全等三角形二次全等典型习题

1. 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是等边三角形，AM AC CM ，
BC CN BN ，∠ACM ∠BCN ，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点
F ．
求证：①△CAN ≌△CMB ；②△CEN ≌△CFB ．
2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD
AB ，
∠D ∠DAB=∠ABC 90°，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ，延
长CB 到点G ，使BG DE ，连接EF ，AG ． 求证：①△ADE ≌△ABG ；②△AFE ≌△AFG ．
第1题图
N
M
C
F
E
B
F D
E
C
B A
G
第2题图
3. 已知：如图，∠A ∠D ，BE EC ．求证：△ABC ≌△DCB ．
4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，
BF ⊥AC ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ．若AB CD ，求证：△DEG ≌△BFG ．
5. 已知：如图，AB ，CD 相交于点O ，AO
BO ，CO DO ，过点O 作EF 交AC 于点
E ，交BD 于点
F ．求证：OE OF ．
第4题图
A D
E
G B
C
F
第5题图
A
D E O
B
C F
6. 已知：如图，AB
AC ，BD DC ，AD 与BC 交于点O ．
求证：AD ⊥BC ．
7. 已知：如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别是
F ，E ，DF DE ，试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．
8. 已知：如图，AB
AE ，BC ED ，∠B ∠E ，F 是CD 中点，
求证：AF ⊥CD ．
1．已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC ．试猜想
BE 与DF 有怎样的数量关系？并说明理由．
第7题图
A
D E C
F 第6题图
A
D O B
C
第8题图
A
D B
C
F
A
B
C
E
F D 12
2．已知：如图，O 是线段AC ，FE 的中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，DF =BE ． 求证：AD =BC ．
3．已知：如图，点E 在直线AC 上，ED ⊥CD 于D ，EB ⊥CB 于B ，且CD =CB ． 求证：AD =AB ．
A
B
C
E
F
D
O
A
B C
E
D
4．已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC，E，F分别为AD，CB延长线上一点且DE=BF，试说明∠E =∠F．
A B C
E
F
D
1.已知：如图，△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∠ACB=∠ABC=60°，∠EDF=60°，DB=DC，
∠DBC=∠DCB=30°，∠BDC=120°，延长AC到点G，使CG=BE．求证：①△EBD
≌△GCD；②△EFD≌△GFD．
A
F
2. 已知：如图，AB =AC ，DB =DC ，F 是AD 的延长线上的一点．
求证：△ABF ≌△ACF ．
3. 已知：如图，AB =AC ，AD =AE ，AB ，DC 相交于点M ，AC ，BE 相交于点N ，∠DAB =
∠EAC ．求证：△ADM ≌△AEN ．
4. 已知：如图，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD =BC ，CE ⊥AB ，
DF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ． 求证：CE =DF ．
D
A
B
F
C
D
C A
5. 已知：如图，点C ，D 在线段BE 上，且BD =EC ，CA ⊥BA 于A ，DF ⊥EF 于F ，
且AB ＝EF ．求证：CF =AD ．
1、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，过AC 的中点O 作直线EF 交AB 的延长线于E ，交CD 的延长线于F.
求证：OE=OF.
2、已知：如图，∠D=∠E. AM=ME=CN=DN.
问：AB 与BC 相等吗？请给予证明.
3、已知点A ，C 在直线EF 上，AD ＝BC ，AB ＝DC ，AE ＝CF ，
B
C
D
A F A
B C
D
O
E
F
C
N
D
A
B
E
M
试说明E ∠与∠F 相等的理由．
4、如图已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形.
5、将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图的形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上。

⑴求证：AB ⊥ED
⑵若PB=BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。

A
C
B
D
E N M
P
F
E
D
C
B
A
6、如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足为C 、D ， OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么？
C O
B
A D
P
7、已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证： AD=DE
、
23.如图所示，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB ＝CD ，可以得到BD 平分EF ，为什么？若将△DEC 的边EC 沿AC 方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.
）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．
（1）求证：MB =MD ，ME =MF
（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
24.如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF .
（1）求证：BG ＝CF . （2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.
G D
F A C B
E G D
F
A C
B E F E
D
C
B A
1. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
9．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C
点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．
求证：BD =2CE ．
巧添辅助线——倍长中线
【夯实基础】
例：ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC
方法1：作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，证明二次全等 方法2：辅助线同上，利用面积 方法3：倍长中线AD
△ABC 中
方式1： 延长AD
， AD 是BC 边中线连接BE
F E D
C
B A
方式2：间接倍长
作CF⊥AD于F，
延长MD
作BE⊥AD的延长线于使DN=MD，
连接连接CN
【经典例题】
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H
证明ΔBDG≌ΔECH
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA
三角形BEG是等腰三角形
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F
E
D C
B
A
C
C
例4：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠
提示：
方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH
1． 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0
180=∠+∠C A
2、如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD
第 1 题图
A
B
F
D
E
C
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如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0
120BDC ∠=，以D 为顶点做一个0
60角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为 ；
B
C
如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，且AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于F ，过C 作BE 的垂线交BE
于E.求证：BF=2CE
有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

例：：如图2：AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE ＋CF ＞EF
A B C
E
F 2
图A
B
C
D
E F
M
123
4
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