高考一轮热点难点精讲与专题07:函数最值与值域妙解

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考纲要求 :
1、考查求函数单调性和最值的根本方法;求函数值域或最值.常用方法有:单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法.
2、会求一些简单函数的定义域和值域.
根底知识回忆:
函数的最值
前提设函数 y=f ( x)的定义域为 I ,如果存在实数
M


①对于任意 x∈ I ,①对于任意 x∈ I ,都有
条件都有 f ( x)≤M; f ( x)≥ m;
. ②存在 x0∈ I ,使得②存在 x0∈I ,使得
f ( x )= M f ( x )= m.
0 0
结论M为最大值m为最小值
应用举例 :
招数一:换元法与配方法
【例 1】求函数y = 4x 6 2x 7( x 0,2 )的最值及取得最值时的x 值.
【答案】最小值为2, 此时 , x log2 3,最大值为 2,此时 x 0.
那么 y t26t 7t 3 22,其图象是对称轴为t 3 ,开口向上的抛物线。

∵x 0,2,
∴t 1,4,
∴当 t 2x 3 ,即x log2 3时,y min2 ;
当 t 2x 1 ,即 x 0 时,y max 0 。

点睛:
1〕二次函数在闭区间上的最值有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动。

不管哪种类型,解
决的关键是分清对称轴与区间的关系,并根据函数的图象求解;当条件中含有参数时,要依据对称轴与区
间的关系进行分类讨论。

(2〕二次函数的单调性问题那么主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解.
【例2】【山东省曲阜师范大学附属中学上学期期末考试】假设实

满足,那么的最小值是〔〕
A.B.1C.D.5
【答案】 C
【例3【】广西钦州市2021 届高三第三次质量检测】定义运算:,那么
的最大值为〔〕
A.B.C.D.
【答案】 D
【解析】分析:令,得,即可得到
,即可求解其最大值.
详解:令,
由于,所以,
所以,所以其最大值为,应选D.
点睛:此题主要考查了函数的新定义运算,二次函数与三角函数的性质,其中熟记二次函数的图象与性质
是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
招数二:图像法
【例4】【 2021 年高考数学〔理科,通用版〕练酷专题二轮复习课时跟踪检测】函数 f ( x)=2x-1,g( x)
= 1-x2,规定:当 | f ( x)| ≥g( x) 时,h( x) = | A.有最小值- 1,最大值 1
B.有最大值1,无最小值
C.有最小值- 1,无最大值
D.有最大值- 1,无最小值f ( x)| ;当 | f ( x)|< g( x)时, h( x)=- g( x),那

h( x)( )
【答案】 C
x, x 0,2 ,【例 5】【湖南省郴州市2021-2021 学年期末考试】函数f x { 4
, x 2,4 .
x
〔Ⅰ〕画出函数 f x 的大致图象;
〔Ⅱ〕写出函数 f x 的最大值和单调递减区间
【答案】 (1)见解析(2) f x 的最大值为 2.其单调递减区间为2,4 或 2,4 .
招数三:根本不等式法
【例 6】【 2021 浙江省金华、 丽水、衢州市十二校联考】 设 min
x, y y, x y
x, x ,假设定义域为 R 的函数 f ( x) ,
y
g( x) 满足 f ( x) g( x)
2x ,那么
min
f x ,
g x 的最大值为 __________ .
x 2
8
【答案】
2 .
8
【解析】设 min
f x ,
g x
m ,∴
m f ( x) 2m
f (x) g( x) m
x ,显然,当 m 取到
m g( x) 2 8
x
f ( x) g( x)
最大值时, x
0 ,∴ x
8
1
1
2
,∴ m
2 ,当且仅当 x 8
时等号成立,
x
2
8
2 x 8 8
8 x
x
x
x x
即 m 的最大值是
2
,故填:
2 .
8
8
【名师点睛】 一是在使用不等式时, 一定要搞清它们成立的前提条件,
不可强化或弱化成立的条件, 如“同
向不等式〞才可相加、“同向且两边同正的不等式〞才可相乘
.
【例 7】【 2021 河北省武安一中高三月考】求函数
y log 3 x log x 3 1的值域 .
【答案】 ( -∞,- 3] ∪[1 ,+∞ ) .
招数四:单调性法
【例 8】设函数 f(x) = 2x
x 2 A .
2 B .
3 3
8
C .
3
D

8
2
3
2
在区间 [3,4] 上的最大值和最小值分别为
M , m ,那么
m
= ( )
M
【答案】 D
【解析】由题意得
f x
2 x 4
x 在区间 [3,4] 上单调递减,
x 2
,所以函数 f
2 x 2
所以 M
f 3 2 4 6, m
f 4 2
4

2 4
3
4 2
所以
m 2 42 8
M
6
.选 D .
3
1 x
【例 9】【山西省太原市实验中学
2021 届高三上学期 9 月月考】函数 f ( x ) =
-log 2( x + 2) 在区间 [ - 1,
3
1] 上的最大值为 ________.
【答案】 3
【例 10】【山西省榆社中学 2021 届高三诊断性模拟考试】 假设函数
在区间 上的最大值为 6,
那么_______.
【答案】 4
【解析】由题意,函数在上为单调递增函数,又,且,所以当时,函数取得最大值,即,因为,所以.
【例 11【】山西省太原市实验中学2021 届高三上学期9 月月考】函数 f ( x ) =2 -a
的定义域为 (0 ,1](
a
x
x
为实数 ).
(1)当 a=1时,求函数 y= f ( x)的值域;
(2) 求函数y= f ( x)在区间(0 , 1] 上的最大值及最小值,并求出当函数 f ( x)取得最值时x 的值. 【答案】(1) ( -∞,1]. (2) 见解析
【解析】试题分析:〔 1〕将 a 的值代入函数解析式,利用定义证明函数的单调性,从而求出函数的值域;〔 2〕通过对 a 的讨论,判断出函数在〔0, 1] 上的单调性,求出函数的最值.
试题解析:
(1)当 a=1时, f ( x)=2x-,任取1≥x1> x2>0,
那么 f ( x1)- f ( x2)=2( x1-x2)-=(x1-x2).
∵1≥x 1 2 1 2 1 2
> 0. > x >0,∴ x - x >0, x x
∴ f ( x1)> f ( x2),∴ f ( x)在(0,1] 上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值1,所以f ( x) 的值域为 ( -∞, 1].
(2) 当a≥0时,y=f ( x) 在 (0 , 1] 上单调递增,无最小值,当x=1时取得最大值2-a;
当 a<0时, f ( x)=2x+,
当≥1,即a∈( -∞,- 2] 时,y=f ( x) 在 (0 ,1] 上单调递减,无最大值,当 x=1时取得最小值2-a;当< 1,即a∈ ( - 2, 0) 时, y= f ( x)在上单调递减,在
上单调递增,无最大值,当x=时取得最小值2.
招数五:导数法
【例 12】【 2021 年高考数学〔理科,通用版〕练酷专题二轮复习课时跟踪检测】
为常数 ) 在[ - 2,2] 上有最大值为3,那么此函数在[ - 2,2] 上的最小值为( )
f ( x)=2x3-6x2+ m( m
A.0B C.-10 .- 5 D.-37
【答案】 D
【例 13】【浙江省宁波市 2021 届高三上学期期末考试】假设函数f
x
x
1
在 { x |1
x 4, x R} 上
x
的最大值为 M ,最小值为 m ,那么 M m 〔 〕
A .
7
B .2
C .
9
D .
11
4
4
4
【答案】 C 【解析】
f x
0, f 1 0, m 0 , 又 f x
x
1
0时,等号成立,故只需求
1 x 4 ,且 x
x
3
g x
1 4 的最大值,由于 g ' x
x 2 2 M max g 1 , g 4
9 x1 x
2x 2 ,故
,应选 C.
x
4
方法、规律归纳 :
1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成局部,研究函数问
题必须树立“定义域优先〞的观念.求给定函数的定义域往往转化为解不等式
( 组 ) 的问题,在解不等式
( 组 ) 取交集时可借助于数轴.
2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的.常用的求解方法有:
(1) 根本不等式法,此时要注意其应用的条件;
(2) 配方法,主要适用于可化为二次函数的函数,此时要特别注意自变量的范围; (3) 图象法,对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出; (4) 换元法,用换元法时一定要注意新变元的范围;
(5) 单调性法,要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上的函数的最值问题;
(6) 导数法求函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值和最小值 3 步骤
①求函数在 ( a ,b ) 内的极值;②求函数在区间端点的函数值 f ( a ) , f ( b ) ;
③将函数
f ( x ) 的极值与 f ( ) , ( ) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
a f
b
实战演练 :
1.【山西省太原市
2021 届高三上学期期末考试】函数
f x
x 1
, x 2,5 ,那么 f x 的最大值
x 1
是 __________ .
【答案】 3
【解析】函数 f x 1 2 在2,5 上为减函数,故最大值为 f 2 1 2 3 .
x 1
2.【陕西省 2021 届高三教学质量检测试题】假设函数f x ax b , x a 4,a 的图像关于原点对称,
那么函数 g x bx a
4, 1 的值域为 __________., x
【答案】2,
x 1
2
3.【浙江省杭州市 2021 届高三上学期期末】设函数 f x x2 ax b a,b R ,记M为函数y f x 在 1,1 上的最大值,N 为a b 的最大值.〔〕
A.假设M 1
3B.假设M
1
N 3 ,那么 N ,那么
3 2
C.假设M 2,那么N 3D.假设M 3,那么N 3 【答案】 C
4.【四川省德阳市2021 届高三二诊】、是函数〔其中常数〕图象上的两个动点,点,假设的最小值为0,那么函数的最大值为〔〕
A.B.C.D.
【答案】 B
【解析】由题,当点、分别位于分段函数的两支上,且直线分别与函数图像相切时,最小,设当时,直线
因为点在直线直线上,解得
同理可得
那么
,且函数在上单调递增,在上单调递见,故函数的最大值为.
应选 B.
5 .【陕西省延安市黄陵中学2021 届高三〔重点班〕下学期第一次大检测】函数 f x sin2x1,
g x2a sinx cosx 4ax ,g x 是 g x 的导数,假设存在x0,,使得 f x g x 成立,
2
那么实数 a 的取值范围是〔〕
A.,1 0, B .1
C ., 1
1
D.0, , ,
2 2
【答案】 D
6.【河北省定州中学2021 届高三下学期第一次月考】
3 e x 1 sin x 1
3,5 上的假设函数 f x e x 1 在区间
最大值、最小值分别为p 、 q ,那么
p q 的值为〔〕.
A.2 B.1 C.6D.3 【答案】 C
f x 3 e x 1 sin x 1 sin x 1
【解析】因为
e x 1 3
e x 1
所以〔f x〕 3 sin x 1
1〕 3
sinx
e x 1
,〔f x
e x
因为函数〔f x 1〕 3 为奇函数,所以它在区间4,4 上的最大值、最小值之和为0,
也即 p 3 q 3 0 ,
所以 p q 6
7.【吉林省实验中学2021-2021 学年上学期期末考试】定义在R上的函数f x 满足 f x f x 0 .当x 0 时, f x 4x 8 2x 1.
〔Ⅰ〕求 f x 的解析式;
〔Ⅱ〕当 x3, 1 时,求 f x 的最大值和最小值.
x
1 x
1 8 1, x 0
4 2
【答案】 ( Ⅰ)f x { 0, x 0 ;( Ⅱ)f x
最小值
=
17 , f x 最大值1 .
4x 8 2x 1, x 0
1 x 1 x
8 1, x 0
4 2
所以 f x { 0, x 0 .
4x 8 2x 1, x 0
1 x 〔Ⅱ〕令t ,t 2,8 ,那
么y t
2
8t 1
,对称轴为
t 4 2,8

2
当 t 4 ,即 x 2 时, f x 最小值 =16 32 1 17 ,当 t 8 ,即 x 3 时, f x 最大值 =64 64 1 1.
【点睛】利用函数的奇偶性求函数的解析式,一般反用定义如奇函数利用 f x f x ,偶函数利用f ( x0 f x ,但奇函数要注意x 0 处的定义,另外求指数型复合函数的最值时,常用换元法,可以简
化函数的形式,转化为其他函数求最值,解题要注意新元的范围.
8.【安徽省宿州市2021 届高三上学期第一次教学质量检测】函数
(1) 当时求函数的最小值;
(2) 假设函数在上恒成立求实数的取值范围.
.
【答案】 (1)4.
(2).
〔Ⅱ〕由题意得在上恒成立,
即在上恒成立,
所以在上恒成立,
即在上恒成立,
设,那
么在上单调递减,在上单调递增,
∴,又,

解得,
所以实数的取值范围是.
9 .【 2021 年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】a 0, b 0 ,那
么6ab
a2
2ab 的最大
9b2 b2 a2
值是 __________.【答案】 3
∴t 2 3

8t 8 t 2 4
t
4
t
又∵ y t 4
2 3, 上为单调递增在
t
∴ t 4
2 3
4 8 3 t
min 2 3 3

6ab 2ab
的最大值是 8
3
9b2 a2 b2 a2
3
8 3
故答案为 3 .
8 3b a
点睛:解答此题的关键是将等式化简到
a b
,再通过换元将其形式进行等价转化,最后运用对2
a2
3b
10
a b2
勾函数的单调性求出该函数的最值,从而使得问题获解. 形如f x ax b
(a 0, b 0) 的函数称为对勾x
函数,其单调增区间为, b , b , ;单调减区间为b
,0 ,0, b .
a a a a
10.【全国名校大联考2021-2021 年度高三第三次联考】假设不等式t a t 2
在 t 0,2 上恒成立,
t 2 9 t 2 那么 a 的取值范围是__________.
【答案】2 ,1 13。

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