2020-2021中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案解析

2020-2021中考数学培优 易错 难题(含解析)之二次函数及答案解析
一、二次函数
1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2
y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．
（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．
①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．
【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.
（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②线段QD 长度的最大值为
94
. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．
（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．
②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.
【详解】
解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.
（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.
∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.
∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=
⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=
⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，
∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.
②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3
-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.
∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).
又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).
∴()222
39QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-
∴线段QD 长度的最大值为94
.
2．已知二次函数的图象以A （﹣1，4）为顶点，且过点B （2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x 2﹣2x+3；（2）抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y 轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x 轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a （x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′=1
2
×（2+5）×9﹣
1
2
×2×4﹣
1
2
×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
3．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1
2
x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜
α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+ 2
3
C′D 的最小值．
【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=1
2
x2-x-
3
2
；（2）E(1，6)；（3）C′B＋
2 3C′D
4
10
3
【解析】
试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得
AE AP =
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
，从而求出E的坐标；
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．
如图，取点M（0，4
3
），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到
△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝2
3
C′D，由C′B＋
2
3
C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=1
2
x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1
2
2
b
=1，∴b=-1．
∵抛物线过点A（-1，0），∴1
2
-b+c=0，解得：c=-
3
2
，
即：抛物线的表达式为：y=1
2
x2-x-
3
2
．
令y=0，则1
2
x2-x-
3
2
=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AE
AP =
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
．
又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．
当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．
如图，取点M （0，43），连接MC ′、BM ．则OM ＝43，BM ＝2243()3+＝973
． ∵423'23
OM OC ==，'23OC OD =，且∠DOC ′＝∠C ′OD ，∴△MOC ′∽△C ′OD ．∴'2'3MC C D =，∴MC ′＝23C ′D ，∴C ′B ＋23C ′D ＝C ′B ＋MC ′≥BM ＝4103，∴C ′B ＋23
C ′
D 的最小值为4103
．
点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF 的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．
4．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．
()1求抛物线的函数解析式；
()2求ABC V 的面积；
()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334
APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐
标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】
【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；
(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；
(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.
【详解】
()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，
∵函数图象顶点为()2,4M --，
∴2(2)4y a x =+-，
又∵函数图象经过点()6,0A -，
∴20(62)4a =-+-
解得14
a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =
+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134
y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，
又当0y =时，有21304
y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，
∴点B 的坐标是()2,0，
则11831222
ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．
设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛
⎫+- ⎪⎝⎭
，
设直线AC 的解析式为y kx b =+，
∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，
∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩
， 解得123
k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线AC 的解析式为132y x =-
-， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭
， ∴1122
APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V 2221113393276(3)22424244
PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274
， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.
5．如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ．
①求S 关于t 的函数表达式；
②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当t=2时，点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存
在，理由见解析；（3）y=﹣x+3；P点到直线BC 92
，此时点P的坐
标为（3
2
，
15
4
）．
【解析】
【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；
（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；
②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，
得
10
930
b c
b c
-++=
⎧
⎨
-++=
⎩
，解得：
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3；
（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），
∴点M的坐标为（1，6）；
当t≠2时，不存在，理由如下：
若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，
∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，
得
30
3
m n
n
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
1
3
m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S=1
2
PF•OB=﹣
3
2
t2+
9
2
t=
﹣
3
2
（t﹣
3
2
）2+
27
8
；
②∵﹣
3
2
＜0，
∴当t=3
2
时，S取最大值，最大值为
27
8
．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴线段BC=2232
OB OC
+=，
∴P点到直线BC的距离的最大值为
27
292
8
8
32
⨯
=，
此时点P的坐标为（
3
2
，
15
4
）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．
6．已知抛物线26y x x c =-++.
（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值；
（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.
【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174
c -
<< 【解析】
【分析】
(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;
(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.
【详解】
解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。

240b ac ∴∆=-…，即264(1)0c -⨯-⨯…
.解得9c -… （Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++
由2621
y x x c y x ⎧=-++⎨=+⎩，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2(4)4(1)1240c c ∆=---=+>，得3c >-.
∴方程①的解为1222x x == ()()()()22221212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦
20(3)20c ∴+=，解得2c =-
（Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0,0,m n m n >>≠， 2266m m c n n n c m
⎧-++=∴⎨-++=⎩，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =-
2770m m c ∴-+-=，其中07m <<
由0∆…
，即274(1)(7)0c -⨯-⨯-…，得214c -…. 当214c =-时，72m n ==，不合题意。

又70c ->，得7c <. ∴c 的取值范围是21
74
c -<< 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C
.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1
2
-
，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524
，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】
分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5
4
），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+
7
2
，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：
309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：1
2
a b -⎧⎨
⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3． （2）（I ）当点P 的横坐标为-12
时，点Q 的横坐标为7
2，
∴此时点
P 的坐标为（-
12，74
），点Q 的坐标为（72，-9
4）．
设直线PQ 的表达式为y=mx+n ， 将P （-
12，74
）、Q （72，-9
4）代入y=mx+n ，得：
1
724
792
4m n m n ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154m n -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，
∴直线PQ 的表达式为y=-x+
5
4
． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，
设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5
4
）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+5
4）=-x 2+3x+74
， ∴S △DPQ =
12
DE•（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-3
2）2+8．
∵-2＜0， ∴当x=
32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32
，15
4）．
（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，
∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．
设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ， ∴S △DPQ =
1
2
DE•（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． ∵-2＜0，
∴当x=t+2时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为8． 点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+6x+
7
2
；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线4
83
y x =-
+与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，抛物线2
4y ax ax c =-+经过点A 和点B ，与x 轴的另一个交点为C ，动点D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向O 点运动，同时动点E 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向A 点运动，设运动的时间为t 秒，0﹤t ﹤5.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t 为何值时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△AOB 相似； （3）当△ADE 为等腰三角形时，求t 的值；
（4）抛物线上是否存在一点F ，使得以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F 点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）抛物线的解析式为228
833
y x x =-++； （2）t 的值为3011或50
13； （3）t 的值为
103或6017或258
； （4）符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8），2(227F +，-8）. 【解析】
（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用
△ADE ∽△AOB 和△AED ∽△AOB 即可求出t 的值；（3）过E 作EH ⊥x 轴于点H ，过D 作DM ⊥AB 于点M 即可求出t 的值；（4）分当AD 为边时，当AD 为对角线时符合条件的点F 的坐标.
解：(1)A （6,0），B （0,8），依题意知36240{8
a a c c -+==，解得2
{
38
a c =-
=， ∴228
833
y x x =-
++. (2)∵ A （6,0），B （0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t ，AE=10-2t ， ①当△ADE ∽△AOB 时，AD AE AO AB =，∴102610t t -=，∴30
11t =； ②当△AED ∽△AOB 时，AE AD AO AB =，∴102610t t -=，∴50
13
t =； 综上所述，t 的值为
3011或
5013
. (3) ①当AD=AE 时，t=10-2t ，∴103
t =
； ②当AE=DE 时，过E 作EH ⊥x 轴于点H ，则AD=2AH ，由△AEH ∽△ABO 得，AH=
()31025
t -，∴()61025
t t -=
，∴6017
t =
； ③当AD=DE 时，过D 作DM ⊥AB 于点M ，则AE=2AM ，由△AMD ∽△AOB 得，AM=35
t ，∴61025t t -=
，∴258
t =； 综上所述，t 的值为
103或6017或
25
8
. (4) ①当AD 为边时，则BF ∥x 轴，∴8F B y y ==，求得x=4，∴F （4，8）； ②当AD 为对角线时，则8F B y y =-=-，∴228
8833
x x -++=-
，解得2x =±∵x ﹥0，
∴2x =+
∴()
28+-.
综上所述，符合条件的点F 存在，共有两个1F （4，8
），2(2F +，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
9．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于A (1,0)-，(4,0)B 两点，交y 轴于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点2
2
1(6)()82
x x -+=，点P 是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；
（2）点E 在x 轴上，若以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P 的坐标；
（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ V
沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）213
222y x x =-
++；点D 坐标为(32)，； （2）P 1(0,2)； P 2(412
,-2)；P 3(
341
2
-,-2) ; （3）满足条件的点P 13 132），（13-13
2）． 【解析】 【分析】
1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D 的坐标
(2)分两种情况进行讨论,①当AE 为一边时,AE ∥PD,②当AE 为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P 坐标
(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ，213
222
a a -
++),分情况讨论,①当P 点在y 轴右侧时,②当P 点在y 轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可 【详解】
解：（1）∵抛物线2
2y ax bx =++经过A (1
0)-，，B (40)，两点， ∴2016420
a b a b -+=⎧⎨
++=⎩，解得：12a =-，3
2b =，
∴抛物线解析式为：213
222
y x x =-
++； 当2y =时，213
2222
x x -++=，解得：13x =，20x =（舍），即：点D 坐标为
(32)，．
（2）∵
A ，E 两点都在x 轴上，∴AE 有两种可能：
①当AE 为一边时，AE ∥PD ，此时点P 与点C 重合（如图1），∴1(0,2)P ， ②当AE 为对角线时，P 点、D 点到直线AE （即x 轴）的距离相等， ∴P 点的纵坐标为2-（如图2），
把2y =-代入抛物线的解析式，得：213
2222
x x -++=-， 解得：1341
2
x +=
，2341x -=，
∴P 点的坐标为3+41(
2)2-，，341(2)2
--，， 综上所述：1(0,2)P ； 2P 3+41(
2)2-，；3P 341
(2)2
--， ． （3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，
点P 的坐标为（a ，213
222
a a -
++）， ①当P 点在y 轴右侧时（如图3），
p CQ x a ==，
213
2(2)22
c p PQ y y a a =-=--++=21322a a -，
又∵CQ O FQ P ''∠+∠=18018090CQ P PQC '︒-∠=︒-∠=︒， 90CQ O OCQ ''∠+∠=︒∴FQ P OCQ ''∠=∠,
又90COQ Q FP ''∠=∠=︒，∴COQ Q FP ''V :V ， ∴
'''Q C Q P
CO Q F
=， ∵
Q C CQ a '==，2CO =，Q P PQ '==213
22
a a -，∴213222'a a a Q F
-=，∴'3Q F a =-，
∴(3)OQ OF Q F a a ''=-=--3=，CQ ＝CQ '＝2222'2313CO OQ +=+=，
即13a =，∴点p 的坐标为（13，913
2
-+）， ②当p 点在y 轴左侧时（如图4），
此时0a <，213
2022
a a -
++<，CQ ＝P x ＝a -， PQ ＝2－（213
222
a a -++）＝21322a a -，
又∵90CQ O FQ P CQ P PQC '''∠+∠=∠=∠=︒，90CQ O OCQ ''∠+∠=︒，
∴FQ P OCQ ''∠=∠，又90COQ Q FP ''∠=∠=︒ ∴COQ Q FP ''V :V ，∴
'''Q C Q P
CO Q F
=， ∵Q C CQ a '==-，2CO =，Q P PQ '==
213
22
a a -， ∴213
222'a a
a Q F
--=，∴'3Q F a =-，
∴3()3OQ Q F OF a a ''=-=---=，
CQ ＝CQ '＝2222'2313CO OQ +=
+=，
此时13a =-，点P 的坐标为（13-，
913
--）． 综上所述，满足条件的点P 有两个，其坐标分别为：（13，
913
2
-+），（13-，913
2
--）． 【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线1
22
y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2
12
y x bx c =
++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为
S 2．求：1
2
S S 的最大值；
②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是4
5
；②点D
的坐标是(2,3)- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-
12
x 2
+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，
求得P（-3
2
，0），得到
PA=PC=PB=
5
2
，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-1
2
x2+bx+c经过A．C两点，
∴
1
0164
2
2
b c
c
⎧
-⨯-+
⎪
⎨
⎪⎩
＝
＝
，
∴
3
b=-
2
c=2
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
，
抛物线解析式为：2
13
2
22
y x x
=--+ ;
（2）①令0
y=，
∴2
13
20
22
x x
--+=
解得：14
x=- ,
2
1
x=
∴B（1，0）
过点D作DM x
⊥轴交AC于M，过点B作BN x
⊥轴交AC于点N，
∴DM∥BN
∴DME BNE
∆∆
∽
∴1
2
S DE DM
S BE BN
==
设：2
13
2
22
D a a a
⎛⎫
--+
⎪
⎝⎭
，
∴
1
2
2
M a a
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
∵()10 B，
∴
5
1,
2 N
⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴()
2
2
1
2
1
214
22
555
2
a a
S DM
a
S BN
--
===-++
∴当2
a=-时，1
2
S
S的最大值是
4
5
;
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=25，BC=5，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P（-3
2
，0），
∴PA=PC=PB=5
2
，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=4
3
，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，
∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=1
2
，
即RC：DR=
1
2
，
令D（a，-
1
2
a2-
3
2
a+2），
∴DR=-a ，RC=-12a 2-32
a ， ∴（-
12a 2-3
2
a ）：（-a ）=1：2， ∴a 1=0（舍去），a 2=-2， ∴x D =-2，
∴-
12a 2-3
2
a+2=3, ∴点D 的坐标是()2,3- 【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．
11．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物
线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233
642
y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为3
62y x =-+，则可得点G 的坐
标为3(,6)2m m -
+，由此可得23
34
DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =
1
2
DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案； (3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154
和点N 的纵坐标为15
4
-
两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)， ∴4260
16460
a b a b -+=⎧⎨
++=⎩，
解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的函数表达式为233
642
y x x =-
++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6， ∴S △OAC =11
26622
OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =
3
4S △AOC ， ∴S △BCD =39
642
⨯=，
设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的函数表达式为3
62
y x =-+， ∴点G 的坐标为3
(,6)2
m m -
+，
∴223333
6(6)34224
DG m m m m m =-
++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111
()2222
DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =221
33346242
m m m m -+⨯=-+（）， ∴239
622
m m -
+=， 解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,
)4
，∴点N 点纵坐标为±15
4，
当点N 的纵坐标为15
4
时，如点N 2， 此时23315
6424x x -
++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215
(1,
)4
N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为15
4
-时，如点N 3，N 4， 此时23315
6424
x x -
++=-，解得：12114,114x x ==∴315(114,)4N +-
，415
(114,)4
N -， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，
∵115(1,
)4
N -，D(3，154)，
∴N 1D=4，
∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，
综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M ，，，，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
12．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数（
）的图
象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点
D ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标． 【答案】（1）；（2）E 的坐标为（，
）、（0，﹣4）、
（
，
）；（3）
，（
，
）．
【解析】
试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，
∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E（，
）．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，
）、（0，﹣4）、（，）；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=
时，△PBD 的最大面积为
，∴点P 的坐标为（
，
）．
考点：二次函数综合题．
13．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y ＝180(4060)
3300(6090)
x x x x -+≤≤⎧⎨
-+<≤⎩；（2）W ＝
22
2105400(4060)
33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩
;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y=mx+n ，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x 2+210x-5400，得到当x=60时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x 2+390x-9000，得到当x=65时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论． 【详解】
解：（1）当40≤x ≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b ， 将（40，140），（60，120）代入得40140
60120
k b k b +=⎧⎨
+=⎩，
解得：1180k b =-⎧⎨=⎩
，
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣x +180；
当60＜x ≤90时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ，
将（90，30），（60，120）代入得9030
60120m n m n +=⎧⎨+=⎩，
解得：3
300m n =-⎧⎨=⎩
，
∴y ＝﹣3x +300；
综上所述，y ＝180(4060)
3300(6090)x x x x -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩
；
（2）当40≤x ≤60时，W ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣x +180）＝﹣x 2+210x ﹣5400， 当60＜x ≤90时，W ＝（x ﹣30）（﹣3x +300）＝﹣3x 2+390x ﹣9000，
综上所述，W ＝22
2105400(4060)
33909000(6090)
x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩； （3）当40≤x ≤60时，W ＝﹣x 2+210x ﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x ＝210
2
--＝105，
∴当40≤x ≤60时，W 随x 的增大而增大，
∴当x ＝60时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600， 当60＜x ≤90时，W ＝﹣3x 2+390x ﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x ＝390
6
--＝65，
∵60＜x ≤90，
∴当x ＝65时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675， ∵3675＞3600，
∴当x ＝65时，W 最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
14．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC ，它的边BC=120mm ，高AD=80mm ．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm ？
小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，
如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）240
7
mm，
480
7
mm；（2）PN=60mm，40
PQ mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S 有最大值
∴当x=40时，S 最大=2400（mm 2） 此时，y=
=60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ 、PN 长分别是40 mm ，60 mm ． 考点：三角形相似的应用
15．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的
9
16
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2y x 2x 3=-++ （2）最大值为10 （3）故点P 坐标为：315(,)24或33232(24+--或332362
(,24
--+． 【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：()2
14y a x =-+，将点B 的坐标代入上式，即可求解； （2）矩形MNHG 的周长
()()
2222222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，即可求解；
（3）2711sin4532822PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯9
4
PH HG ==，即可求解． 【详解】
（1）二次函数表达式为：()2
14y a x =-+，
将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-， 故函数表达式为：2
23y x x =-++…①；
（2）设点M 的坐标为(
)
2
,23x x x -++，则点(
)
2
2,23N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++，
矩形MNHG 的周长()()
2
2
22222223282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++，
∵20-<，故当22b
x a
=-
=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点()0,3N 与点D 重合； （3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的916
， 则99272316168
PNC S MN GM ∆=
⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 得上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，
将()3,0C 、()0,3D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，
OC OD =，∴45OCD ODC PHK ∠=∠=︒=∠，32CD =
设点()
2
,23P x x x -++，则点(),3H x x -+，
2711
sin4532822
PNC S PK CD PH ∆=
=⨯⨯=⨯⨯︒⨯ 解得：9
4
PH HG =
=， 则2
92334
PH x x x =-+++-=， 解得：32
x =
， 故点315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，。