2022届中考数学全程演练第42课时阅读理解型问题2022070921

第42课时 阅读理解型问题
(60分)
一、选择题(每题6分，共18分)
1．[2022·泰州]如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形〞，以下各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是
(D)
A ．1，2，3
B ．1，1， 2
C ．1，1，3
D ．1，2， 3
【解析】 A ．∵1＋2＝3，不能构成三角形，应选项错误； B ．∵12
＋12
＝(2)2
，是等腰直角三角形，应选项错误；
C ．底边上的高是12
－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1
2
，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，应选
项错误；
D ．解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°＝3，符合“智慧三角形〞的定义，应选项正确．应选D.
2．[2022·济宁]“如果二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0，有两个不相等的实数根〞．请根据你对这句话的理解，解决下面问题：假设m ，n (m <n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两根，且a <b ，那么a ，b ，
m ，n 的大小关系是
(A)
A ．m <a <b <n
B ．a <m <n <b
C ．a <m <b <n
D ．m <a <n <b
【解析】 ∵1－(x －a )(x －b )＝0， ∴1＝(x －a )(x －b )．
∵m ，n (m <n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两根，
∴m ，n 是直线y ＝1和二次函数y ＝(x －a )(x －b )的交点，∴m <a <b <n .
3．我们知道，一元二次方程x 2
＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.假设我们规定一个新数“i 〞，使其满足i 2
＝－1(即方程x 2
＝－1有一个根为i )，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四那么运算，且原有的运算律和运算法那么仍然成立，于是有i 1
＝i ，i 2
＝－1，i 3
＝i 2
·i ＝(－1)·i ＝－i ，i 4
＝(i 2)2
＝(－1)2
＝1.从而对任意正整数n ，我们可得到i
4n ＋1
＝i 4n ·i ＝(i 4)n ·i ＝i ，同理可得i
4n ＋2
＝－1，i
4n ＋3
＝－i ，i
4n
＝1，那么，i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 2 014
＋i
2 015
的值为
(C) A ．0
B ．1
C ．－1
D ．i
二、填空题(每题6分，共18分)
4．[2022·达州]对于任意实数m ，n ，定义一种运算m ※n ＝mn －m －n ＋3，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：3※5＝3×5－3－5＋3＝10.请根据上述定义解决问题：假设a <2※x <7，且解集中有两个整数解，那么a 的取值范围是__4≤a ＜5__． 【解析】 ∵2※x ＝2x －2－x ＋3＝x ＋1， ∴a ＜x ＋1＜7， 即a －1＜x ＜6，
假设解集中有两个整数解， 那么这两个整数解为5，4， 即有⎩⎪⎨
⎪
⎧a －1<4a －1≥3
，解得4≤a ＜5.
5．[2022·成都]如果关于x 的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程〞，以下关于倍根方程的说法，正确的选项是__②③__．(写出所有正确说法的序号) ①方程x 2
－x －2＝0是倍根方程；
②假设(x －2)(mx ＋n )＝0是倍根方程，那么4m 2
＋5mn ＋n 2
＝0；
③假设点(p ，q )在反比例函数y ＝2x
的图象上，那么关于x 的方程px 2
＋3x ＋q ＝0是倍根
方程；
④假设方程ax 2
＋bx ＋c ＝0是倍根方程，且相异两点M (1＋t ，s )，N (4－t ，s )都在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，那么方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的一个根为54
.
【解析】 研究一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，那么另一个根为2t ，因此ax 2＋bx ＋c ＝a (x －t )(x －2t )＝ax 2－3atx ＋2t 2a .所以有b 2－
92
ac ＝0；我们记K ＝b 2－92
ac ，即K ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0为倍根方程；下面我们根
据此结论来解决问题：
对于①，K ＝b 2
－92
ac ＝10，因此①错误；
对于②，mx 2
＋(n －2m )x －2n ＝0，
K ＝(n －2m )2－92
m (－2n )＝0⇒4m 2＋5mn ＋n 2＝0，因此②正确；
对于③，显然pq ＝2，而K ＝32
－92pq ＝0，因此③正确；
对于④，由M (1＋t ，s )，N (4－t ，s )知－b
2a
＝
1＋t ＋4－t 2＝5
2
⇒b ＝－5a ，由倍根方程的结论知b 2－92ac ＝0，从而有c ＝509a ，所以方程变为ax 2－5ax ＋509a ＝0⇒9x 2
－45x ＋50＝
0⇒x 1＝103，x 2＝5
3，因此④错误．
综上可知，正确的选项有②③.
6．[2022·宜宾]规定sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y ，据此判断以下等式成立的是__②③④__(写出所有正确的序号)． ①cos(－60°)＝－1
2；
②sin75°＝
6＋2
4
； ③sin2x ＝2sin x ·cos x ；
④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y .
【解析】 ①cos(－60°)＝cos60°＝1
2
，故①错误；
②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°·cos45°＋cos30°·sin45°＝12×22＋3
2×
22＝24＋64＝6＋2
4
，故②正确； ③sin2x ＝sin x ·cos x ＋cos x ·sin x ＝2sin x ·cos x ，故③正确；
④sin(x －y )＝sin x ·cos(－y )＋cos x ·sin(－y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y ，故④正确． 三、解答题(共24分)
7．(12分)[2022·绍兴]如果抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过定点M (1，1)，那么称此抛物线为定点抛物线．
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x 2
＋3x －4，请你写出一个不同于小敏的答案；
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：定点抛物线y ＝－x 2
＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．
解：(1)答案不唯一，如y ＝x 2
＋x －1，y ＝x 2
－2x ＋2，只要a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1即
可；
(2)∵定点抛物线y ＝－x 2
＋2bx ＋c ＋1＝－(x －b )2
＋b 2
＋c ＋1，
∴该抛物线的顶点坐标为(b ，b 2
＋c ＋1)，且－1＋2b ＋c ＋1＝1，即c ＝1－2b . ∵顶点纵坐标为b 2
＋c ＋1＝b 2
－2b ＋2＝(b －1)2
＋1.
∴当b ＝1时，b 2＋c ＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2
＋2x .
8．(12分)[2022·绍兴]如果二次函数的二次项系数为1，那么此二次函数可表示为y ＝x
2
＋px ＋q ，我们称[p ，q ]为此函数的特征数，如函数y ＝x 2
＋2x ＋3的特征数是[2，3]． (1)假设一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究以下问题：
①假设一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?
解：(1)由题意，得y ＝x 2
－2x ＋1＝(x －1)2
，
∴特征数为[－2，1]的函数图象的顶点坐标为(1，0)；
(2)①特征数为[4，－1]的函数为y ＝x 2
＋4x －1，即y ＝(x ＋2)2
－5， ∵函数图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴y ＝(x ＋2－1)2
－5＋1，即y ＝x 2
＋2x －3. ∴特征数为[2，－3]．
②特征数为[2，3]的函数为y ＝x 2
＋2x ＋3， 即y ＝(x ＋1)2
＋2，
特征数为[3，4]的函数为y ＝x 2
＋3x ＋4，
即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322
＋74
，
∴所求平移为：先向左平移12个单位，再向下平移1
4个单位．(符合题意的其他平移，也正
确)．
(24分)
9．(12分)[2022·遂宁]阅读以下材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋14＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13－14－15×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋13＋14. 令12＋13＋1
4
＝t ，那么 原式＝(1－t )⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t －15t ＝t ＋15－t 2－15t －45t ＋t 2
＝15.
(1)计算：
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13－…－12 014×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋14＋…＋12 015－
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13－…－12 014－12 015× ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋13＋14＋…＋12 014； (2)解方程(x 2
＋5x ＋1)(x 2
＋5x ＋7)＝7. 解：(1)设12＋13＋14＋…＋12 014＝t ，
那么原式＝(1－t )⎝
⎛⎭⎪⎫t ＋12 015－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t －12 015×t ＝t ＋12 015－t 2－t 2 015
－t ＋t 2
＋t
2 015＝12 015
； (2)设x 2
＋5x ＋1＝t ，原方程可化为t (t ＋6)＝7，
t 2＋6t －7＝0，(t ＋7)(t －1)＝0，得t 1＝－7，t 2＝1，
当t ＝－7时，
x 2＋5x ＋1＝－7，无解；
当t ＝1时，
x 2＋5x ＋1＝1，解得x 1＝0，x 2＝－5.
所以原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.
10．(12分)如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形〞；
图42－1
(1)请用直尺与圆规画一个“好玩三角形〞； (2)如图42－1①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3
2
，求证：△ABC 是“好玩三角形〞；
(3)如图42－1②，菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝2β，点P ，Q 从点A 同时出发，以相同的速度分别沿折线AB －BC 和AD －DC 向终点C 运动，记点P 所经过的路程为s .
①当β＝45°时，假设△APQ 是“好玩三角形〞，试求a
s
的值．
②当tan β的取值在什么范围内，点P ，Q 在运动过程中，有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形〞．请直接写出tan β的取值范围． 解：(1)图略．
(2)取AC 的中点D ，连结BD ，如答图①. ∵∠C ＝90°，tan A ＝
32，∴BC AC ＝32，设BC ＝3x ，那么AC ＝2x ，∴CD ＝1
2
AC ＝x ， ∵BD ＝BC 2
＋CD 2
＝3x 2
＋x 2
＝2x ， ∴AC ＝BD ，∴△ABC 是“好玩三角形〞；
(3)①假设β＝45°，那么四边形ABCD 是正方形，当点P 在AB 上时，△APQ 是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形〞．
当点P 在BC 上时，连结AC ，交PQ 于点E ，延长AB 交QP 的延长线于点F ，如答图②. ∵PC ＝CQ ，∠ACB ＝∠ACD ，
∴AC 是QP 的垂直平分线，∴AP ＝AQ .
∵∠CAB ＝∠ACP ＝45°，∠AEF ＝∠CEP ＝90°， ∴△AEF ∽△CEP .
易证△PBF ，△PCE 是等腰直角三角形， ∴AE CE ＝AF PC ＝
AB ＋BP PC ＝s 2a －s
.
∵PE ＝CE ，∴AE PE ＝
s
2a －s
.
(i)当底边PQ 与它的中线AE 相等，即AE ＝PQ 时，
AE PE ＝s 2a －s ＝21，∴a s ＝34
. (ii)如答图③，取AP 的中点M ，连结QM ，当腰AP 与它的中线QM 相等，即AQ ＝QM 时，是“好玩三角形〞，
作QN ⊥AP 于N ，∴MN ＝AN ＝12AM ＝1
4AP ＝
1
4
QM .∴QN ＝15MN . ∴tan ∠APQ ＝QN PN ＝15MN 3MN ＝15
3
. ∴tan ∠APE ＝AE PE ＝
s 2a －s ＝15
3
.
∴a s ＝1510＋12
. ②
15
3
＜tan β＜2. 第10题答图
(16分)
11．(16分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点〞．例如点(－1，－1)，(0，0)，(2，2)，…都是“梦之点〞，显然，这样的“梦之点〞有无数个．
(1)假设点P (2，m )是反比例函数y ＝n x
(n 为常数，n ≠0)的图象上的“梦之点〞，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数y ＝3kx ＋s －1(k ，s 是常数)的图象上存在“梦之点〞吗？假设存在，请求出“梦之点〞的坐标，假设不存在，请说明理由；
(3)假设二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋1(a ，b 是常数，a ＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点〞A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且满足－2＜x 1＜2，|x 1－x 2|＝2，令t ＝b 2
－2b ＋15748，试求
出t 的取值范围．
解：(1)∵点P (2，m )是梦之点， ∴m ＝2，P (2，2)，
将点P (2，2)代入y ＝n x
中得n ＝4，∴y ＝4
x
；
(2)假设函数y ＝3kx ＋s －1的图象上存在梦之点， 设该梦之点为(a ，a )，代入得a ＝3ka ＋s －1， ∴(1－3k )a ＝s －1，
①当3k －1＝0，1－s ＝0，即k ＝1
3，s ＝1时，y ＝x ，此时直线上所有的点都是梦之点；
②当3k －1＝0，1－s ≠0，即k ＝1
3
，s ≠1时，a 无解，即不存在；
③当3k －1≠0，即k ≠13时，a ＝s －11－3k ，存在梦之点，点为⎝ ⎛⎭⎪⎫s －11－3k ，s －11－3k ；
(3)由题意知ax 2
＋bx ＋1＝x ，即ax 2
＋(b －1)x ＋1＝0， ∵x 1，x 2是方程ax 2＋(b －1)x ＋1＝0的两个根， ∴x 1＋x 2＝1－b a ，x 1·x 2＝1a
，
∵|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2
＝4， ∴(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝4，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－b a 2
－4×1a ＝4， ∴(1－b )2
＝4a 2
＋4a ，
①b －1＞0时，b －1＝4a 2
＋4a ， ∵－2＜x 1＜2，
∴当x ＝－2时，y ＜0，即4a －2(b －1)＋1＜0， ∴b －1＞4a ＋12
，
∴4a 2
＋4a ＞4a ＋12，∴a ＞18.
∵b －1＞4a ＋12，∴b ＞7
4，
∵t ＝b 2－2b ＋15748＝(b －1)2
＋10948，
∴当b ＝74时，t ＝176，∴t ＞17
6.
②当b －1＜0时，b －1＝－4a 2
＋4a ， ∵－2＜x 1＜2，
∴当x ＝2时，y ＜0，即4a ＋2(b －1)＋1＜0， ∴b －1＜－4a ＋12，∴－4a 2
＋4a ＜－4a ＋12，∴a ＞18.
∵b －1＜－4a ＋12，∴b ＜1
4.
∵t ＝b 2－2b ＋15748＝(b －1)2
＋10948，
∴当b ＝14时，t ＝176，∴t ＞17
6.
综上所述，t 的取值范围是t ＞17
6
.。