2016届重庆市第一中学高三下学期高考适应性考试数学(理)试题

数学试题卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合(){}
ln 1x y x A ==-，{
}1x
y y e
-B ==，则A B = （ ）
A ．(),1-∞
B ．()0,1
C ．()1,+∞
D ．∅ 2.在等比数列{}n a 中，127a =，435a a a =，则6a =（ ）
A ．
181 B ．127 C ．19 D ．13
3.复数3
1i z i
=-（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限
B ．复数z 的共轭复数
122
i z =--
C ．若复数1z z b =+（R b ∈）为纯虚数，则12b =-
D ．复数z 的模1
2
z = 4.设双曲线22
2
19y x b -=（0b >）的渐近线方程为320x y ±=，则其离心率为（ ）
A B C
D 5.如果满足C 60∠AB = ，C 12A =，C k B =的锐角C ∆AB 有且只有一个，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．012k <≤
B ．12k <≤
C ．12k ≥
D ．012k <≤或k =
6.已知P 是C ∆AB 所在平面内一点，C 20PB +P +PA =
，现将一粒黄豆随机撒在C
∆AB 内，则黄豆落在C ∆PB 内的概率是（ ） A ．
14 B ．13 C ．23 D ．12
7.一个四面体的三视图都是等腰直角三角形，如图所示，则这个几何体四个表面中最小的一个表面面积是（ ）
A ．
B
C ． D
8. 右边程序框图的算法思路源于数学著名《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m D MO n ”表示m 除以n 的余数），若输入的m ，n 分别为495，135，则输出的m =（ ）
A ．0
B ．5
C ．45
D ．90
9.下面给出的命题中： ①已知函数()0
cos a
f a xdx =
⎰，则12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
；
②“2m =-”是“直线()210m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直”的必要不充分条件；
③已知随机变量ξ服从正态分布()
20,σN ，且()200.4ξP -≤≤=，则()20.2ξP >=； ④已知1C : 2
2
20x y x ++=，2C : 2
2
210x y y ++-=，则这两圆恰有2条公切线． 其中真命题的个数是（ ）
A ．
B ．2
C ．3
D ．4
10.已知抛物线C :2
8y x =的焦点为F ，点()2,2M -，过点F 且斜率为k 的直线与C 交于
A ，
B 两点，若90∠AMB = ，则k =（ ）
A B C ．1
2
D ．2
11.如图所示，在直三棱柱C C '''AB -A B 中，C C A ⊥B ，C 2'B =BB =，C 4A =，点M 是线段'AB 的中点，则三棱锥C M -AB 的外接球的体积是（ ）
A ．36π
B
C
D ．43
π
12.已知常数 2.71828e =⋅⋅⋅，定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：()()2f x f x '+=
，
1
2f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭，其中()f x '表示()f x 的导函数．若对任意正数a ，b 都有222
211432
x ab f x a e b -⎛⎫
≤++ ⎪⎝⎭，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．(]0,4
B ．[]2,4
C ．()[),04,-∞+∞
D ．[)4,+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.
在(
6
1x +
的展开式中，含3x 项的系数是 ．
（用数字作答） 14.已知实数x ，y 满足20
02230
x y y x x y -≥⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
，则1y x +的取值范围是 ．
15.如图，对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”，如3
2的“分裂”中最大的数是5，43的“分裂”中最大的数是29，那么32016的“分裂”中最大的数是 ．（写出算式即可）
16.已知平面向量a ，b ，e 满足1e = ，2a e ⋅= ，3b e ⋅= ，a - ，则a b ⋅ 的最
小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，02
π
ϕ<<
）的部分图象如图，P 是图
象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点，且Q 2O =
．
（I ）求函数()y f x =的解析式；
（II ）将函数()y f x =图象向右平移个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,2x ∈时，求函数()()()h x f x g x =⋅的最大值．
18.（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图，记录了甲、乙两名射击运动员训练的成绩（环数），射击次数各为4次． （1）试比较甲、乙两名运动员射击水平的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两组数据中随机各选取一个进行比对分析，共选取了4次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为ξ，求ξ的数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，111C C AB -A B 为三棱柱，且1AA ⊥平面C AB ，四边形CD AB 为平行四边形，D 2CD A =，DC 60∠A = ． （1）若1C AA =A ，求证：1C A ⊥平面11CD A B ；
（2）若CD 2=，1C λAA =A ，二面角1C D C A --，求三棱锥11C CD -A 的体积．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心为坐标原点，右焦点为()F 1,0，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D
是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且D ∆A B ． （1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在一定点()0,0x E
（00x <<
）
，使得过定点E 的直线与曲线C 相交于M 、N 两点，且
2
2
11+
EM
EN
为定值？若存在，求出定点和定值，若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分） 已知函数()ln
x
f x a
=，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为10x y --=． （1）求实数a 的值；
（2）设()()h x f x ex =-（e 为自然对数的底数），()h x '表示()h x 的导函数，求证：对于()h x 的图象上不同两点()11,x y A ，()22,x y B ，12x x <，存在唯一的()012,x x x ∈，使直线AB 的斜率等于()0h x '．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；
（2）若F 2A =
，CF =AE 的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系x y O 中，设倾斜角为α的直线:
l 2cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨
=+⎪⎩（为参数）与曲线
C :2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同两点A ，B ．
（1）若3
π
α=
，求线段AB 中点M 的坐标；
（2）若2
PA ⋅PB =OP
，其中(P ，求直线的斜率．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()23f x x x =-+．
（1）求不等式()7f x ≤的解集S ；
（2）若存在实数x 满足不等式()230f x t +-≤，求实数的取值范围．
2016年重庆一中高2016届高考适应性考试
数学答案（理科）
一、选择题 BCCABD CCBDAC 二、填空题
13.15 14.(]1,4 15.220162015+ 16.5
提示：12.解：()()()2222x
x x
e
f x e f x e e f x ''⎡⎤+==⎣⎦
，令()()2x g x e f x =，则
()()()
22x g x g x f x e '-'==令()2u e g x =，则x
u e '=，故 ()0.50u u ≤=，所以()f x 在()0,+∞减，原不等式即
21
2
x x -≥． 三、解答题
17.解：（I
）由余弦定理得222Q Q cos Q 2Q
OP +O -P ∠PO ==OP O
，…………………2分
∴sin Q ∠PO =
，得P 点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴1A =，214262πω⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭，
3
π
ω=
…………………4分
21cos 21213sin 432364
x
x x π
πππ-⎛⎫=
=-+ ⎪
⎝⎭．…………………10分
当[]0,2x ∈时，
27,3666x ππππ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦
，∴当2362x πππ-=，即1x =时()max 3
4
h x =
．…………12分 18.解：（1）8x x ==甲乙，()()()()2222
2
1568789810842S ⎡⎤=
-+-+-+-=⎣
⎦甲 ()()()()22222
19587810810842
S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦乙，
所以甲运动员的射击水平更稳定． （2）当乙选取5环时，一定满足要求，此时的概率为111
144
P =⨯=．
当乙选取7环时，甲只能从9环、10环中选取，此时的概率为2111
428
P =⨯=，
所以甲的成绩大于乙的成绩的概率为1238P =P +P =
，由已知，34,8ξ⎛⎫
B ⎪⎝⎭
，所以()33
482
ξE =⨯=．
19.（I ）证明：连接1C A 交1C A 于E ，因为1C AA =A ，又1AA ⊥平面CD AB ，所以
1C AA ⊥A ，
所以11CC A A 为正方形，所以11C C A ⊥A ，…………………2分 在CD ∆A 中，D 2CD A =，DC 60∠A = ，由余弦定理得
222C D CD 2C DCcos 60A =A +-A ⋅ ，
所以C A =，所以222D C CD A =A +，所以CD C ⊥A ，又1CD AA ⊥．所以CD ⊥平面11CC A A ，
所以1CD C ⊥A ，所以1C A ⊥平面11CD A B ．…………………6分
（II ）如图建立直角坐标系，则()D 2,0,0
，()0,A
，()
1C 0,0,
，
()
10,A
∴()1DC 2,0,=-
，(
)1D 2,A =-
对平面1C D A
，因为(
)D 2,A =-
，()
1
C 0,A =-
所以法向量11n λ⎫
=⎪⎭ ，
平面1C CD 的法向量为()20,1,0n =
，…………………8分
由1212cos n n n n θ⋅==
=⋅ 1λ=，…………………10分 所以1C AA =A ，此时，CD 2=
，1C AA =A =，
所以1111C CD D CC 11V V 2432-A -A ⎛==
⨯⨯⨯= ⎝…………………12分
20.解：（1）设椭圆的方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），由已知可得
(
)D max 1
22
S a b ab ∆A B =
⋅⋅== 因为()F 1,0为椭圆右焦点，所以221a b =+，②
由①②可得a =
，1b =，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=．…………………4分
（2）过点E 取两条分别垂直于x 轴和y 轴的弦11M N 、22M N ，则
2
22
11
22
x -EM =EN =，
20x EM =+
0x ，由
2
2
2
2
1
1
2
2
1111+
=
+
EM EN EM EN 得
0x =
，所以若E
存在，必为⎫⎪⎪⎭
，定值为3，…………………6分
下证⎫⎪⎪⎭
满足题意．设过点⎫E ⎪⎪⎭
的直线方程为x ty =+代入椭圆C 的方程中得
(
)2
24
203
t
y ++
-=，设()11,x y M 、()22,x y N ， 则
12y y +=()
122
4
32y y t =-+，…………………8分 ()2
2211t y EM =+，()2
22
21t y EN =+，
()()
2
1212
2
2
22
121
1
21111y y y y t y y +-+
=⋅+EM EN ()()()()()222222229248112483116
3216192t t t t t t t ⎡⎤++⎢⎥=⋅⋅+==⎢⎥++++⎣⎦
综上定点为⎫
E ⎪⎪⎭
，定值为3．…………………12分
21.解：（1）由题意得，1
1ln
1a
-+=-，所以1a =，…………………2分 （2）()ln h x x ex =-． ()0h x k AB '=，∴
()2121021
ln ln 1
x x e x x e x x x ----=-，
∴
21201ln 0x x x x x --=，即()20211
ln 0x
x x x x --=，…………………6分 设()()2
211
ln
x x x x x x ϕ=--，则()x ϕ是关于x 的一次函数， 故要在区间()12,x x 证明存在唯一性，只需证明()x ϕ在()12,x x 上满足
()()120x x ϕϕ⋅<．下面证明之：
()()211211ln
x x x x x x ϕ=--，()()222211
ln x
x x x x x ϕ=--， 为了判断()1x ϕ，()2x ϕ的符号，可以分别将1x ，2x 看作自变量得到两个新函数()1x ϕ，
()2x ϕ，讨论他们的最值：
()()211211ln
x x x x x x ϕ=--，将1x 看作自变量求导得()211
ln 0x
x x ϕ'=>， ∴()1x ϕ是1x 的增函数， 12x x <，∴()()()2
122222
ln
0x x x x x x x ϕϕ<=--=； 同理：()()222211ln
x x x x x x ϕ=--，将2x 看作自变量求导得()221
ln 0x
x x ϕ'=>， ∴()2x ϕ是2x 的增函数， 12x x <，∴()()()1
211111
ln 0x x x x x x x ϕϕ<=--=； ∴()()120x x ϕϕ⋅<，∴函数()()2
211
ln
x x x x x x ϕ=--在()12,x x 内有零点0x …………………10分
又
211x x >，∴21ln 0x x >，函数()()2211
ln x
x x x x x ϕ=--在()12,x x 是增函数， ∴函数()()2
211
ln
x x x x x x ϕ=--在()12,x x 内有唯一零点0x ，从而命题成立．…………………12分
22.（1）证明：连接BE ，由题意知∆ABE 为直角三角形． 因为DC 90∠ABE =∠A = ，C ∠AEB =∠A B ，
所以DC ∆ABE ∆A ∽，所以
D C
AB AE
=
A A ，即C D AB⋅A =A ⋅AE ． 又C A
B =B ，所以
C C
D A ⋅B =A ⋅A
E ．
（2）解：因为FC 是圆O 的切线，所以2FC F F =A ⋅B ，
又F 2A =
，CF =F 4B =，F F 2AB =B -A =，因为
CF F C ∠A =∠B ，CF FC ∠B =∠A ，所以FC CF ∆A ∆B ∽．所以
F C
FC C
A A =
B
，得F C
C FC
A ⋅
B A =
= 在C ∆AB
中，由余项定理可得cos CD ∠A =
sin sin CD ∠AEB =∠A =， 又在Rt ∆ABE 中，sin AB
∠AEB =
AE
，所以AE =．
23.解：设直线上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程
2
214
x y +=． （1）当3πα=时，设点M 对应参数为0t
．直线方程为122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（为参数）．
代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=，则12028
213
t t t +==-，
所以，点M
的坐标为12,13⎛ ⎝．
（2
）将2cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入2214x y +=，得(
)()
2
22cos
4sin 4cos 120t t αααα++++=，
因为122212cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==+，2
7OP =，所以22127cos 4sin αα
=+．
得25
tan 16
α=
．由于()
32cos cos 0ααα∆=->
，故tan α=．
． 24.解：()3,333,303,0x x f x x x x x -<-⎧⎪
=---≤≤⎨⎪->⎩
，（1）[]4,10S ∈-．
（2）()f x 的最小值为3-，则不等式()230f x t +-≤有解必须且只需3230t -+-≤， 解得03t ≤≤，所以的取值范围是[]0,3．。