人教B版高中数学选修2-2 1.3.1 利用导数判断函数的单调性 测试(教师版)

1.3.1 利用导数判断函数的单调性
（检测教师版）
时间:50分钟 总分：80分
班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．函数y ＝x ln x 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数
C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1
e ，1上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1
e ，1上是减函数 【答案】 C
【解析】 f ′(x )＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，f ′(x )<0，当1
e <x <1时，
f ′(x )>0.
∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭
⎫1
e ，1上是增函数． 2．三次函数y ＝
f (x )＝ax 3＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <1
3
【答案】 A
【解析】 由题意可知f ′(x )≥0恒成立，即3ax 2＋1≥0恒成立，显然B ，C ，D 都不能使3ax 2＋1≥0恒成立，故选A.
3．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )
【答案】 D
【解析】 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数
值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B ，故选D.
4．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )·f (n )<0，则方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上( ) A ．至少有三个实数根 B ．至少有两个实根 C ．有且只有一个实数根 D ．无实根 【答案】 C
【解析】 ∵f ′(x )＝－3x 2－1<0，
∴f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，又f (m )·f (n )<0，故方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上有且只有一个实数根．故选C.
5．设函数F (x )＝f x e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R
恒成立，则( )
A ．f (2)>e 2f (0)，f (2015)>e 2015f (0)
B ．f (2)<e 2f (0)，f (2015)>e 2015f (0)
C ．f (2)<e 2f (0)，f (2015)<e 2015f (0)
D ．f (2)>e 2f (0)，f (2015)<e 2015f (0) 【答案】 C
【解析】 ∵函数F (x )＝f x
e x 的导数F ′(x )＝
f x e x －f x e x e x 2
＝
f
x －f x
e x
<0，
∴函数F (x )＝f x
e x 是定义在R 上的减函数，
∴F (2)<F (0)，即f 2e 2<f 0
e 0，故有
f (2)<e 2f (0)．
同理可得f (2015)<e 2015f (0)．故选C.
6．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋1
2的解集为( )
A ．{x |－1<x <1}
B ．{x |x <－1}
C ．{x |x <－1或x >1}
D ．{x |x >1}
【答案】 D
【解析】 该题给出条件f ′(x )<1
2，要求学生能够联想到不等式f (x )<x ＋12与它的关系，从而
转化为研究函数的单调性问题．设F (x )＝f (x )－x ＋12，则F ′(x )＝f ′(x )－1
2<0，∴F (x )是减函数．而
F (1)＝0，∴f (x )<x ＋1
2
的解集为{x |x >1}．
二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 【答案】 (－1,11)
【解析】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0得－1<x <11 ∴f (x )的单调减区间为(－1,11)．
8．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 a ≥1
【解析】 由f (x )>1得ax －ln x －1>0，即a >ln x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ln x ＋1
x ，g ′(x )
＝－ln x
x
2.
∵x >1，∴g ′(x )<0，∴g (x )单调递减． 所以g (x )<g (1)＝1在区间(1，＋∞)恒成立．
9．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，0]
【解析】 ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3，又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 3≤1，f ＝3×12－2a －3≥0，
解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．
10．若f (x )＝－1
2x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．
【答案】 b ≤－1
【解析】 f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0，∵b ≤x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1在(－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1. 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分） 11．求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x －ln x ；
【解析】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，其导数为f ′(x )＝1－1x ，令1－1
x >0，解得x >1.
∴(1，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间． 同理令1－1
x <0，解得0<x <1.
∴(0,1)是f (x )的单调递减区间．
12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2(x ∈R )的图象过点P (－1,2)，且在点P 处的切线恰好与直线x －
3y ＝0垂直．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求实数m 的取值范围．
【解析】 (1)∵y ＝f (x )过点P (－1,2)，且在点P 处的切线恰好与直线x －3y ＝0垂直，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－a ＋b ＝23a －2b ＝－3， ∴a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2.
(2)由题意得：f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)>0， 解得x >0或x <－2.
故f (x )的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，＋∞)． 即m ＋1≤－2或m ≥0， 故m ≤－3或m ≥0.
13．已知函数f (x )＝4x －x 4，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间；
(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的实数x ，都有f (x )≤g (x )．
【解析】 (1)由f (x )＝4x －x 4，可得f ′(x )＝4－4x 3， 当f ′(x )>0，即x <1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )<0，即x >1时，函数f (x )单调递减．
所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)设P (x 0,0)，则x 0＝41
3，f ′(x 0)＝－12，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)，
即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)，令F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x )(x －x 0)，则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f (x )＝4－4x 3在(－∞，＋∞)单调递减，故F ′(x )在(－∞，＋∞)单调递减．又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(－∞，x 0)时，F ′(x )>0，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )<0. 所以F (x )在(－∞，x 0)单调递增，在(x 0，＋∞)单调递减， 所以对任意的实数x ，F (x )≤F (x 0)＝0， 对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )．。