河北省大名县一中2019-2020学年高二上学期12月半月考数学(文)试卷 Word版含答案

河北省大名县一中2019-2020学年高二上学期12月半月考
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．复数2
2i 1i ⎛⎫
⎪+⎝⎭
等于（ ）
A ．4i
B ．4i -
C ．2i
D ．2i -
2．已知集合{|A x y =，{}0,1,2,3,4B =，则A B =（ ）
A ．∅
B ．{}0,1,2
C ．{}0,1,2,3
D ．(]
{},34-∞
3．函数lncos 2
2y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π
⎪⎭的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知两个单位向量a 和b 夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．1-
B ．1
C ．1
2
-
D ．
12
5．已知双曲线22
1(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A ．22124x y -=
B ．22148x y -=
C ．22
18
y x -=
D ．22128
x y -=
6．在ABC △中，1a =，b =6
A π
=
，则角B 等于（ ）
A ．
3π或23
π B ．
23
π
C ．
3
π D ．
4
π 7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入64x =，则输出的结果为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ） A ．
4
35
B ．
635
C ．
1235
D ．
36
343
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与1BB 所成的角为30︒， 则1AA =（ ）
A B ．3
C
D
10．将函数())cos
2sin 0222x x x f x ωωωω⎛
⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3ω
π个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．函数()f x 对任意的实数x 都有()()()221f x f x f +-=，若()1y f x =-的图像关于1x =对称，且
()02f =，则()()20172018f f +=（ ） A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
12．设F ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点和上顶点，O 为坐标原点，C 是直线b
y x a =与椭圆
在第一象限内的交点，若()
FO FC BO BC λ+=+，则椭圆的离心率是（ ） A
B ．
221
7
- C ．
22D
1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为__________．
14．若变量x ，y 满足约束条件2534x y x y +≥≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，则z x y =+的取值范围是__________．
15．已知()0,α∈π，tan 2α=，则cos2cos αα+=__________．
16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -
的体积取值范围为83⎤
⎥⎣
⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37a =，()12222n n a a a n -=+-≥． （1）证明：{}1n a +为等比数列；
（2）求{}n a 的通项公式，并判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？
18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：
（1）可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系吗？如果能，请求出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（2）公司决定再采购A ，B 两款车扩大市场，A ，B 两款车各100辆的资料如表：
平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？ 参考数据：
()
6
2
1
17.5i i x x =-=∑，
()()61
35i i i x x y y =--=∑，()6
2
1
76i i y y =-=∑
36.5≈．
参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y y r --∑
回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-．
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB DC ∥，2AD DC AP ===，
1AB =，点E 为棱PC 的中点．
（1）证明：BE PD ⊥；
（2）若F 为棱PC 上一点，满足
BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值．
20．（12分）已知ABC △的直角顶点A 在y 轴上，点()10B ,，D 为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴． （1）求点C 的轨迹方程；
（2）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E ．以CE 为直径的圆交y 轴于M 、N ，记此圆的圆心为P ，MPN α∠=，求α的最大值． 21．（12分）已知函数()2x f x e ax =-． （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；
（2）若()f x 在()0+∞,有两个零点，求a 的取值范围． 22.已知函数()1f x x =+
（1）求不等式()211f x x <+-的解集；
（2）关于x 的不等式()()23f x f x a -+-<的解集不是空集，求实数a 的取值范围．
河北省大名县一中2019-2020学年高二上学期12月半月考
数学（理）试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】()
2
22
2i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，故选C ． 2．【答案】C
【解析】集合{{}||3A x y x x ===≤，{}0,1,2,3,4B =， ∴{}0,1,2,3A
B =，故选
C ．
3．【答案】B
【解析】由题得()()()ln cos ln cos f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数， 所以图像关于y 轴对称，所以排除A ，C ．由题得1ln 032f π⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，所以D 错误，
故答案为B ． 4．【答案】D
【解析】1
cos602
⋅=︒⋅=a b a b ，
则向量-a b 在向量a 方向上的投影为：()2
1
cos 2
ϕ-⋅-⋅-==
=
a a
b a b a
a b a
a
． 故选D ． 5．【答案】D
【解析】双曲线22
1(0)6
x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，
可得2m =，则双曲线的标准方程是22
128
x y -=．故选D ．
6．【答案】A
【解析】∵1a =，b =6A π=
，∴由正弦定理得：sin sin a b
A B
=．
则1
sin 2sin 1b A
B a
=
==0B <<π，b a >，∴3B =π或23
π． 故选A ． 7．【答案】C
【解析】输入64x =，1i =，640x =>，21
log 6432
x ==，112i =+=；
30x =>，21log 32
x =，213i =+=；
21log 302x =>
，221
log (log 2x =，314i =+=；
21
log (log 02
x =<，结束运算，输出4i =，故选C ．
8．【答案】C
【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为21
34
37
C C 12
35
C =
．故答案为C ． 9．【答案】D
【解析】如图所示，连接11A C ，
∵11B B A A ∥，∴11A AC ∠是异面直线1AC 与1BB 所成的角，即1130A AC ∠=︒，
在111Rt A B C △
中，11AC ，
在11Rt A AC △中，有
111tan30A C AA =︒
，即111tan30A C
AA ==︒
D ．
10．【答案】B
【解析】函数(
))cos
2sin 0222x x x f x ωωωω⎛
⎫
=-> ⎪⎝⎭
sin sin 2sin 3x x x x ωωωωπ⎛
⎫=-==- ⎪⎝
⎭，
()f x 的图象向左平移
3ωπ
个单位，得2sin 33y x ωωππ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象，
∴函数()2sin y g x x ω==；
又()y g x =在0,4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，∴44T π≥，即244ωππ≥，解得2ω≤，
所以ω的最大值为2．故选B ． 11．【答案】B
【解析】因为()1y f x =-的图像关于1x =对称， 所以()y f x =的图像关于0x =对称，即()f x 为偶函数， 因为()()()221f x f x f +-=，
所以()()()12121f f f -+--=，所以()10f =，()()2f x f x +=，
因此()()201710f f ==，()()201802f f ==，()()201720182f f +=，故选B ． 12．【答案】A
【解析】根据()
FO FC BO BC λ+=+，由平面向量加法法则， 则有BF 为平行四边形FOBC 的对角线，故BFO BFC S S =△△，
联立椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>、直线b y x a =方程，可得C ，
∵BFO BFC S S =△△，则 2BOFC BOF S S bc ==△，
11
22BOFC BOC OFC S S S b c bc =+=+=△△，
可得()
1a c =，∴
c e a =A ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】530x y +-=．
【解析】5e 2x y =+﹣的导数55e x y '=﹣﹣
， 则在0x =处的切线斜率为05e 5-=-，切点为()0,3， 则在0x =处的切线方程为53y x =-+，即为530x y +-=． 故答案为530x y +-=． 14．【答案】[]1,7
【解析】作出不等式组25
34x y x y +≥≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩
对应的平面区域如图所示阴影部分ABC △；
由z x y =+得y x z =-+，即直线的截距最大，z 也最大；
平移直线y x z =-+，可得直线y x z =-+经过点()3,4C 时，截距最大，此时z 最大，
即347z =+=；经过点A 时，截距最小，由=4 2=5y x y ⎧⎨
⎩+，得3
=4x y -⎧⎨⎩
=， 即()3,4A -，此时z 最小，为341z =-+=； 即z 的取值范围是[]1,7，故答案为[]1,7．
15． 【解析】∵()0,α∈π，tan 2α=，∴0,2απ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
则2222sin 1cos 44cos cos αααα
-=⇔=，解得cos α=
．
∴21cos2cos 2cos 1cos 215αααα+=-+=⨯-．
． 16．【答案】28,203π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦ 【解析】四棱锥S ABCD -中，
可得：AD SA ⊥；AD AB AD ⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ， 过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ， 设SAB θ∠=，故18
sin 33S ABCD ABCD V S SO θ-=⋅=，
所以sin 1θ⎤∈⎥⎣⎦
，211cos 3322θθππ⎡⎤
⇒∈⇒-≤≤⎢⎥⎣⎦,，
在SAB △中，2SA AB ==，则有，SB =
所以SAB △的外接圆半径2sin SB r θ=
将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱，
得外接球的半径R =224411cos S R θ⎛⎫
⇒=π=π+
⎪+⎝⎭， 所以28203S π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦,．故答案为28,203π⎡⎤
π⎢⎥⎣⎦
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵37a =，3222a a =-，∴23a =，
∴121n n a a -=+，∴11a =，()1111222211
n n n n a a n a a ---++==≥++， ∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，12n n a +=，∴21n n a =-， ∴1
1222212
n n n S n n ++-=-=---， ∴()
12222210n n n n n S a n n ++-=+----=
∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列．
18．【答案】（1）ˆ29y x =+；（2）见解析 【解析】（1）∵()62117.5i
i x x =-=∑，()()6135i i i x x y y =--=∑，
()62176i
i y y =-=∑
36.5≈． ∴()()
350.9636.5
n
i i
x x y y r --===≈∑， 所以两变量之间具有较强的线性相关关系， 故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
()()()12135217ˆ.5
n
i i
i n i
i x x y y b x x ==--===-∑∑， 又123456 3.56x +++++==，111316152021166
y +++++==， ∴16ˆ59ˆ2 3.a
y bx =-=-⨯=， ∴回归直线方程为ˆ29y
x =+．
（2）用频率估计概率，A 款车的利润X 的分布列为：
∴()()5000.100.35000.410000.2350E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．
B 款车的利润Y 的分布列为：
∴()()3000.152000.47000.3512000.1400E Y =-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择B 款车型．
19．【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）依题意，以点A 为原点，以AB 、AD 、AP 为轴建立空间直角坐标系如图，
可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，
由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．向量()0,1,1BE =，()0,2,2PD =-， 故0BE PD =⋅，BE PD ⊥．
（2）()1,2,0BC =，()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =， 由点F 在棱PC 上，设CF CP λ=，01λ≤≤，
故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--，
由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=，
因此()()2122220λλ-+-=，34λ=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 设()1,,x y z =n 为平面FAB 的法向量，则1100AB BF ⋅=⋅⎧⎪
⎨⎪⎩
=n n ，即01130222
x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 不妨令1z =，可得()10,3,1=-n 为平面FAB 的一个法向量
取平面ABD 的法向量()20,0,1=n ，则121212cos ⋅===⋅n n n ,n n n
所以二面角F AB D --．
20．【答案】（1）()240y x x =≠；（2）
23
π． 【解析】（1）设点C 的坐标为()x y ,， 则BC 的中点D 的坐标为122x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭,，点A 的坐标为02y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,． 12y AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,，2y AC x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,， 由AB AC ⊥，得2
04
y AB AC x ⋅=-=，即24y x =， 经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去．
所以轨迹Γ的方程为()240y x x =≠．
（2）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+，点C 、E 的坐标分别为()11x y ,、()22x y ,，圆心P 的坐标为()00x y ,．
由241
y x x my ==+⎧⎪⎨⎪⎩，可得2440y my --=，∴124y y m +=，124y y =-． ∴()21212242x x m y y m +=++=+，∴2120212x x x m +=
=+． ∴圆P 的半径()()
221211124422222r CE x x m m ==++=+=+． 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ，则2MPQ α
∠=．
在Rt PQM △中，2022211cos 122222PQ
x m r r m m α+====-++， 当20m =，即CE 垂直于x 轴时，cos
2α取得最小值为12，2α取得最大值为3
π， 所以α的最大值为23π．
21．【答案】（1）见解析；（2）2e 4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,．
【解析】（1）证明：当1a =时，函数()2x f x e x =-．则()'2x f x e x =-， 令()2x g x e x =-，则()'2x g x e =-，令()'0g x =，得ln2x =．
当()0,ln2x ∈时，()'0g x <，当()ln2,x ∈+∞时，()'0g x >
∴()f x 在[)0,+∞单调递增，∴()()01f x f ≥=．
（2）解：()f x 在()0,+∞有两个零点⇔方程2e 0x ax -=在()0,+∞有两个根，
2x
e a x
⇔=在()0,+∞有两个根， 即函数y a =与()2x
e G x x
=的图像在()0,+∞有两个交点．()()3e 2'x x G x x -=， 当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递增
当()2x ∈+∞,时，()'0G x >，()G x 在()2+∞,递增
所以()G x 最小值为()2
e 24
G =， 当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，
∴()f x 在()0,+∞有两个零点时，的取值范围是2e 4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
,．
22.【答案】（1）()(),11,A =-∞-+∞；
（2）()1,+∞． 【解析】（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<，
当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<，解得1x <-，所以1x <-； 当112
x -≤≤-，不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-，无解； 当12
x >-时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，所以1x > 综上所述，()(),11,A =-∞-+∞．
（2）因为()()()()2312121f x f x x x x x -+-=-+-≥---=，
且()()23f x f x a -+-<的解集不是空集， 所以1a >，即a 的取值范围是()1,+∞．。