高考高考数学总复习 第十章 第3节 二项式定理课件

[解析] (1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 x＝0，得 a0＝1. 令 x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6， 又(1＋x)6 的展开式二项式系数最大项的系数最大， ∴(1＋x)6 的展开式系数最大项为 T4＝C63x3＝20x3. (2)由题意知，Cn2＝Cn6，∴n＝8.
A
14
【变式训练 1】 (1)(2015·潍坊调研)设二项式 x－31x5的展开
式中常数项为 A，则 A＝________． (2)(1＋x)8(1＋y)4 的展开式中 x2y2 的系数是________．
[解析] (1)Tr＋1＝C5r( x)5－r－31xr
＝(－1)rC5rx25－56r.
令52－56r＝0，得 r＝3. ∴常数项 A＝(－1)3C53＝－10.
A
22
【典例 3】 (1)(2015·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式
中 x2 的系数为 5，则 a＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a＝
________．
[思路点拨] (1)x2 的系数来源于(1＋x)5 展开式中 x2 的系数和
二项式
递增的.
系数 Cnk
当 k>n＋2 1(n∈N*)时，是
递减的．
n 当 n 为偶数时，中间的一项 C2n
取得最大值.
n－1 当 n 为奇数时，中间的两项 C 2
n＋1
A n 与 C 2 n 取最大值.
4
3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn ＝2n．
A
6
[解析] 由二项式定理与二项式系数的概念、性质知(1)和(2) 不正确，(3)和(4)正确
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
A
7
2．(教材改编)若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b
＝( ) A．36
B．46
C．34
D．44
[解析] (1＋ 3)4＝1＋C41· 3＋C42·( 3)2＋C43( 3)3＋( 3)4 ＝28＋16 3.
2 012
011×52·(－1)2
011
能被 13 整除．
又 512 012＋a 能被 13 整除，且 0≤a<13.
∴C2
2 012
012·(－1)2
012＋a＝1＋a
也能被
13
整除．
因此 a 可取值 12.
[答案] (1)D (2)12
A
24
【通关锦囊】 1．第(1)题注意到多项式乘法，含 x2 的项有两个来源，利用二 项式定理展开(1＋x)5.第(2)题求解的关键在于将 512 012 变形为(52－ 1)2 012，使得展开式中的每一项与除数 13 建立联系． ．
固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
析
第三节 二项式定理
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
A
1
[考纲传真] 1．能用计数原理证明二项式定理． 2.会用二项式定理解决 与二项展开式有关的简单问题．
A
2
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Cnran－rbr＋…＋ Cnnbn(n∈N*)；
∴13·（m2！mm）！！＝7·（（m2＋m1＋）1！）m！！.
∴m＝6.
[答案] B
A
21
考向 3 二项式定理的应用(高频考点) 命题视角 二项式定理是高考的重点，经常以选择题或填空题
的形式出现．主要命题角度：(1)“正用”二项式定理解决与通项 有关的问题；(2)利用二项式定理求相关参数；(3)“活用”二项式 定理解决简单的整除问题或求余数．
016(x∈R)，则a21＋a222＋…＋a222 001166的值为________．
(2)1 － 90C101 ＋ 902C102 － 903C103 － … ＋ ( － 1)k90kC10k ＋ … ＋
9010C1010 除以 88 的余数是( )
A．－1
B．1
C．－87
D．87
A
26
[解析] (1)令 x＝0，得 a0＝(1－0)2 016＝1.
[答案] (1)C (2)－20
A
13
【规律方法】 1．求二项展开式中的项(常数项、有理项或指定项)、系数、 参数等，一般要先合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进 行分析，运用方程思想进行求值．但应注意 n，r∈N，n≥r. 2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类计数原 理讨论求解．
当 r＝3 时，C53122·(－2)3＝－20×
[答案] A
A
9
4．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为( )
A．1 B．129 C．128 D．127
[解析] 令 x＝1 得 a0＋a1＋…＋a7＝128. 令 x＝0 得 a0＝(－1)7＝－1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝129.
由题设 a＝28，b＝16，故 a＋b＝44.
[答案] D
A
8
3．(2014·湖南高考)12x－2y5的展开式中 x2y3 的系数是(
)
A．－20 B．－5 C．5 D．20
[解析] 12x－2y5展开式的通项公式为 Tr＋1＝C5r·12x5－r·(－2y)r ＝C5r·125－r·(－2)r·x5－r·yr.
2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数 密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开．但 要注意两点：(1)余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是 除数，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用
A
25
【变式训练 3】 (1)若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2
[答案] (1)－1 (2)B
A
27
掌握 1 个定理 二项式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋ Cnran－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通 项公式 Tr＋1＝Cnran－rbr 是展开式的第 r＋1 项，不是第 r 项．
做到 1 个防范 切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)
(2)通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，它表示第 r＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 Cn0，Cn1，…， Cnn.
2．二项式系数的性质
性 质
性质描述
对 与首末等距离的两个二
称 项式系数相等，即 Cnk＝
性
Cnn－k.
真
A
3
增减性 最大值
当 k<n＋2 1(n∈N*)时，是
【典例 2】 (1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若 a1＋a2
＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(
A．15x2
B．20x3
C．21x3
) D．35x3
(2)若x＋1xn的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，
则该展开式中x12的系数为________．
A
17
ax 与(1＋x)5 展开式中一次项之积的系数．
(2)注意到 52 能被 13 整除，化 51 为 52－1，从而运用二项式
定理展开 512 012，由条件求 a 的值
A
23
[解析] (1)(1＋x)5＝1＋C51x＋C52x2＋C53x3＋C54x4＋C55x5. ∴(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的项为(C52＋C51a)x2，
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和， 即 Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
A
5
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)Cnran－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2) 二 项 展 开 式 中 ， 系 数 最 大 的 项 为 中 间 一 项 或 中 间 两 项．( ) (3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( ) (4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 与该项的二项式系数不同．( )
[答案] B
A
10
5．(2015·青岛质检)二项式x－a1x6(a>0)展开式中 x2 项的系数 为 15，则实数 a＝________．
[[解析] Tr＋1＝C6rx6－r－a1xr＝－1arC6rx6－2r， 由于 x2 项的系数为 15， 令 6－2r＝2，则 r＝2.
所以－1a2C62＝15， 得 a＝1(a>0)
A
12
[解析] (1)二项式2x＋xa7的展开式的通项公式为 Tr＋1＝
C7r(2x)7－rxar＝C7r27－rarx7－2r，令 7－2r＝－3，得 r＝5.故展开式中x13 的系数是 C7522a5＝84，解得 a＝1.
(2)x2y7＝x·(xy7)，其系数为 C87， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C86， ∴x2y7 的系数为 C87－C86＝8－28＝－20.
A
15
(2)∵(1＋x)8 的通项为 C8kxk，(1＋y)4 的通项为 C4tyt， ∴(1＋x)8(1＋y)4 的通项为 C8kC4txkyt. 令 k＝2，t＝2，得 x2y2 的系数为 C82C42＝168.
[答案] (1)－10 (2)168
A
16
考向 2 二项式系数的性质与各项系数和
系数是两个不同的概念，前者只指 Cnr，而后者 是字母外的部分；前者只与 n 和 r 有关，恒为正，后者还与 a，
b 有关，可正可负．
学会 2 种应用 1.通项的应用：利用二项展开式的通项可求指
定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)． 2.展开式的应用：
(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证
依题意，得 10＋5a＝5，∴a＝－1.
(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a
＝C2
0120·522
012－C2
0121·522
011＋…＋C2
2 012
011×52·(－1)2
011
＋C2
2 012
012·(－1)2
012＋a，
∵C2
0120·522
012－C2
0121·522
011＋…＋C2
2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的 系数，灵活利用二项式系数的性质．(2)根据题目特征，恰当赋特殊 值代换．常见的赋值方法是使得字母因式的值为 1，－1 或目标式 的值(如第(1)题用赋值法求出 a0 与 n 的值)．
2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的 系数，灵活利用二项式系数的性质．(2)根据题目特征，恰当赋特殊 值代换．常见的赋值方法是使得字母因式的值为1，－1或目标式的 值(如第(1)题用赋值法求出a0与n的值)．
[答案] 1
A
11
考向 1 通项公式及其应用
【典例 1】 (1)(2014·湖北高考)若二项式2x＋xa7的展开式中
x13的系数是 84，则实数 a＝(
)
A．2
5 B. 4
பைடு நூலகம்
C．1
2 D. 4
(2)(2014·课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数
为________．(用数字填写答案)
令 x＝12，则 a0＋a21＋a222＋…＋a222 001166＝0，
∴a21＋a222＋…＋2a22 001144＝－1. (2)1－90C101＋902C102－…＋(－1)k90kC10k＋…＋9010C1010 ＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10 ＝8810＋C101889＋…＋C10988＋1， ∵前 10 项均能被 88 整除，∴余数是 1.
∴Tr＋1＝C8r·x8－r·1xr＝C8r·x8－2r， 当 8－2r＝－2 时，r＝5，
∴x12的系数为 C85＝C83＝56.
[答案] (1)B (2)56
A
18
【规律方法】
1．(1)先赋值求 a0 及各项系数和，进而求得 n 值，再运用二项 式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由 Cn2＝Cn6， 确定 n 的值，易错表示成 Cn3＝Cn7，导致后续错解．
A
19
【变式训练 2】 (2013·课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数，(x＋y)2m
展开式的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项式系
数的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
A
20
[解析] (x＋y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 C2mm， ∴a＝C2mm.同理，(x＋y)2m＋1 展开式中有 b＝C2m＋1m＋1. ∵13a＝7b，∴13·C2mm＝7·C2m＋1m＋1.