空间两点间的距离

3 3 a a， a， ， 4 4 2
3 a . a ， 2 2
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求对称点的坐标 求点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy及x 轴对称的点的坐 标．
类比平面直角坐标 关于谁对称，谁保持 【思路点拨】 → 系中点的对称 不变，其余坐标相反
(2)yOz 平面内的点的坐标为 (0 ， y ， z) ，其中 y ， z 为任意实
数；
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(3)xOz平面内的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数； (4)x轴上的点的坐标为(x,0,0)，x为任意实数； (5)y轴上的点的坐标为(0，y,0)，y为任意实数； (6)z轴上的点的坐标为(0,0，z)，z为任意实数．
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【题后总结】 此题要类比平面直角坐标系中点的对称问
题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．求对称点的问 题常常可用 “ 关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反 ” 的说 法．如关于x轴的对称点坐标就是横坐标不变，其余的两个坐标 变成原来的相反数；关于 xOy 平面的对称点，横、纵坐标都不
90°？
提示： 不是．空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都 是 90°，但在画直观图时通常画 ∠ xOy ＝ 135°，使 x 轴、 y 轴确 定的平面水平，∠yOz＝90°，以表示z轴竖直．
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二、空间一点的坐标
1.求点的坐标的方法
如图所示，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于 x轴、y轴和z轴的 平面 依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点 P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x、y和z，那么点M就 对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．
第四章
圆与方程
4.3
空间直角坐标系
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1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)
2 ． 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出 点．(重点、难点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公
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三、空间两点间的距离公式 1 ．在空间中，点 P(x ， y ， z) 到坐标原点 O 的距离 |OP| x2＋y2＋z2 . 2．在空间中，P1(x1，y1 ， z1)与 P2(x2 ，y2 ，z2)的距离|P1P2| ＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 .
x1＋x2 y1＋y2 z1＋z2 的中点坐标是 2 ， 2 ， 2 .
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2．关于点M(a，b，c)有下列叙述：①点M关于x轴对称的点
的坐标是M1(a，－b，c)；②点M关于yOz平面对称的点的坐标是 M2(a ，－ b ，－ c) ；③点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a ，－ b，c)；④点M关于原点对称的点的坐标是 M4(－a，－b，－c)， 其中正确叙述的个数为( )
＝
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3．空间两点间的距离公式与两点的顺序有关系吗？
提示： 空间中两点间的距离与两点的顺序无关， 两点间的距 离是同名坐标的差的平方和的算术平方根， 因此， 距离公式也可 以写成： |P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.
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3．空间坐标的定义
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序
实数组 (x ， y ， z) 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x，y，z)．其中x叫做点M的 横坐标 ，y叫做点M的 纵坐标 ， z叫做点M的 竖坐标 ．
式解决简单的问题．(重点、难点)
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一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
如图所示， OABC-D′A′B′C′ 是单位正方体．以 O 为原点， 分别以射线 OA， OC ， OD′的方向为正方向，以线段 OA， OC ， OD′的长为单位长，
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建立三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一 个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴
叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做 坐标平面 ， 分 别 称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
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解： 如图所示，过 A 作 AM⊥xOy 交平面于 M ，并延长到 C ，
使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C(1,2,1)．
过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB. 则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)． 关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
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2．已知坐标作点的方法
给定有序实数组 (x，y，z)，我们可以在x 轴，y轴和z 轴上依
次取坐标为 x ， y 和 z 的点 P 、 Q 和 R ，分别过 P 、 Q 和 R 各作一个 平面 分别垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴，这三个平面的唯一的交点就 是有序实数组(x，y，z)确定的点M.
变，竖坐标变成原来的相反数．在空间直角坐标系中，任意一
点P(x，y，z)的几种特殊的对称点的坐标如下：
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(1)关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；
(2)关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； (3)关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； (4)关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； (5)关于xOy平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；
同理，点A′的坐标是(6,0,5)．
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点 B′ 在 xOy 平面上的射影是 B ，因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同点B的横坐标x与纵坐标y相同． 在xOy平面上，点B横坐标x＝6，纵坐标y＝8；点B′在z轴上 的射影是D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z
＝5.所以点B′的坐标是(6,8,5)．
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【题后总结】 求空间点 M 坐标的方法：作 MM′ 垂直平面
xOy，垂足 M′，求M′的横坐标 x ，纵坐标 y ，即点 M 的横坐标x ， 纵坐标 y ，再求 M 点在 z 轴上射影的竖坐标 z ，即为 M 点的竖坐标 z，于是得到M点坐标(x，y，z)．特别：(1)xOy平面内的点的坐标 为(x，y,0)，其中x，y为任意实数；
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【规范解答】由空间两点间的距离公式得|AB|＝ 1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2 ＝ 14x －32x＋19＝ 8 当 x＝ 时，|AB|有最小值 7 此时
2
82 5 14x－7 ＋7.
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【思路点拨】 建立适当的空间 找出点在xOy平面上的 → 直角坐标系 射影以确定其横、纵坐标 → 再找出点在z轴上的射影以确定其竖坐标
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解：求点D′的横坐标，就过D′点向x轴作垂面．
D′ 在 z 轴上，且|OD′| ＝ 5 ，它的竖坐标是 5 ；它的横坐标 x 与 纵坐标y都是零，所以点D′的坐标是(0,0,5)． 点C在y轴上，且|O C|＝8，它的纵坐标是8；它的横坐标x与 竖坐标z都是零，所以点C的坐标是(0,8,0)．
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2．在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点与有序实
数组(x，y，z)之间是否存在唯一的对应关系？
提示： 是．在给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐 标是唯一的有序实数组 (x ， y ， z) ；反之，给定一个有序实数组 (x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
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解：由 A(0,0，a)及∠ADB＝30° 得点 D(0， 3a,0)． 又 BC＝CD，∠BCD＝90° ，得
C 3 3 a， a，0. 2 2 E
由 E、F 分别是 修2
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1.如图所示，点A(0,0，a)，在四面
体 ABCD 中 ， AB⊥ 平 面 BCD ， BC ＝ CD ，∠ BCD ＝ 90°，∠ ADB ＝ 30°， E 、 F 分 别 是 AC 、 AD 的 中 点 ， 求 D 、 C、E、F这四点的坐标．
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3 ．在例 3 中，当 |AB| 取最小值时，试在 x 轴上找一点 C ，使 △ABC是以AC为斜边的直角三角形．
解：设 C 点坐标为(a,0,0)． ∵△ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即
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求空间点的坐标 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 OABC －
D′A′B′C′中，|OA| ＝6，|O C| ＝8，|OD′|
＝5.写出D′，C，A′，B′四点的坐标．
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6分 10 分 12 分
5 35 ＝ ， 7 7
8 27 9 22 6 A7， 7 ，7，B1， 7 ，7.
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【题后总结】 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特 征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结 合已知条件确定点的坐标．
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2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指 指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么这个坐标系 为 右手直角坐标系 ．
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1．画空间直角坐标系时，是否任意两坐标轴都画成夹角为
答案：C
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两点间距离公式的应用 (12分)已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB| 取最小值时A，B两点的坐标，并求此时|AB|.
A、B两 两点间 【思路点拨】 ――→ |AB|关于x的函数 点坐标 距离公式 函数性质 ――→ 求出x值
(6)关于yOz平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；
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(7)关于 xOz 平面对称的点的坐标是 P17(x，－y，z)． (8)空间中的中点坐标公式是： 在空间直角坐标系中，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 线段 AB
A．3
C．1
B．2
D．0
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解： 点 M(a ， b ， c) 关于 x 轴对称的点的坐标为 (a ，－ b ，－ c)，故①错；M关于yOz平面对称的点的坐标为 (－a，b，c)，故 ②错；M关于y轴对称的点的坐标为(－a，b，－c)，故③错，点 M关于原点对称点坐标为(－a，－b，－c)，故④正确．