1.空间的概念4学时

空间内任何元素进行任何合法的运算结果仍然在此空间内不会因为运算而超出空间去加减乘在定义中有在此增加极限的运算banachspace完备的赋范线性空间称为banach空间简称b空间如果赋范线形空间x中的每一个序列都在x中收敛则x是完备的是完备空间hilbertspace完备的按内积赋范线性空间称为hilbert空间简称h空间squarelebesgueintegrablespace平方可积空间加权平方可积空间矢量平方可积空间距离空间线性空间赋范空间内积空间完备空间banach空间banach空间hilbert空间平方可积空间定义域空间值域空间linearoperators线性算子的定义的映射得到唯一的元素为线性有界算子线性连续算子与线性有界算子互为充要条一般不满足交换率线性算子的性质特征值问题确定性问题线性算子方程已知而未知算子方程的求解任务就是算子求逆运算存在则解存在且唯一连续则解稳定symmetricoperators正定算子正算子非负算子下有界算子对称算子对称算子下有界算子正算子正定算子selfadjointoperators设a是h空间的线性连续算子若存在b使任意都满足等式则b称为a的伴随算子a为a的伴随算子的伴随算子线性连续算子a满足即为自伴算子为定义在整个h空间的线性连续对称算子自伴算子都能求逆且逆算子也为自伴算子确定性自伴算子方程存在稳定的唯一解自伴算子的性质lagrange意义下的自伴算子在电磁场分析中并不要求场函数在整个h空间都自伴只要在满足边界条件的子空间中自伴就行在电磁场分析中并不要求场函数在整个h空间都自伴只要在满足边界条件的子空间中自伴就行集合集合映射空间空间函数算子hilbert空间平方可积空间banach空间算子对称算子自伴算子正定算子线性算子
集合的交与并
交集
集合的交和并都是用两个 集合去形成一个新的集合， 它们都称为集合的运算。
并集
定理 A, B, C 是任意集合。 (1) A AB，B AB。 (2) AB A，AB B。 (3) 如果 B A 且 C A，则 BC A。 (4) 如果 C A 且 C B，则 C AB。
定理 A1, A2, B1, B2 是任意集合。 (1) 如果 B1 A1 且 B2 A2，则 B1B2 A1A2。 (2) 如果 B1 A1 且 B2 A2，则 B1B2 A1A2。
定理 A, B, C 是任意集合。 (1) A = A，A = 。 (2) 幂等律 AA = A，AA = A。 (3) 交换律 AB = BA，AB = BA。 (4) 结合律 A(BC) = (AB)C， A(BC) = (AB)C。 (5) 吸收律 A(AB) = A，A(AB) = A。 (6) 分配律 A(BC) = (AB)(AC)， A(BC) = (AB)(AC)。
Hilbert space
自闭性， 完备性
交换律
设D（E）是定义在E（X） 上的函数集，在D（E） 中任意取三个元素 f(X),g(X),h(X),
(1) (2) （） 3 (4)
( f g ) D f g h)
Normed space
仅当f(X)=0时， 范数等于零
1. 2. 3. 4.
f 0 f f f g f g
n 0
lim n f 0
n属于常数域
范数的定义不是唯一的，因此上述空间也不是唯一的 通过范数引进距离的概念，从而使得线性空间成为度量空间
Inner product space
这里距离的定义可以有很多种，只要满 足前面的三个条件即可以称之为距离
极限
设{Xn}是度量X=(X,d)中的点列，若有 x X ，
使得
lim d ( xn x) 0
n
则称点列{xn}按照距离收敛于x，
或称x 是{xn}的极限
lim xn x
n
设A是度量空间X的一个子集，若存 x0 X
集合的相等 A和B有同样的元素称为A和B相等， 记为A = B。即A B =df x(xAxB)
空集 子集 没有任何元素的集合称为空集，记为。 如果B的元素都是A的元素，则称B是A的子集， 也称B包含于A，记为B A。 称为包含关系。
B 不是 A 的子集记为 B A，条件是：x(xBxA)。 / 如果 B A 且 B A，则称 B 是的 A 的真子集。
1 p
b d p ( f , g ) | f (t ) g (t ) | dt a
p
（2.6）
则 d p 是一个距离函数。称 ( Lp [a, b], d p ) 为 p 次幂可积函数空间，简记为 L p [a, b] 。
正常情况下，常用的是2次可积空间
Linear space
( f ) ( ) f 且( )( f g ) f f g g
存在零元素和负元素
分配律
单位元素
线性空间的维和基
线性空间X中可以找到n个线性无关的向量， 且任意n+1个向量均线性相关，则成X的维数为
n， dimX=n， n个线性无关向量叫基
设 X 为一非空集合。若存在二元函数 d : X X R ，使得 x, y, z X ，均满足以下三个条
则称 d 为 X 上的一个距离函数， X , d ）为度量空间或距离空间， d ( x, y) 为 x, y 两点间的距 （
举例
我们在作物理、化学、生物等实验时，通过观察会得到很多值，但总是近似的，这时自然要 考虑近似值与准确值的接近程度，反映在数学上这是一个极限问题。数学分析中定义 R 中点 列 x n 的极限是 x 时，我们是用 | x n x | 来表示 x n 和 x 的接近程度，事实上， | x n x | 可表示为 数轴上 x n 和 x 这两点间的距离，那么实数集 R 中点列 x n 收敛于 x 也就是指 x n 和 x 之间的距离 随着 n 而趋于 0，即
2
y H 有：
| ( x, y ) | ( x, x)( y , y ) 。
设 H 是内积空间，对任意 x H ，命
|| x || ( x, x )
则 || || 是 H 上的一个范数。
若范数按照内积定义，那么赋范空间就叫按内积赋范空间
Complete space
设D（E）是线性函数的集合，若每一个收敛元素的序列 {f(X)}都以同一个集合中的某个元素f(X)为极限
第一讲、空间的概念
何小祥
Outline
• Set and mapping • space • operators
Set and mapping
一 集合的相关概念
集合，简单地说就是一堆东西的总体， 其中每个东西称为这个集合的元素。
一般用英文大写字母A, B, C, X, Y, Z表示集合，用英文小写字母a, b, c, x, y, z等表示集合的元素
n

R 是完备空间， l 是完备空间
Hilbert space
完备的按内积赋范（线性）空间称为Hilbert空间，简称H空间
Square Lebesgue-integrable space
L2 ( E ) f ( X ), g ( X ) f (X )
平方可积空间

E( X )
f ( X ) g * ( X )dX
有界
和正数M使得
d ( x0 , x) M
则称A是度量空间上的有界集，否则是无界集
p 次幂可积函数空间 L p [a, b] ( p 1)
Lp [a, b] { f (t ) | | f (t ) | p 在[a, b]上L可积} f ( X ) dX 存在
p
在 L p [a, b] 中，我们把几乎处处相等的函数视为同一函数。
定理 A, B, C 是任意集合。 (1) A，A A。 (2) 如果 B A 且 A B，则 A B。 (3) 如果 C B 且 B A，则 C A。
幂集
A 的所有子集组成的集合称为 A 的幂集，
记为 P(A)，即 P(A) = {X | X A}。所以：X(X P(A)X A) 因为 A 且 A A，所以, A P(A)。这说明了幂集不会是空集。 特别地，空集的幂集 P() = {}不是空集，它有一个元素。
R1， R2， R3， Rn空间
Normed space
范数 在一维空间中，实轴上任意两点 距离用两点差 的绝对值 表示。绝对值是一种度量形式的定 义。
范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。 任何对象的范数值都是一个非负实数。使用范数可 以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。向量范 数是度量向量长度的一种定义形式。范数有多种定 义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个 范数。同一向量，采用不同的范数定义，可得到不 同的范数值。
二 映射的相关概念
A, B 是两个集合， : A B 是指对 a A ，均存在唯一的 b B ，使得 (a) b ，
b 叫 a 在 下的象， a 叫 b 在 下的一个原象。
: AB
A
B
（即 单射：a1 a 2 , 有 (a1 ) (a 2 ); 1 1的映射） 分类：映射 满射：b B，都a A，使（a） b；（即映上的） 双射：既是单射，又是满射：（即一一映射）
lim d ( x n , x) 0 。
n
于是人们就想，在一般的点集 X 中如果也有“距离” ，那么在点集 X 中也可借这一距离来定 义极限
理解
欧式空间 R n 。 设 R n {( x1 , x2 ,, xn ) | xi R, i 1,2,, n} ， x ( x1 , x2 ,, xn ),
y ( y1 , y 2 ,, y n ) R n ，我们定义
d ( x, y )
n
(x
i 1
i
yi ) 2 。
（2.1）
可以验证 d 是一个距离函数。 其中 ( R n , d ) 称为 n 维的欧式空间， d 称为欧式距离。今后若不作特殊申明，凡提到度量空间
R n ，均指由（2.1）式的欧式距离所定义的。
L p [a, b] 有下列重要性质：
（1） 对线性运算是封闭的。即若 f , g Lp [a, b] ，则
f Lp [a, b], f g Lp [a, b] ，其中 是常数。
（2） Lp [a, b] L[a, b]( p 1) 。 （3） f , g Lp [a, b] ，定义
一 内积空间的基本概念
设 H 是域 K 上的线性空间，对任意 x , y H ，有一个中 K 数 ( x , 对应，使得对任意 x , y , z H ； 1） 2） 3） 4）
y ) 与之
K 满足
( x, y ) 0 ； ( x, y ) ＝0，当且仅当 x 0 ； y 0
定义3.1 对任一向量 ，按照一个规则确 定一个实数与它对应，记该实数记为 ， 若 满足下面三个性质：
（1） 当 时， （2） 有 ， ，有 ，当且仅 （非负性） ， （齐次性）
结合度量空间的 定义理解，范数 是一个距离的概 念
（3） 有
，
，
（三角不等式）
那么称该实数
为向量
的范数。
几 个 常 用 向 量 范 数
Y=f(x), x不同，y不 同
函数：表示一个数的空间到另外一个数的空间的映射
Y=F(U(x)), U(x) 不同，y不同 两点间的距 离随路线的 不同而不同
泛函：表示一个函数的空间到一个数的空间的映射 算子：表示一个函数的空间到另外一个函数的空间的映射
, , x Ax b
属于 a是A的元素称为a属于A，记为aA，a不是A的元素称为 有别于模糊 a不属于A，记为aA。称为属于关系。
数学
集合的确定性： 任何一个东西是或者不是这个集合的元素，但不能既是 又不是这个集合的元素。 从集合的确定性要求看，日常生活中使用的某些概念不能 简单地看作集合的，如青年、新鲜的苹果等。(非二元)
lim f n ( X ) f ( X ) D ( E )
n
则D（E）为完备空间
元素的极限仍 然在此空间内
可能的理解：空间内任何元素进行任何合法的运 算，结果仍然在此空间内，不会因为运算而超出 空间去，加、减、乘在定义中有，在此增加极限 的运算
Banach space 如果赋范线形空间X中的每一个序列都在X中收敛，则X是完备的 完备的赋范（线性）空间称为Banach空间，简称B空间
2

E( X )
f ( X ) dX
L2 ( E , ( X )) f ( X ), g ( X ) f (X )
__________ _
( x, y ) ＝ ( y , x) ； (x, y ) ( x, y ) ； ( x y , z ) ＝ ( x, z ) ＋ ( y , z ) ；
称 (, ) 是 H 上的一个内积， H 上定义了内积称为内积空间。
定理 1.1 设 H 是内积空间，则对任意 x ,
Space 在形式几何的意义上，用点表示元素，用空间表示集合
Number space Function space
常规意义上的空 间
是数或向量集合的拓扑表示
是函数集合的拓扑表示
(度量)距离空间
件： （1） d ( x, y) 0, 且 d ( x, y) 0 x y （非负性） （2） d ( x, y) d ( y, x) （对称性） （3） d ( x, z) d ( x, y) d ( y, z) （三角不等式） ， 离。