九年级数学下册 2 圆小专题(二)与圆的基本性质有关的计算与证明习题 湘教版(2021学年)

20１7春九年级数学下册2 圆小专题（二）与圆的基本性质有关的计算与证明习题（新版）湘教版
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小专题(二) 与圆的基本性质有关的计算与证明
1.如图，延长BP至E,若∠EＰＡ＝∠ＣPＡ,判断△ABC的形状并证明你的结论.
2.(南京中考）如图，A，Ｂ是⊙O上的两个定点,P是⊙Ｏ上的动点(P不与A,B重合),我们称∠ＡPＢ是⊙O上关于点A,B的滑动角.已知∠ＡPB是⊙O上关于点A,B的滑动角,
（1）若ＡB是⊙O的直径,则∠APB＝_＿_______＿__；
(2)若⊙O的半径是１，AB=错误!,求∠APＢ的度数.
３.如图,ＡB是⊙O的直径，C,D两点在⊙Ｏ上,若∠Ｃ=45°。

（１）求∠AＢD的度数；
（2）若∠CDＢ＝30°,BC=3,求⊙O的半径.
４．如图，在⊙Ｏ中，半径OA⊥弦ＢC,点Ｅ为垂足，点Ｄ在优弧上．(1）若∠ＡOB＝56°，求∠ＡＤC的度数;
(2)若BC＝6,AE＝1,求⊙Ｏ的半径．
ﻬ5。

(安徽中考)在⊙O中,直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°,点P在BC上，点Q在⊙O上,且ＯＰ⊥ＰQ。

(1）如图１,当PQ∥AB时，求PＱ的长度；
如图2,当点P在ＢC上移动时,求PQ长的最大值．
6．如图，在△AＢC中,∠AＣＢ＝９0°，D是AB的中点,以DC为直径的⊙Ｏ交△ABC的边于点Ｇ，F，E。

求证:
（1）F是BＣ的中点;
(2)∠A=∠GEＦ.
７．如图,在△ＡＢC中,ＡＢ＝BC=2,以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D 为ＢC的中点.
（1)求证:△ＡBC为等边三角形；
（2）求DE的长；
(3)在线段ＡB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED,若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.△AＢC是等腰三角形．
理由:∵∠ＣPＡ＝∠AＢC，四边形ＡPBC是圆内接四边形,
∴∠EPA＝∠ACB。

∵∠ＥPA=∠CPＡ,
∴∠ACB=∠ABC．∴A B=AC,即△AＢC是等腰三角形．２．(1）90°
(2)连接OA,OＢ,AB.∵⊙O的半径是１，即OA=OB=1，
又∵AB＝错误!,∴OA2+OB2＝AB2.
由勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°。

∴∠APB＝＼f（１，2)∠AOＢ=45°。

3.(１）连接AD.∵∠C＝45°,∴∠A=∠C=45°.
∵ＡB是⊙O的直径,∴∠AＤB＝90°。

∴∠ＡＢD＝45°.
（2)连接AC。

∵AＢ是⊙O的直径，∴∠AＣB=90°．
∵∠CＡＢ＝∠CDB＝３0°，BC=3,
∴ＡB＝6。

∴⊙O的半径为３.
4．（１)∵ＯA⊥BC,∴错误!=错误!.∴∠AＤC＝错误!∠AOＢ.
∵∠AOB＝56°，∴∠ADC=28°.
（2）∵OA⊥ＢＣ,∴CE＝BE。

设⊙O的半径为r,则ＯE=r-1,OB＝r,在Ｒt△BOE中，OE2+BE2＝OB2，
∵BE＝3,则３2+(ｒ-1)2＝r2.解得ｒ=5.
5.(1)连接OQ。

∵ＰQ∥AＢ,PQ⊥ＯP，∴OＰ⊥AB.
∵AB＝6，∴ＯB＝３．∵∠ABＣ=30°,∴PB=2ＯP。

在Ｒt△PBＯ中,PＢ2＝ＯP2＋OB２.
∴OP＝错误!。

由勾股定理,得PＱ＝错误!＝错误!=错误!。

（2)连接OQ。

由勾股定理得PＱ＝错误!＝错误!。

要使PQ取最大值，需OP取最小值，此时ＯP⊥ＢＣ,
∵∠ABC=30°,∴OP=错误!ＯB＝错误!，此时PQ最大值=错误!＝错误!错误!。

6．证明:(1）连接ＤF.∵∠ACB＝90°,D是AＢ的中点,
∴ＢＤ＝DＣ＝错误!ＡB。

∵DC是⊙O的直径,
∴ＤF⊥BC．∴ＢＦ＝FC,即Ｆ是ＢC的中点．
（２)∵Ｄ，F分别是AＢ，BC的中点,∴DF∥AＣ．
∴∠A＝∠BＤF。

∵∠BDＦ＝∠ＧEF,∴∠A=∠GＥF。

7．（1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．
∵点D是BC的中点，∴AＤ是线段BＣ的垂直平分线.
∴ＡB=ＡC.∵ＡB＝BC,∴ＡB=BＣ=AC.
∴△ＡBC为等边三角形．
(2）连接BE。

∵AＢ是直径，∴∠AＥB＝90°。

∴BＥ⊥AC.
∵△ＡBC是等边三角形,∴AE=ＥC,即Ｅ为AＣ的中点．
∵D是BC的中点,故DE为△ＡBＣ的中位线，
∴DＥ＝错误!AB＝错误!×２＝1。

(３)存在点Ｐ使△ＰBD≌△AEＤ,
由（１）(2)知,BＤ=ＥＤ,∵∠BＡＣ＝60°，DE∥AB,
∴∠AED=1２0°。

∵∠ＡBＣ＝６0°,∴∠ＰBD＝12０°。

∴∠PBD＝∠AEＤ.要使△PBD≌△AED，只需PB=AＥ＝１。

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