2017年高考通关讲练高考数学(理科)-课标通用-第3辑：四、导数的综合应用 含解析

四、导数的综合应用
考纲要求
会利用导数解决某些实际问题.导数的综合应用是高考的重点考查内容，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的命题热点． 命题规律
导数的综合应用涉及的知识点多,综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性,函数的零点，不等式及实际问题形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值,一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用,一般难度较大，属于中、高档题．预测2017年的高考,不但会出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还会考查导数的综合应用大题．
已知各项均为正数的数列{}n
a 满足22
1
12n n n n a
a a a ++=+,且24324,a a a +=+其
中*
n ∈N .
(1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2)令1,n
n
n
c
a =+
记数列{}n c 的前n 项积为,n T 其中*n ∈N ，试比较n T 与9的大小，并加以证明.
【答案】(1）*2,n n
a
n =∈N .(2）9n T <，证明见解析。

【解析】(1）由22
1
1
2n n n n a
a a a ++=+得1
11()(2)0,0,2n n n n n n n a
a a a a a a ++++-=>∴=，即
1
2n n
a a +=， ∴数列{}n
a 是以2为公比的等比数列。

由2
4324a
a a +=+得12a =,故数列{}n a 的通项公式为*2,n n a n =∈N 。

（2）9n
T
<,证明如下：
构造函数()ln(1)f x x x =+-，则1()111
x
f x x x '=
-=-
++,当0x >时，()0f x '<,故()f x 在(0,)+∞上递减，所以()(0)0f x f <=，故ln(1)x x +<， 所以ln ln(1)ln(1)22
n
n n n n n n
c
a =+
=+<. 1212212ln ln ln ln 222
n n n n n n
T c c c T c c c =∴=+++<
+++………, 设212,222n n n S =+++…则231112122222
n n
n n n
S +-=++++…， 相减得23111
11(1)11111222112222222212
n n n n n n n n n S +++-+=++++-=-=--…, 故222,ln 2,2
n n n n S T +=-<<∴ 2e 9n T <<∴.
【考点定位】数列、导数的综合运用.
已知函数
()1ln
1x f x x
+=-．
（1）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程; （2）求证：当()01x ∈，时,()3
2()
3
x f x x >+；
（3)设实数k 使得
3
()()
3
x f x k x >+对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．
【技巧点拨】通过构造函数，利用导数证明不等关系是解决本题的巧妙之处、关键所在。

【答案】(1)20x y -=;（2）证明见解析;（3)2.
【解析】（1）1()
ln
(11)()()()11x f x x f x f f x x
+''=∈-===--2
2
∵,,,∴,02,00， ∴曲线()y f x =在点()()00f ,处的切线方程为20x y -=.
（2）当()01x ∈，时，()32()
3
x f x x >+,即不等式
3
()2(+)>03
x f x x -对x ∀∈(0,1)
恒成立，
设33
1+()=ln
2(+)=ln(1+)ln(1)2(+)133x x x F x x x x x x -----， 则()x F x x '=
-4
2
21，当()01x ∈，时，()F x '>0，故()F x 在（0,1)上为增函数，
所以()(0)F x F >=0，因此对x ∀∈(0,1)，
3
()>2(+)3
x f x x 恒成立.
（3）使
()3
()
3
x f x k x >+对()01x ∈，恒成立，等价于3
1+()=ln
(+)>013
x x F x k x x --对(0,1)x ∈恒成立，则()=(1+)11kx k F x k x x x +-'-=--42
2
2
22，
当k ∈[0,2]时，()F x '≥0，函数在(0，1)上为增函数，()F x F >=(0)0，
符合题意;
当k
>2时，令4k F x x k
-'
==∈002
()0,得(0,1)，
F x F <()(0)，显然不成立，
综上所述可知：k 的最大值为2。

【
考点定
位】导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、证明不等式，含
参问题讨论。

某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克)满足关系式()2
1063
a y x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售
出该商品11千克． （1)求a 的值；
（2）若该商品的成品为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 【答案】（1）2a =；（2）4x =.
【解析】(1）∵5x =时，11y =，∴10112
a +=, ∴2a =；
(2）由（1）知该商品每日的销售量()2
21063
y x x =
+--， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为:
()()()()()22
23[
106]21036,363
f x x x x x x x =-+-=+--<<-； ()()()()()()2
10[6236]3046f x x x x x x '=-+--=--． 令()0f x '=得43<6,=6x =<x x （∵∴舍去）．
当34x <<时，()0f x '>，当46x <<时，()0f x '<， ∴函数()f x 在()3,4上递增，在()4,6上递减， ∴当4x =时函数()f x 取得最大值()442f =．
答：当销售价格4x =时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，
【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐
最大值为42．
【
考点定位】
函数模型的选择与应用，利用导数研究函数的单调性。

1．定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()f x '是()f x 的导函数，则不等式e
()e 5
x
x f x （其中e 为自然对数的底数)的解集为
A ．()0,+∞
B ．()(),03,-∞+∞
C ．()(),01,-∞+∞
D ．()3,+∞
2．设函数()f x =e (21)x
x ax a --+，其中a 〈1，若存在唯一的整数0
x ,使得0
()
f x 〈0，则a 的取值范围是
A ．−3
2e ,1) B ．−3
2e ,3
4）
C ．32e ，34)
D ．3
2e ，1)
3．若函数3
2
()=+++f x x ax
bx c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程
213[()]+2()+=0f x af x b 的不同实根个数是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少，这种现象称为衰变。

假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M (太贝克/年)与时间t （单位：年)满足函数关
【思路分析】（1）5x =时,11y =，将其代入函数的解析式,解关于a 的方程,可得a 值；(2）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x 的三次多项式函数，再用求导数
系:()30
2
t M t M
-
=,其中M 0为t =0时铯137的含量，已知t =30时，铯137
含量的变化率为−10ln2（太贝克/年)，则M （60）=
A ．5太贝克
B ．75ln 2太贝克
C ．150ln 2太贝克
D ．150太贝克
5．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为
A ．3131255y x x =-
B ．3241255
y x x =
-
C ．3
3125
y x x =
- D ．331
1255
y x x =-
+ 6．设函数()π3x f x m
=
.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200[]x f x m +<，则m
的取值范围是
A ．()(),66,+-∞-∞
B ．()(),44,+-∞-∞
C ．()(),22,+-∞-∞
D ．()(),11,+-∞-∞
7．已知函数ln ()1
a x
b f x x x
=++,曲线y ＝f （x ）在点（1， f （1））处的切
线方程为x ＋2y −3＝0。

(1）求a ，b 的值;
（2）如果当x ＞0，且x ≠1时，ln ()1
x k f x x x
>+-，求k 的取值范围．
8．已知函数2
2()2()ln 22f x x a x x
ax a a =-++--+，其中0a >.
(1)设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；
（2）证明：存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间(1,+)∞上恒成立,且()0f x =在
(1,+)∞上有唯一解。

参考答案
1．A 【解析】由题意可知不等式为e
()e 50x
x f x ,
设()=e
()e 5,()=e ()+e ()e =e [()
()1]0x
x x x x x g x f x g x f x f x f x f x 则.
所以函数()g x 在定义域上单调递增，又因为()00g =，所以()0g x >的解集为0x >.
2．D 【解析】设()g x =e (21)x
x -,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0
x ，使得
0()g x 在直线y ax a =-的下方。

因为()e (21)x g x x '=+，所以当1
2
x <-
时，()g x '＜0，当12x >-时,()g x '＞0，所以当12
x =-时，min ()g x =1
22e -
-，当0x =时，
(0)g =−1，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过点(1,0)且斜率为a ，故(0)1a g ->=-，且1
(1)3e
g a a --=-≥--，解得
3
2e
≤a ＜1,故选D.
3．A 【解析】方法一:由题意可得方程()2
320f x x
ax b '=++=的两个根是12,x x ,
不妨设1
2x
x <，结合图象可知()1f x x =有两个根，()()211f x x x f x =>=有一
个根，由方程()()2
3[]
20f x af x b ++=可得()1f x x =或()2f x x =，所以关于x
的方程()()2
3[]20f x af x b ++=的不同的实根个数是3. 所以选A ． 方
法
二
:使用特殊函
数
法
．
设
232
3()3(1)(2)336()62
f x x x x x f x x x x c '=-+=+-⇒=+
-+。

12119
()01,2(),2f x x x f x x c '=⇒==-=⇒=令，由令()0f x '>，得2,1x x <->或,令()0f x '<,
得21x -<<。

所以()(,2)(21)(1)f x -∞--+∞在上单调递增，在，上单调递减，在
，上单调递增. ()()121(())0()f f x f x x f x x f x x '=⇒===由或，而解得有两个根，
2()f x x =解得有一个根，共3个根，所以选A ． 4．D
【解析】()30
012ln 230t
M t M -'=-，因为
t =30时,铯137含量的变化率
为−10ln 2， 所以
()3030001
3010ln 22ln 2600
30
M M M -'=-=-⇒=,所以
30
()6002
t M t -
=⨯，所以
M (60)=600×6030
2
150-
=（太贝克）。

5．A 【解析】由题目图象可知:该三次函数图象过原点,故可设该三次函数为3
2()y f x ax
bx cx ==++，则2()32y f x ax bx c ''==++，由题
得:(5)2f -=,(5)2f =-，(5)0f '=，
即1252552125255275100a b c a b c a b c -+-=⎧⎪
++=-⎨⎪++=⎩,解得1125035a b c ⎧
=⎪⎪=⎨⎪⎪=-
⎩
，所以3131255y x x =-，故选
A.
6．C 【解析】由题意知：()f x
的极值为,所以()2
[]
3f x =
，因为
00ππ
()0x f x m m
'=
=， 所以0πππ,2x k k m =+∈Z ，所以01,2x k k m =+∈Z ，即011||||22x k m =+≥，所以0||||2m x ≥，
即
2
2
00[()]x f x +≥24m +3,而已知()22200[]x f x m +<，所以224m m >+3，故2334
m >，解得
2m >或2m <-，故选C 。

7．【答案】（1)a=1，b=1；（2）（−∞,0]。

【解析】（1）22
1
(
ln )
()(1)x a x b x f x x x +-'=
-
+。

由于直线x ＋2y −3＝0
的斜率为−1
2
，且过点（1,1),故(1)1
1(1)2
f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩,即1
122
b a b =⎧⎪
⎨-=-⎪⎩，解得11a b =⎧⎨
=⎩. （2）由（1）知ln 1()1
x f x x x
=++，
所以
22
ln 1(1)(1)
()()[2ln ]11x k k x f x x x x x x
---+=+--。

考虑函数2(1)(1)
()2ln k x h x x x --=+（x ＞0)，
则22
(1)(1)2()k x x
h x x -++'=，
(ⅰ)设
k ≤0.由22
2
(1)(1)()k x x h x x +--'=
知，当x ≠1时，h ′(x ）＜0，h （x ）
单调递减。

而h （1）＝0,故当x ∈（0，1）时，h (x )＞0，可得2
1
()01h x x ⋅>-;当x ∈（1，＋∞）时，h （x ）＜0，可得2
1
()01h x x
>-. 从而当x ＞0,且x ≠1时,ln ()()01
x k f x x x
-+>-，
即ln ()1
x k f x x x
>+-。

（ⅱ)设0＜k ＜1。

由于当x ∈（1，
11k
-)时，（k −1）（x 2＋1）＋2x
＞0，故h ′（x ）＞0，h (x ）单调递增。

而h （1)＝0,故当x ∈（1，
1
1k
-）时，h （x )＞0，可得
2
1
()01h x x <-，与题设矛盾． (ⅲ）设k ≥1,此时h ′(x )＞0,h （x )单调递增，而h （1）＝0，故当
x ∈（1,＋∞）时，h （x ）＞0,可得2
1()01h x x
<-.与题设矛盾．
综上可得，k 的取值范围为（−∞,0］． 8．【答案】（1）当104
a <<时，()g x
在区间11(0,),(,)22
++∞上单调
递增，在区间上单调递减；当14
a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增；（2）详见解析。

【解析】（1)由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
()()222ln 2(1)a
g x f x x a x x '==---+，x 〉0，
所以222
112()2()
2224()2x a a g x x x x -+-'=-+=
. 当104a <<时，令()0g x '=
，得x = 令()0g x '>
，得x x ><<或0 令()0g x '<
，得122
x -<<，
所以在区间)+∞上单调递增，
在区间11(22
+上单调递减；
当14a ≥时，()g x 在区间(0,)+∞上单调递增。

(2）由()222ln 2(1)0a f x x a x x '=---+=，解得1
1ln 1x x a x ---=+。

令221
1111ln 1ln 1ln 1ln ()2()ln 2()2()1111x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ------------=-++--+++++。

则211e(e 2)e 2(1)10,(e)2()01e 1e ϕϕ----=>=--<++,
故存在0(1,e)x
∈，使得0()0x ϕ=. 令0001
01ln ,()1ln (1)1x x a u x x x x x ---==--≥+， 由1()10u x x
'=-≥知，函数()u x 在区间(1,)+∞上单调递增。

所以0
01
11
0()
(1)(e)e 2011111e 1e u x u u a x ----=<=<=<++++. 即0(0,1)a ∈。

当0a a =时,有000
()0,()()0f x f x x ϕ'===, 由(1）知,函数()f x '在区间(1,)+∞上单调递增。

故当0(1,)x x ∈时，有0()0f x '<，从而0
()()0f x f x >=； 当0(,)x x ∈+∞时，有0()0f x '>，从而0
()()0f x f x >=; 所以，当(1,)x ∈+∞时,()0f x ≥.
综上所述，存在(0,1)a ∈，使得()0f x ≥在区间()∞1,+上恒成立,且()0f x =在()∞1,+上有唯一解。

1．利用导数研究函数综合问题的一般步骤
（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点．
（2)进行合理转化，构造函数关系，进行求导．
（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值,有参数时进行分类讨论．
（4)利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论．
(5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．2．用导数证明不等式的方法
（1）利用单调性：若f （x)在a，b］上是增函数，则①∀x∈a,b]，则f （a)≤f (x）≤f （b）,②对∀x1，x2∈a，b]，且x1〈x2，则f
(x1)〈f （x2).对于减函数有类似结论.
（2)利用最值:若f （x）在某个范围D内有最大值M(或最小值m）,则对∀x∈D,则f (x)≤M（或f (x）≥m).
（3)证明f (x)〈g（x），可构造函数F(x）=f (x)-g（x），证明F（x）〈0.
3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
（1）建模：分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f （x）．（2）求导：求函数的导数f ′（x）,解方程f ′(x)＝0.
(3)求最值:比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小,最大(小）者为最大(小)值．
（4）作答：回归实际问题作答.
等价转化错误
设函数()ln()
=-+，其中常数m为整数。

f x x x m
（1)当m为何值时，()0
f x≥;
（2）定理：若()g x 在a ,b ］上连续，且()g a 与()g b 异号,则至少存在一
点0(,)x a b ∈，使0()0g x =.试用上述定理证明：当整数m 〉1时，方
程()=0f x 在2[e ,e ]m m m m ---内有两个实根.
【错解】令()0f x ≥，即ln()x x m ≥+，∴e
x m x ≤-，∴m 取小于或等于e x x
-的整数. 【错因分析】对题意理解错误，原题“当m 为何值时，()0f x ≥”并不是对x 的一定范围成立。

因此e x m x ≤-这个结果显然是错误的.
【正解】(1)函数()ln()(,)f x x x m x m =-+∈-+∞，连续，且1()1f x x m
'=-+，令()0f x '=，
得1x m =-,当1m x m -<<-时,()0f x '<，()f x 为减函数；当1x m >-时，()0f x '>,()f x 为增函数。

根据函数极值判别方法，(1)1f m m -=-为极小值，而且对(,)x m ∈-+∞都有()(1)1f x f m m ≥-=-，故当min 1=()
0m f x -≥,即1m ≤时，
()0f x ≥，即1m ≤且m ∈Z 时，()0f x ≥. （2）证明：由（1）可知，当整数1m >时，(1)10f m m -=-<，(e )e ln(e )e 0m m m m f m m m m -----=---+=>，又()f x 为连续函数,且当1m >时，
(e )m f m --与(1)f m -异号,由所给的定理知，存在唯一的1(e ,1)m x m m -∈--，使1()=0f x ，而当1m >时，2222(21)(e )e 3(11)312302
m m m m m f m m m m m --=->+->++->（∵m >1，∴2m −1>1)。

类似地,当整数1m >时，()ln()f x x x m =-+在2[1,e
]m m m --上为连续增函数，且(1)f m -与2(e )m f m -异号，由所给的定理知，存在唯一的
22(1,e )m x m m ∈--，使2()=0f x ,故当整数1m >时，方程()=0f x 在2[e ,e ]m m m m ---内有两个实根.
【易错警示】对于导数问题中的易错点，除了要注意转化的等价性外，还要注意函数的定义域，否则，很容易出现错误.
数学家、生物学家和物理学家坐在街头咖啡屋里，看着人们从街对面的一间房子走进走出。

他们先看到两个人进去,时光流逝,他们又看到三个人出来。

物理学家：“测量不够准确。

”
生物学家：“他们进行了繁殖。

”
数学家:“如果现在再进去一个人，那房子就空了。

”。