上海市行知中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

上海市行知中学2023-2024学年高二上学期12月月考数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
八、单选题
13．下列条件中，能够确定一个平面的是（）A．两个点B．三个点
C ．一条直线和一个点
D ．两条相交直线
14．设a ÎR ，则“a ＝1”是“直线1l ：ax ＋2y －1＝0与直线2l ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平
行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
15．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100
分）作为样本进行统计，样本容量为n ．按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，
[]90,100的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在[)50,60内的人数为
16，则下列结论正确的是（ ）
A ．样本容量1000
n =B ．图中
0.025
x =C ．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D ．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A 等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A 等
16．设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若对任意的*n ÎN ，都有1n n S a +<，则称数列{}n
a 为“K 数列”．关于命题：①存在等差数列{}n
a ，使得它是“K 数列”；②若{}n
a 是
首项为正数、公比为q 的等比数列，则[2,)q Î+¥是{}n
a 为“K 数列”的充要条件．下
列判断正确的是（ ）
A ．①和②都为真命题
B ．①为真命题，②为假命题
C ．①为假命题，②为真命题
D ．①和②都为假命题
九、解答题
17．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ^，12AB AC AA ===，点D 是BC 的中点.
(1)求三棱锥1
C AC
D -的体积；
(2)求异面直线AC 与1
C D 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．
（Ⅰ）求{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++…．
十、问答题
19．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道
的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）
,等的形式；（3）错位相减法求和，一般
适用于等差数列´等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.
19．（1）33.3米；（2）故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．【详解】试题分析：（1）根据题意，建立坐标系，可得P的坐标并设出椭圆的方程，将
b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得l=2a，计算可得答案；
（2）根据题意，设椭圆方程为，将（11，4.5）代入方程可得
，结合基本不等式可得，分析可得当
ab≥99且l=2a，h=b时，，进而分析可得答案．
解：（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为．
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，
得，
此时此时
因此隧道的拱宽约为33.3米；
（2）由椭圆方程，
根据题意，将（11，4.5）代入方程可得．
因为
即ab≥99且l=2a，h=b，
所以
当S取最小值时，
有，
得，
此时，h=b≈6.4
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小．
点评：本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．
20．(1)抛物线G的焦点()
l x=-.
F，准线:1
1,0
(2)20
(3)存在，()
Q-
5,2
【分析】（1）根据抛物线的方程求焦点和准线；
（2）根据题意可得直线AB的方程，联立方程，理由韦达定理结合抛物线的定义分析运算；
uuuu r uuu r，结合韦达定理分析运算.
（3）设直线MN，联立方程，根据题意可得0
×=
PM PN
【详解】（1）∵抛物线G：24
p=，且焦点在x轴正半轴，
=，则2
y x。