B 是一个不等式x+y+m ≥0表示的平面区域内的点的集合, 要使A
B ，则应使圆被平面区域所包含（如图），
即直线x+y+m=0应与圆相切或相离（在圆的下方）,而当直线与圆相切时有
故m 的取值范围是m ≥
-1.答案：m ≥-1
10．解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系,xyz A -又
PA=AD=2，则有P （0，0，2），D （0，2,0） (0,1,1),(2,2,0).M C
(2,2,2).PC ∴=-(0,1,1)
AM =……3分
（Ⅰ）
0,0,AM CD AM PC AM CD AM PC ==∴⊥⊥
又,.PC CD C AM PCD =∴⊥平面……………7分
（Ⅱ)设
1
(,,),,
2N x y z PN NC =
则有
120(2),.23x x x -=-∴= 同理可得
24,.33y z ==即得224
(,,).
333N ………………9分
由448
0,. 333
PC AN PC AN
⋅=+-=∴⊥
(2,2,2).
AMN PC
∴=-
平面的法向量为而平面PAB的法向量可为(0,2,0),
AD=
3
cos,.
124
PC AD
PC AD
PC AD
⋅
∴<>===
⋅
⋅
故所求平面AMN与PAB所成锐二面角的大小为
.
3
3
arccos
…………12分
11．解析：（1）分别以1l、2l为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2,4），N（3，9）
设MN所在抛物线的方程为c
ax
y+
=2，则有⎩
⎨
⎧
+
=
+
=
c
a
c
a
9
9
4
4
，解得⎩
⎨
⎧
=
=
1
c
a
∴所求方程为2x
y=（2≤x≤3）5分（说明：若建系后直接射抛物线方程为)0
(
2
2>
=p
py
x，代入一个点坐标求对方程，本问扣2分）（2）设抛物线弧上任意一点P（x，2x）（2≤x≤3）
厂址为点A(0，t）（5＜t≤8),由题意得2
2
2)
(
|
|t
x
x
PA-
+
=≥6
∴)6
(
)
2
1(2
2
4-
+
-
+t
x
t
x≥0 7分
令2x
u=，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴对于任意的]9,4[
∈
u，不等式)6
(
)
2
1(2
2-
+
-
+t
u
t
u≥0恒成立（*）8分设)6
(
)
2
1(
)
(2
2-
+
-
+
=t
u
t
u
u
f,∵t<
5≤8∴2
2
1
2
9t
-
-
<
≤2
15
.
要使（＊）恒成立,需△≤0，即)6
(4
)1
2(2
2-
-
-t
t≤0 10分
解得t ≥425，∴t 的最小值为425
所以，该厂距离点O 的最近距离为6。

25km 12分
12．【解析】（1)f （x ）=-x 2+8x=—(x-4)2+16。

①当t+1<4即t 〈3时，f （x ）在[t,t+1］上单调递增（如图①）。

h(t)=f(t+1）=-(t+1)2+8（t+1)=—t 2+6t+7.
②当t ≤4≤t+1即3≤t ≤4时，f （x)的最大值为h(t)=f(4)=16（如图②) ③当t 〉4时，f （x ）在［t ，t+1]上单调递减(如图③),h(t ）=f （t ）=—t 2+8t 。

（2）函数y=f （x)的图象与y=g （x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数φ(x ）=g(x)—f(x ）的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

∵φ(x ）=x 2-8x+6lnx+m,
[
当x ∈（0,1）时φ′（x ）>0，φ(x)是增函数;
当x∈（1,3）时,φ′(x）<0，φ（x）是减函数;
当x∈（3,+∞）时，φ′（x)〉0，φ（x）是增函数；
当x=1或x=3时,φ′（x）=0。

∴φ(x)极大值=φ（1)=m-7，φ（x）极小值=φ（3）=m+6ln3—15.
∵当x充分接近0时，φ（x)〈0,当x充分大时，φ(x）>0，
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，
即7<m〈15-6ln3。

所以存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7，15-6ln3)。

【备课资源】
4.已知函数f（x）=|x2+2x｜,若关于x的方程f2（x）+bf（x)+c=0有7个不同的实数根,则b,c的大小关系是（ )
（A)b〉c （B）b≥c或b≤c中至少有一个正确 (C)b<c （D)不能确定【解析】选C.f（x）=｜x2+2x｜的图象如图。

要使关于x的方程f2（x）+bf（x)+c=0有7个不同的实数根,则关于f(x)的一元二次方程f2(x）+bf(x）+c=0有两个不同的根.且一个根在（0，1）内，另一个根为1.
∴b〈c。

5.若直线y=kx—1与曲线y=有公共点，则k的取值范围是________.
【解析】∵曲线y=的定义域为［1,3］,且其图象为圆（x-2)2+y2=1的下半圆，如图所示，
则直线y=kx-1要与曲线有公共点，则直线只能处于l1,l2之间，且可与l1、l2重合，则k的取值范围是[0,1］。

答案：［0，1]
6。

已知有向线段PQ的起点P与终点Q的坐标分别为P(-1,1)，
Q（2，2）.若直线l:x+my+m=0与有向线段PQ延长线相交,求实数m的取值范围.
8。

集合A={x｜-1〈x〈1},B={x|x<a},
(1）若A∩B=,求a的取值范围；
(2）若A∪B={x|x<1｝，求a的取值范围。

【解析】(1)如图所示：A={x｜—1〈x<1}
B={x|x〈a｝,且A∩B=，∴数轴上点x=a在x=-1左侧,∴a≤—1.（2)如图所示：A=｛x｜-1〈x<1}，
B={x|x<a}且A∪B={x|x<1},∴数轴上点x=a在x=-1和x=1之间，∴—1<a≤1。

9.如图,l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN.
(1)证明AC⊥NB；（2）若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
【解析】如图,
建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1，则有A（—1,0,0），B（1,0,0),N(0，1，0).
（1）∵MN是l1、l2的公垂线，l1⊥l2,∴l2⊥平面ABN，∴l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是
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