高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形《函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用》练

第5讲 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及三角函数模型的简单应
用
[基础题组练]
1．(2019·豫南九校联考)将函数y ＝sin(x －π
4)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标不变)，再向右平移π
6
个单位，则所得函数图象的解析式为( )
A ．y ＝sin(x 2－5π
24)
B ．y ＝sin(x 2－π
3
)
C ．y ＝sin(x 2－5π
12
)
D ．y ＝sin(2x －7π
12
)
解析：选B.函数y ＝sin(x －π4)经伸长变换得y ＝sin(x 2－π4)，再作平移变换得y ＝sin[12
(x －π6)－π4]＝sin(x 2－π3
)．
2．(2019·福建五校第二次联考)为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin
2x 的图象( )
A ．向右平移5π
12个单位长度
B ．向左平移5π
12个单位长度
C ．向右平移5π
6
个单位长度
D ．向左平移5π
6
个单位长度
解析：选B.因为y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2x ＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π2，
所以将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图
象，故选B.
3．(2019·广州调研)将函数y ＝2sin(x ＋π3)cos(x ＋π
3)的图象向左平移φ(φ>0)个单
位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )
A.π
12 B.π6 C.π4
D.π3
解析：选B.根据题意可得y ＝sin(2x ＋2π
3)，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y
＝sin(2x ＋
2π3＋2φ)的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π
3
＋2φ＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π
3
(k ∈Z )，又φ>0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝
π
6
，故选B.
4．(2019·郑州质量预测)若将函数f (x )＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移
π
3个单位长度，得到g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )
A ．[k π＋π4，k π＋3π
4](k ∈Z )
B ．[k π－π4，k π＋π
4](k ∈Z )
C ．[k π－2π3，k π－π
6](k ∈Z )
D ．[k π－π12，k π＋5π
12
](k ∈Z )
解析：选A.将函数f (x )＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移π
3个单位长度，得
到函数g (x )＝12sin[2(x ＋π3)＋π3]＝12sin(2x ＋π)＝－12sin 2x 的图象，令π
2＋2k π≤2x ≤
3π2＋2k π(k ∈Z )，可得π4＋k π≤x ≤3π
4＋k π(k ∈Z )，因此函数g (x )的单调递增区间为[k π＋π4，k π＋3π
4
](k ∈Z )，故选A.
5．(2019·江西赣州质检)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π
3
个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )
A ．ω＝2，φ＝2π
3
B ．ω＝2，φ＝－π
3
C ．ω＝1，φ＝－π
3
D ．ω＝1，φ＝2π
3
解析：选 A.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移
π
3
个单位后可得y ＝
sin(ωx ＋πω3＋φ)．由函数的图象可知，T 2＝π3－(－π6)＝π
2，所以T ＝π.根据周期公式可
得ω＝2，所以y ＝sin(2x ＋φ＋2π3)．由图知当y ＝－1时，x ＝12×(π3－π6)＝π
12，所以函
数的图象过(π
12
，－1)，
所以sin(5π6＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝2π
3
.故选A.
6．(2019·湖北天门、仙桃、潜江联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)的值等于( )
A.22
B. 2
C.2＋2
D ．1
解析：选C.由题图知A ＝2，T 2＝6－2＝4，所以T ＝8，则ω＝2π8＝π
4
.
所以y ＝2sin(π
4
x ＋φ)．又因为函数图象过点(2，2)，
所以2sin(π4×2＋φ)＝2，所以π2＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π(k ∈Z )，所以f (x )
＝2sin(π
4
x )．
因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＋f (8)＝0，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (18)＝2f (1)＋2f (2)＋…＋2f (8)＋f (1)＋f (2)＝f (1)＋
f (2)＝2＋2，故选C.
7．(2019·湖南、江西等地十四校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x 1，x 2∈(π
2，π)，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝
________.
解析：由题意可得A ＝2，34T ＝34×2πω＝11π12－π6＝3
4
π，所以ω＝2.
当x ＝π6时，f (x )＝2，则ωx ＋φ＝2×π6＋φ＝2k π＋π
2
，k ∈Z ，
据此可得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，因为0<φ<π，令k ＝0可得φ＝π
6，则f (x )＝2sin(2x
＋π6)．当x ∈(π2，π)时，7π6<2x ＋π6<13π6，所以f (x )在此区间上的对称轴方程为x ＝2π
3.由x 1，x 2∈(π2，π)，x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，可得x 1＋x 2＝4π3
，
则f (4π3)＝2sin (2×4π3＋π6)＝2sin 17π6＝2×1
2＝1.
答案：1
8．(2019·无锡模拟)函数y ＝cos(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π
2个单位后，与
函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象重合，则φ＝________． 解析：把函数y ＝cos (2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π
2个单位后，得到y ＝cos (2x
－π＋φ)的图象，
与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象重合，则cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
所以－π2＋φ＝－π3，则φ＝π6，
答案：π
6
9．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，(ω>0，|φ|<π2)，若f (5π8)＝2，f (11π
8)＝0，且f (x )
的最小正周期大于2π，则φ＝________.
解析：由f (x )的最小正周期大于2π，得T 4>π2.又f (5π8)＝2，f (11π8)＝0，由题意得T
4
＝
11π8－5π8＝3π4，所以T ＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝2
3
， 所以f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＝2sin(2
3
x ＋φ)．
由f (5π8)＝2sin(23×5π8＋φ)＝2⇒sin(5π12＋φ)＝1，所以5π12＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z .
又|φ|<π2，取k ＝0，得φ＝π
12
.
答案：π12
10．(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f (x )的最小正周期为2；
②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－1
2；
③f (x )在(2k －14，2k ＋3
4)，k ∈Z 上是减函数；
④f (x )的最大值为A .
则正确的结论为________．(填序号)
解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×(54－1
4)＝2，故①正确；因为函数f (x )
的图象过点(14，0)和(54，0)，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12(14＋54)＋kT 2＝3
4＋k (k ∈Z )，
故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T 4＋kT ≤x ≤14＋T
4
＋
kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34
(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，
若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．
答案：①③
11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象过点P (π
12，0)，图象上与
点P 最近的一个最高点是Q (π
3
，5)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)依题意得A ＝5， 周期T ＝4(π3－π
12)＝π，
所以ω＝2π
π＝2.
故y ＝5sin(2x ＋φ)， 又图象过点P (π
12
，0)，
所以5sin(π
6＋φ)＝0，
由已知可得π
6＋φ＝k π，k ∈Z ，
因为|φ|<π2，所以φ＝－π
6，
所以y ＝5sin(2x －π
6
)．
(2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π
3＋k π，k ∈Z ，
故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π
3
](k ∈Z )．
12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4上的最小值．
解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，
所以f (x )＝32sin ωx －1
2
cos ωx －cos ωx ＝
32sin ωx －3
2
cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx
＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .
故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3， 所以ω＝2.
(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，
所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.
因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4，
所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π3，2π3，
当x －π12＝－π
3
，
即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32
.
[综合题组练]
1．(2019·开封模拟)将函数y ＝sin 2
x －cos 2
x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度以后得到的图象与函数y ＝k sin x ·cos x (k >0)的图象重合，则k ＋m 的最小值是( )
A ．2＋π4
B ．2＋3π4
C ．2＋5π12
D ．2＋7π
12
解析：选A.将函数y ＝sin 2
x －cos 2
x ＝－cos 2x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝－cos[2(x ＋m )]＝－cos(2x ＋2m )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋2m (m >0)，
平移后得到的图象与y ＝k sin x cos x ＝k
2
sin 2x (k >0)的图象重合，
所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝1－π2＋2m ＝2n π（n ∈Z ）
，
所以k ＝2，m ＝n π＋π4(n ∈Z )，又m >0，所以m 的最小值为π4，故k ＋m 的最小值为2＋π4，
故选A.
2．(创新型)(2019·华南师范大学附属中学综合测试)如图，将绘有函数f (x )＝3sin(ωx ＋
5π
6
)(ω>0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若A ，B 之间的空间距离为10，则f (－1)＝( )
A ．－1
B ．1
C ．－32
D.32
解析：选D.由题设并结合图形可知，
AB ＝
（3）2＋[（3）2
＋（T
2
）2
]＝
6＋T 4
2
＝
6＋π2
ω2＝10，得π2
ω2＝4，则ω＝π2
，
所以f (－1)＝3sin(－π2＋5π6)＝3sin π3＝3
2
.
3．(应用型)若在区间(n ，m )上，函数f (x )＝2cos 2x 的图象总在函数g (x )＝－7－43sin
x 的图象的上方，则m －n 的最大值为( )
A.7π
6 B.4π3 C.11π
6
D.5π3
解析：选D.根据题意，函数f (x )＝2cos 2x 的图象总在函数g (x )＝－7－43sin x 的图象的上方可以转化为2cos 2x >－7－43sin x 恒成立，即2cos 2x ＋7＋43sin x >0.根据二倍角公式化简为4sin 2
x －43sin x －9<0⇒－
32<sin x <332
. 因为sin x ∈[－1，1]，所以sin x ∈(－32，1]．在一个周期[－π2，3π
2
]上画出图象可得x ∈(－π3，4π3)，所以(m －n )max ＝5π
3
.
4．(应用型)(2019·济宁模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0. (1)若y ＝f (x )在[－π4，2π
3
]上单调递增，求ω的取值范围．
(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π
6个单位长度，再向上平移1个单位长度，
得到函数y ＝g (x )的图象．
①求函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象； ②对任意a ∈R ，求函数y ＝g (x )在区间[a ，a ＋10π]上零点个数的所有可能值． 解：(1)因为在[－π4，2π3]上，函数f (x )＝2sin ωx 单调递增，所以ω·2π3≤π
2，求
得ω≤34，所以ω的取值范围为(0，3
4
]．
(2)①令ω＝2，将函数y ＝f (x )＝2sin 2x 的图象向左平移π
6个单位长度，可得y ＝2sin
2(x ＋π6)的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )＝2sin(2x ＋π
3
)＋1的图象．
即函数y ＝g (x )的解析式为y ＝g (x )＝2sin(2x ＋π
3)＋1.列表：
2x ＋π3
π2
π
3π2
2π
x －π
6
π
12
π
3
7π
12
5π
6
y 131－1 1
②对任意a∈R，由于函数y＝g(x)的周期为π，g(x)在区间[a，a＋10π]上，共有10个周期，
故函数g(x)最多有21个零点，最少有20个零点．零点个数的所有可能值为20，21.。