求数列通项公式的常用方法有答案

求数列通项公式的常用方法

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，

则

21321(1)

(2) ()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

练习. 已知数列

}

{n a 满足31=a ，

)

2()1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

n a n 1

2-

=

评注：已知a a =1,)

(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函

数、指数函数、分式函数，求通项

n

a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

二、累乘法

1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。

2．解题步骤：若

1()n n a f n a +=，则31212

(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

325

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯

练习. 已知

1

,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式

答案：

=n a )

1()!1(1+⋅-a n -1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

,

11-+=+n na a n n 转化为

),

1(11+=++n n a n a 若令

1

+=n n a b ,则问题进一步转化为

n

n nb b =+1形式，进而应用累乘法求

出数列的通项公式.

三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如

(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型

（1）若c=1时，数列{

n

a }为等差数列;

（2）若d=0时，数列{

n

a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n

a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求.

解题步骤：设

)

(1λλ+=++n n a c a ，得

λ

)1(1-+=+c ca a n n ，与题设

,

1d ca a n n +=+比较系

数得d c =-λ)1(，所以

)0(,1≠-=

c c

d λ，所以有：

)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+

c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以

11)1(1-⋅-+=-+

n n c c d a c d a 即：

1)1(11--⋅-+=-c d c c d a a n n . 例3 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解：

121(2),n n a a n -=+≥ 112(1)n n a a -∴+=+

又

{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列 12n n a ∴+=，即21n n a =-

练习．已知数列

}

{n a 中，

,21

21,211+=

=+n n a a a 求通项n a

答案：1

)21

(1+=-n n a

2．形如：

n

n n q a p a +⋅=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)

①若p=1时，即：

n

n n q a a +=+1，累加即可.

②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，

求通项方法有以下三种方向：

i. 两边同除以1+n p .目的是把所求数列构造成等差数列