湖南省长沙市广益实验中学202X-2021学上学期第一次月考初三数学试卷

湖南省长沙市广益实验中学2021－2021学上学期第一次月考初三数学试卷
时量：120分钟 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．2021的相反数是（ ）
A ．－2021
B ．2021
C ．20181-
D ．2018
1 2.中国航母辽宁舰是中国人民海军第一艘可以搭载固定飞机的航空母舰，满载排水量为67500吨，讲67500用科学记数法表示为（ ）
A ．4106.75⨯吨
B ．31067.5⨯
C ．3100.675⨯
D ．-4106.75⨯
3．下列运算正确的是（ ）
A ．236a a a ⋅=
B ．42232a a a =+
C ．236a a a =÷
D ．6
332)(b a ab =
4．下列长度的4根木条中，能与4cm 和9cm 长的2根木条首尾依次相接围成一个三角形的是（ ）
A ．4cm
B ．9cm
C ．5cm
D ．13cm
5.在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（ ） A ． B ． C ． D ．
6.不等式组⎩
⎨⎧+≤>+85062x x x 的解集在下列数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
7.如图，'''C B A ∆是ABC ∆以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若'''C B A ∆的面积
与ABC ∆的面积比是4:9，则OB OB :'为（ ）
A ．2：3
B ．3：2
C ．4：5
D ．4：9
8.•3.0,1416.3,64,3-,,7
223π中，无理数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9.如果点()4,3-在反比例函数x
k y =的图像上，那么下列各点中，在此图像上的是（ ） A ．()4,3 B ．()-6,2- C ．()6,2- D ．()4-,3-
10.“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟则一直坚持爬行，最终赢得比赛，下列函数图像可以体现这一故事过程的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.如图，⊙A 过点()0,0O ,()0,3C ，()10，D ，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO 、BD ，则OBD ∠的度数是（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
12.设二次函数),0)()((21211x x a x x x x a y ≠≠--=的图像与一次函数20y dx e(d )=+≠的图像交于点)0,(1x ，若函数21y y y +=的图像与x 轴仅有一个交点，则（ ）
A ．d x x a =-)(21
B ．d x x a =-)(12
C ．d x x a =-221)(
D ．d x x a =-2
12)(
二、填空题（每小题3分，共18分） 13.计算：=---2
422x x x ． 14.点)1,2(+-a a P 在y 轴上，则a = ．
15.关于x 的一元二次方程0222=-+m x x 有实数根，则m 的取值范围是 ．
16.如图，A 是双曲线x
k y =上的一点，过点A 作x AB ⊥轴于B ，若AOB ∆的面积为8，则k = ． 第16题图 第17题图 第18题图
17.如图，︒=∠=∠15BOE AOE ，==⊥OF EC C OB EC OB EF 则，若于∥,1, ．
18.如图，在菱形ABCD 中，︒=∠120ABC ，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处，（不与D B 、重合），折痕为EF ，若DG =2，BG =6，则BE 的长为 ．
三、解答题（共46分）
19．（6分）计算：()()；︒---⎪⎭⎫ ⎝⎛÷--30tan 3213220π
20．（6分）解分式方程：3
3211-=--x x x x ；
21．经过调查研究显示，机动车尾气是某城市5.2PM 的最大来源，一辆车每行驶
20千米平均向大气排放0.035千克污染物，某校环保志愿小分队从××局了解到此城市100天的空气质量等级情况，并制成统计图和表： 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数（天） 10 a 12 8 25 b
（1）表中a = ，图中严重污染部分对应的圆心角n = °
（2）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了机动车每天的行驶路程，了解到每辆车每天平均出行25千米，已知该市一天中出行的机动车至少要向大气中排放多少克污染物？
22.（8分）如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为20米，坡角α为60°，
（1）求斜坡CD 的水平长度是多少？
（2）根据有关部门的规定，≤∠α39°时才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡 CD
进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（参考数据： 2.2451.7331.4120.8139tan ,78.039cos 63.039sin ≈≈≈≠︒≈︒≈︒，，，，，结果取整数。

）
23.“低碳生活，绿色出行”，2021年1月，某公司向雨花区新投放共享单车640辆。

（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆，请问该公司4月份在雨花区新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，捷安特专卖店准备用不超过70000元的资金再购进A 、B 两种规格的自行车100辆，已知A 型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B 型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆，假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该专卖店应如何进货？
24.（9分）F E 、分别为正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，AF 分别与BD DE 、相交于点N M 、
（1）求证：BAF ADE ∆≅∆；
（2）若AB =2，求AM 的值；
（3）求MDN ∠tan 的值。

四、综合题（共20分）
25.（10分）如图，抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴交与)0,4()0,1(B A 、两点，与y 轴交于点）
，（40C （1）求抛物线的解析式。

（2）点P 为抛物线上一动点，满足ABC PBC S S ∆∆=
3
4，求P 点的坐标。

（3）点D 为抛物线对称轴上一点，若BCD ∆是锐角三角形，求点D 的纵坐标n 的取值范围。

26.（10分）如果三角形的两个内角βα与满足︒=+902βα，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”
（1）若ABC ∆是“准互余三角形”，︒>∠90C ，︒=∠50A ，则B ∠= °；
（2）如图①，在ABC R ∆t 中，︒=∠90ACB ，5,4==BC AC ，若BAC AD ∠是的平分线，
①判断：ABD ∆ （填“是”或“不是”）“准互余三角形”。

②试问在边BC 上是否存在点E （异于点D ），使得ABE ∆也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长，若不存在，请说明理由。

（3）如图②，已知抛物线)0(2
<++=a c bx ax y 与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆为“准互余三角形”，且ACB ∠>90°，34=AB ，D 为BC 上一点，满足以下条件： ①D 的横坐标为a
ac b b 442-+-；②243c S OCD =∆； 求抛物线的解析式
参考答案
一、选择题（共12小题；共36分）
1~5：AADBC 6~10：BABCB 11~12：BB
二、填空题（共6小题；共18分）
13、 x+2 14、 2 15、 18
m ≥ 16、 16- 17、 2 18、 2.8
三、解答题（共8小题；共66分）
19、解：原式33343143312
--=÷-= 20、解：两边都乘以()31x -，得()3312x x x --=，
解得：15x .=，
检验：15x .=时，()31150x .-=≠， 所以分式方程的解为15x .=
21、解：（1）1002525a =⨯=％,10010251282520b =-----=,2036072100
n =⨯︒=︒;
(2) 25003520000008750020
.⨯⨯=（kg ）, 答:估计2021年该市一天中出行的机动车至少要向大气里排放87500千克污染物.
22、解：
假设点D 移到D ’的位置时，恰好39α∠=︒，过点D 作DE AC ⊥于点E ，作D'E'AC ⊥于点E ’。

因为12CD =米，60DCE ∠=︒， 所以36012632DE CD sin =⋅︒==（米），1601262
CE CD cos =⋅︒=⨯=（米）。

因为DE AC ⊥，D'E'AC ⊥，DD'CE'∥，
所以四边形DEE'D'是矩形， 所以63DE D'E'==。

因为39D'CE'∠=︒， 所以6312839081
D'E'CE'.tan .=≈≈︒，所以1286687EE'CE'CE ..=-=-=≈（米）。

答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全。

23、解：(1)设平均增长率为x,根据题意得: ()264011000x +=,
解得:02525x .==％或225x .=- (不合题意,舍去),
则四月份的销量为:()10001251250+=％辆,
答:该公司4月份在深圳市新投放共享单车1250辆;
(2)设购进A 型车x 辆,则购进B 型车100x -辆,
根据题意得:()500100010070000x x +-≤, 解得：60x ≥
利润：()()()()7005001300100010020030010010030000W x x x x x =-+--=+-=-+, ∵1000-<,∴W 随着x 的增大而减小. 当60x = 时,利润最大100603000024000=-⨯+=， 答:为使利润最大,该商城应购进60辆A 型车和40辆B 型车.
24、解：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=DA ，∠ABC=∠BAD=90°，∵E 、F 为边AB 、BC 的中点
∴BF=AE ，则在△ADE 与△BAF 中AD BA EAD FBA AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△BAF （SAS ）
（2）∵AB=BC ，AB=BC=AD ，∴BF=AE=12AB =1，∴225DE AE AD =+=，
∵△ADE ≌△BAF ，∴∠ADE=∠BAF ，∴∠EAD+∠DAM=∠BAF+∠MAD ，∴∠AND=90°
（3）∵AD ∥BC ，∴△BNF ∽△DNA ，∴12BF NF NB ===AD NA ND ，∴23
AN=AF ，∵5AF =∴253255，∴2515
，∵∠AMD=90°，∴△ADM ∽△EDA 25、解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交与)0,4()0,1(B A 、两点，与y 轴交于点）
，（40C
∴016404a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：154a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
，∴抛物线的解析式为254y x x =-+
（2）∵点A （1,0），B （4,0），C （0,4），∴OA=1，OB=4，OC=4，直线BC ：4y x =-+ ∴162
ABC S AB OC =⋅=，∵ABC PBC S S ∆∆=34，∴8PBC S ∆=，在RT △OBC 中，OB=4，OC=4， ∴2242BC OB OC =+=PBC 的高22h =BC 的解析式为：4y x =-+ ∵OB=OC ，∴P 点位置即直线BC 分别向左右移动4个单位得到的直线与抛物线的交点
①当P 在直线8y x =-+上时，联立2548y x x y x ⎧=-+⎨=-+⎩可得11222622x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩；22222622
x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩
②当P 在直线y x =-上时，联立254y x x y x
⎧=-+⎨=-⎩可得121222x x y y ==⎧⎨==-⎩；
综上P 点的坐标为()22,-，(22622-+，(2262+- （3）设52D ,n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，已知点B （4,0），C （0,4），∴428552CD n n k --==-，2332
BD n n k ==-- 当BD ⊥CD 时，即1CD BD k k ⋅=-，∴
282153n n -⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭解得4312n ±= ∴当4312n +>4312
n -<时，BCD ∆是锐角三角形 25. （10分）如果三角形的两个内角βα与满足︒=+902βα，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”
（1）如图②，已知抛物线)0(2
<++=a c bx ax y 与x 轴交于B A 、两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆为“准互余三角形”，且ACB ∠>90°，34=AB ，D 为BC 上一点，满足以下条件： ①D 的横坐标为a
ac b b 442-+-； ②243c S OCD =∆； 求抛物线的解析式
26、解：（1）∠B=20°
（2）①是
②存在，如图①，连结AE ，又∵△ABE 也是“准互余三角形”，∴∠B+2∠BAE=90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠EAC=∠B,又∵∠C=∠C,∴△CAE ∽△CBA ，∴CA CE CB CA
=,
即CA2=CB·CE，∵AC＝4，BC＝5，∴CE=16
5
.∴
169
5
55 BE BC CE
=-=-=
（3）答案略。