2015届高考数学文二轮专题复习高考中档大题规范练(一)

高考中档大题标准练
高考中档大题标准练 (一 )
—— 三角函数与平面向量
(推荐时间： 60 分钟 )
π 5
1． (2021 江·苏 )α∈
，π， sin α＝
2
5
.
π
(1) 求 sin ＋ α的值；
4
5π
(2) 求 cos 6－2α
的值．
π
， sin α＝
5
， π
5 ，
解 (1) 因为α∈2
所以 cos α＝－ 1－ sin 2
α＝－
2
5 5 . π
＝ sin π
π
＋α
4cos α＋ cos 4sin α
故 sin 4
＝ 2×－
2 5
＋ 2× 5＝－
10
2 5 2 5
10 .
(2) 由 (1)知 sin 2α＝ 2sin αcos α ＝2×5× －
2 5
＝－4
，
5
5
5
cos 2α＝1－ 2sin 2
α＝ 1－2×
5 2＝3，
5
5
5π
5π
5π
所以 cos
－ 2α
＝cos 6 cos 2α＋ sin 6 sin 2α
6
＝ － 3 ×3＋1× － 4
＝－ 4＋ 3 3 5 10.
2 5 2 2．函数 f(x)＝
3sin 2x ＋ 2cos 2x ＋ a.
(1) 求函数 f(x)的最小正周期以及单调递增区间；
π
(2) 当 x ∈ [0，4] 时，函数 f(x)有最大值 4，XX 数 a 的值．
解
f(x)＝
π 3sin 2x ＋ 2cos 2
x ＋ a ＝ cos 2x ＋ 3sin 2x ＋ 1＋ a ＝ 2sin(2x ＋
)＋ a ＋ 1.
6
2π (1) 函数 f(x)的最小正周期为＝ π，
2
262
ππ
解得 kπ－≤x≤ kπ＋ (k∈Z ) ．
36
∴函数 f(x) 的单调递增区间为
ππ
[kπ－， kπ＋](k∈Z ) ．
36
ππ π 2π
(2) ∵ x∈ [0， ]，∴ 2x＋∈[，]，
4663
π1
从而 sin(2x＋ )∈ [ ， 1]．
62
π
∴f(x)＝ 2sin(2x＋ )＋ a＋ 1∈[a＋ 2， a＋ 3]，
6
∵f(x)有最大值4，即 a＋ 3＝ 4，∴ a＝ 1.
π3．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c， c＝ 2， C＝3.
(1) 假设△ ABC 的面积等于3，求 a，b；
(2) 假设 sin C＋ sin(B－A)＝ 2sin 2A，求△ ABC 的面积．
解(1) 由余弦定理及条件得， a2＋b2－ab＝ 4，
又△ ABC 的面积等于3，所以1
3，得 ab＝ 4，absin C＝
2
a2＋ b2－ ab＝ 4，
联立方程解得 a＝ 2， b＝2.
ab＝ 4，
(2)由题意得 sin(B＋ A)＋ sin(B－ A)＝ 4sin Acos A，
即 sin Bcos A＝ 2sin Acos A.
ππ 4 3 2 3
当 cos A＝ 0 时， A＝， B＝， a＝， b＝，
2633
1 2 3
那么△ ABC 的面积 S＝2bc＝3；
当 cos A≠ 0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝ 2a，
a2＋ b2－ ab＝ 4，
解得 a＝2
3，b＝ 4 3
联立方程
b＝ 2a，3 3 .
123
，那么△ ABC 的面积 S＝ absin C＝
3
2
综上，△ ABC 的面积为2
3
3
.
4．(2021山·东 ) 向量a＝ (m，cos 2x)，b＝ (sin 2x，n), 函数 f(x)＝a·b，且 y＝ f(x)的图象过π2π
点( 12，3)和点 ( 3，－ 2)．
(1)求 m， n 的值；
262
ππ
解得 kπ－≤x≤ kπ＋ (k∈Z ) ．
36
∴函数 f(x) 的单调递增区间为
ππ
[kπ－， kπ＋](k∈Z ) ．
36
ππ π 2π
(2) ∵ x∈ [0， ]，∴ 2x＋∈[，]，
4663
π1
从而 sin(2x＋ )∈ [ ， 1]．
62
π
∴f(x)＝ 2sin(2x＋ )＋ a＋ 1∈[a＋ 2， a＋ 3]，
6
∵f(x)有最大值4，即 a＋ 3＝ 4，∴ a＝ 1.
π3．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c， c＝ 2， C＝3.
(1) 假设△ ABC 的面积等于3，求 a，b；
(2) 假设 sin C＋ sin(B－A)＝ 2sin 2A，求△ ABC 的面积．
解(1) 由余弦定理及条件得， a2＋b2－ab＝ 4，
又△ ABC 的面积等于3，所以1
3，得 ab＝ 4，absin C＝
2
a2＋ b2－ ab＝ 4，
联立方程解得 a＝ 2， b＝2.
ab＝ 4，
(2)由题意得 sin(B＋ A)＋ sin(B－ A)＝ 4sin Acos A，
即 sin Bcos A＝ 2sin Acos A.
ππ 4 3 2 3
当 cos A＝ 0 时， A＝， B＝， a＝， b＝，
2633
1 2 3
那么△ ABC 的面积 S＝2bc＝3；
当 cos A≠ 0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝ 2a，
a2＋ b2－ ab＝ 4，
解得 a＝2
3，b＝ 4 3
联立方程
b＝ 2a，3 3 .
123
，那么△ ABC 的面积 S＝ absin C＝
3
2
综上，△ ABC 的面积为2
3
3
.
4．(2021山·东 ) 向量a＝ (m，cos 2x)，b＝ (sin 2x，n), 函数 f(x)＝a·b，且 y＝ f(x)的图象过π2π
点( 12，3)和点 ( 3，－ 2)．
(1)求 m， n 的值；
262
ππ
解得 kπ－≤x≤ kπ＋ (k∈Z ) ．
36
∴函数 f(x) 的单调递增区间为
ππ
[kπ－， kπ＋](k∈Z ) ．
36
ππ π 2π
(2) ∵ x∈ [0， ]，∴ 2x＋∈[，]，
4663
π1
从而 sin(2x＋ )∈ [ ， 1]．
62
π
∴f(x)＝ 2sin(2x＋ )＋ a＋ 1∈[a＋ 2， a＋ 3]，
6
∵f(x)有最大值4，即 a＋ 3＝ 4，∴ a＝ 1.
π3．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c， c＝ 2， C＝3.
(1) 假设△ ABC 的面积等于3，求 a，b；
(2) 假设 sin C＋ sin(B－A)＝ 2sin 2A，求△ ABC 的面积．
解(1) 由余弦定理及条件得， a2＋b2－ab＝ 4，
又△ ABC 的面积等于3，所以1
3，得 ab＝ 4，absin C＝
2
a2＋ b2－ ab＝ 4，
联立方程解得 a＝ 2， b＝2.
ab＝ 4，
(2)由题意得 sin(B＋ A)＋ sin(B－ A)＝ 4sin Acos A，
即 sin Bcos A＝ 2sin Acos A.
ππ 4 3 2 3
当 cos A＝ 0 时， A＝， B＝， a＝， b＝，
2633
1 2 3
那么△ ABC 的面积 S＝2bc＝3；
当 cos A≠ 0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝ 2a，
a2＋ b2－ ab＝ 4，
解得 a＝2
3，b＝ 4 3
联立方程
b＝ 2a，3 3 .
123
，那么△ ABC 的面积 S＝ absin C＝
3
2
综上，△ ABC 的面积为2
3
3
.
4．(2021山·东 ) 向量a＝ (m，cos 2x)，b＝ (sin 2x，n), 函数 f(x)＝a·b，且 y＝ f(x)的图象过π2π
点( 12，3)和点 ( 3，－ 2)．
(1)求 m， n 的值；
262
ππ
解得 kπ－≤x≤ kπ＋ (k∈Z ) ．
36
∴函数 f(x) 的单调递增区间为
ππ
[kπ－， kπ＋](k∈Z ) ．
36
ππ π 2π
(2) ∵ x∈ [0， ]，∴ 2x＋∈[，]，
4663
π1
从而 sin(2x＋ )∈ [ ， 1]．
62
π
∴f(x)＝ 2sin(2x＋ )＋ a＋ 1∈[a＋ 2， a＋ 3]，
6
∵f(x)有最大值4，即 a＋ 3＝ 4，∴ a＝ 1.
π3．在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别是a， b， c， c＝ 2， C＝3.
(1) 假设△ ABC 的面积等于3，求 a，b；
(2) 假设 sin C＋ sin(B－A)＝ 2sin 2A，求△ ABC 的面积．
解(1) 由余弦定理及条件得， a2＋b2－ab＝ 4，
又△ ABC 的面积等于3，所以1
3，得 ab＝ 4，absin C＝
2
a2＋ b2－ ab＝ 4，
联立方程解得 a＝ 2， b＝2.
ab＝ 4，
(2)由题意得 sin(B＋ A)＋ sin(B－ A)＝ 4sin Acos A，
即 sin Bcos A＝ 2sin Acos A.
ππ 4 3 2 3
当 cos A＝ 0 时， A＝， B＝， a＝， b＝，
2633
1 2 3
那么△ ABC 的面积 S＝2bc＝3；
当 cos A≠ 0 时，得 sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝ 2a，
a2＋ b2－ ab＝ 4，
解得 a＝2
3，b＝ 4 3
联立方程
b＝ 2a，3 3 .
123
，那么△ ABC 的面积 S＝ absin C＝
3
2
综上，△ ABC 的面积为2
3
3
.
4．(2021山·东 ) 向量a＝ (m，cos 2x)，b＝ (sin 2x，n), 函数 f(x)＝a·b，且 y＝ f(x)的图象过π2π
点( 12，3)和点 ( 3，－ 2)．
(1)求 m， n 的值；。