最新苏科八年级苏科初二数学下学期第3次月考测试卷

最新苏科八年级苏科初二数学下学期第3次月考测试卷
一、解答题
1．如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．
2．自2009年以来，“中国•兴化千垛菜花旅游节”享誉全国．“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”所描绘的就是我市发达的油菜种植业．为了解某品种油菜籽的发芽情况，农业部门从该品种油菜籽中抽取了6批，在相同条件下进行发芽试验，有关数据如表：批次123456
油菜籽粒
数
100400800100020005000
发芽油菜
籽粒数
a31865279316044005
发芽频率0.8500.7950.8150.793b0.801
（1）分别求a和b的值；
（2）请根据以上数据，直接写出该品种油菜籽发芽概率的估计值（精确到0.1）；
（3）农业部门抽取的第7批油菜籽共有6000粒．请你根据问题（2）的结果，通过计算来估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数．
3．先化简：
2
2
24
1
a a
a a a
+-
-÷
-
，再从﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入
求值．
4．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
5．为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制了如下尚不完整的统计图表:调查结果统计表 组别
A B
C
D E
分组（元） 030x ≤＜ 3060x ≤＜
频数
调查结果频数分布直方图 调查结果扇形统计图
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次调查的样本容量是 ，a = ,m = ； （2）补全频数分布直方图；（3）求扇形统计图中扇形B 的圆心角度数； （4）该校共有1000人，请估计每月零花钱的数额x 在3090x ≤＜范围的人数. 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接CD ，过E 作EF ∥DC 交BC 的延长线于F ．
（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；
（2）若四边形CDEF 的周长是16cm ，AC 的长为8cm ，求线段AB 的长度．
7．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k 的值；
(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．
8．在Rt △AEB 中，∠AEB ＝90°，以斜边AB 为边向Rt △AEB 形外作正方形ABCD ，若正方形ABCD 的对角线交于点O （如图1）．
（1）求证：EO 平分∠AEB ；
（2）猜想线段OE 与EB 、EA 之间的数量关系为 （直接写出结果，不要写出证明过程）；
（3）过点C 作CF ⊥EB 于F ，过点D 作DH ⊥EA 于H ，CF 和DH 的反向延长线交于点G （如图2），求证：四边形EFGH 为正方形．
9．计算：2429
33
x x x x x -----
10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3．
（1）在图①中，P 是BC 上一点，EF 垂直平分AP ，分别交AD 、BC 边于点E 、F ，求证：四边形AFPE 是菱形；
（2）在图②中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD 的边上，并直接．．
标出菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）
11．某商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克．问第一次购进这种商品多少千克？
12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BC ，AC ＝2，BC ＝3．点E 是BC 延长线上一点，且CE ＝3，连结DE ． （1）求证：四边形ACED 为矩形． （2）连结OE ，求OE 的长．
13．解方程（1）2
2(1)1x x +=+ （2）22310x x ++=（配方法）
14．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，过点C 作CE BD ⊥于点
E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点
F ，在AF 的延长线上截取F
G BD =，连接BG 、DF ．
（1）求证：BD DF =； （2）求证：四边形BDFG 为菱形；
（3）若13AG =，6CF =，求四边形BDFG 的周长． 15．已知：ABC ∆中以CB 为边在ABC ∆外侧作等边CBP ∆．
（1）连接AP ，以AP 为边作等边APQ ∆，求证：AC BQ =； （2）当30CAB ∠=︒，4AB =，3AC =时，求AP 的值；
（3）若4AB =，3AC =，改变CAB ∠的度数，发现CAB ∠在变化到某一角度时，AP 有最大值．画出CAB ∠为这个特殊角度时的示意图，并直接写出CAB ∠的角度和AP 的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AB //CD ，AB=CD ，然后根据CE=DC ，得到AB=EC ，AB //EC ，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可； （2）由（1）得的结论先证得四边形ABEC 是平行四边形，通过角的关系得出FA=FE=FB=FC ，AE=BC ，得证． 【详解】
（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB =CD ． ∵CE =DC ，
∴AB =EC ，AB ∥EC ，
∴四边形ABEC 是平行四边形；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC 是平行四边形， ∴FA =FE ，FB =FC ．
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC =∠D ． 又∵∠AFC =2∠ADC ， ∴∠AFC =2∠ABC ． ∵∠AFC =∠ABC +∠BAF ， ∴∠ABC =∠BAF ， ∴FA =FB ， ∴FA =FE =FB =FC ， ∴AE =BC ，
∴四边形ABEC 是矩形． 【点睛】
此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形通过角的关系证矩形． 2．（1）85a ，0.802b =；（2）0.8；（3）4800
【分析】
（1）用油菜籽粒数乘以发芽频率求得a 的值，用发芽油菜籽粒数除以油菜籽总数即可求得b 的值．
（2）观察大量重复试验发芽的频率稳定到哪个常数附近即可用哪个数表示发芽概率． （3）用油菜籽总数乘以发芽概率即可求得发芽粒数． 【详解】
（1）1000.85085a =⨯=，1604
0.8022000
b =
=； （2）∵观察表格发现发芽频率逐渐稳定到0.8附近， ∴该品种油菜籽发芽概率的估计值为0.8； （3）60000.8=4800⨯，
故估计第7批油菜籽在相同条件下进行发芽试验时的发芽粒数为4800． 【点睛】
本题考查统计与概率，解题关键在于信息筛选能力，对频率计算公式的理解，其次注意计算仔细即可．
3．1a 2-
-，当1a =-时，原式1=3 【分析】
本题根据分式的除法和减法运算法则，结合平方差以及提公因式法将题目化简，然后从
1-、0、1、2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】
原式2(1)11
11(2)(2)22
a a a a a a a a a +--=-
⨯=-=-+---， 由已知得：若使原分式有意义，需满足0a ≠，20a a -≠，240a -≠， 即当0a =、1、2、2-时原分式无意义， 故当1a =-时，原式11
123
=-=--． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题关键在于对平方差、完全平方公式等运算法则的运用，其次注意计算仔细即可． 4．见解析 【分析】
先根据平行四边形的性质，得出ED ∥BF ，再结合已知条件∠ABE ＝∠CDF 推断出EB ∥DF ，即可证明． 【详解】
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠ADF ＝∠DFC ，ED ∥BF ， ∵∠ABE ＝∠CDF ，
∴∠ABC －∠ABE ＝∠ADC －∠CDF ，即∠EBC ＝∠ADF ， ∴∠EBC ＝∠DFC ， ∴EB ∥DF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和平行四边形的判定定理，掌握知识点是解题关键． 5．（1）50，16，8；（2）补全图形见解析；（3）扇形统计图中扇形B 的圆心角度数为115.2°；（4）每月零花钱的数额x 在30≤x ＜90范围的人数大约为720人． 【解析】
分析：（1）根据C 组的频数是20，对应的百分比是40%，据此求得调查的总人数，然后求得a 的值，m 的值；
（2）根据a 的值补全频数分布直方图； （3）利用360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用总人数1000乘以对应的比例即可求解．
详解：（1）调查的总人数是20÷40%=50（人），则a =50﹣4﹣20﹣8﹣2=16，A 组所占的
百分比是
4
50
=8%，则m=8．
故答案为50，16，8；
（2）补全频数分布直方图如图：
（3）扇形统计图中扇形B的圆心角度数是360°×16
50
=115.2°；
（4）每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数是1000×1620
50
=720（人）．
答：每月零花钱的数额x在30≤x＜90范围的人数大约为720人．
点睛：本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
6．（1）详见解析；（2）10cm
【分析】
（1）由三角形中位线定理推知BD∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝16﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥BC．BC＝2DE，
又EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为16cm，AC的长8cm，
∴BC＝16﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
即AB2＝（16﹣AB）2+82，
解得：AB＝10cm，
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7．(1)k＝1；(2)证明见解析.
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k的值；
（2）求出根的判别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：
==-+=
a b k c k
1,(3),3
24
∆=-
b ac
∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．（1）求证见解析；（2）2OE＝EB+EA；（3）见解析．
【分析】
（1）延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，由SAS证得△OBE≌△OAF，得出OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论；
（2）判断出△EOF是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论；
（3）先根据ASA证得△ABE≌△ADH，△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，得出FG＝EF＝EH＝HG，再由∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，由此可得出结论．
【详解】
（1）证明：延长EA至点F，使AF＝BE，连接OF，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOA＝90°，OB＝OA，
∵∠AEB＝90°，
∴∠OBE+∠OAE＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OBE ＝∠OAE ，在△OBE 与△OAF 中，
0OB A OBE OAF BE AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OBE ≌△OAF （SAS ）， ∴OE ＝OF ，∠BEO ＝∠AFO ， ∴∠AEO ＝∠AFO ， ∴∠BEO ＝∠AEO ， ∴EO 平分∠AEB ；
（2
OE ＝EB +EA ，理由如下： 由（1）得：△OBE ≌△OAF ， ∴OE ＝OF ，∠BOE ＝∠AOF ， ∵∠BOE +∠AOE ＝90°， ∴∠AOF +∠AOE ＝90°， ∴∠EOF ＝90°，
∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴2OE 2＝EF 2， ∵EF ＝EA +AF ＝EA +EB ， ∴2OE 2＝（EB +EA ）2，
OE ＝EB +EA ，
OE ＝EB +EA ； （3）证明：∵CF ⊥EB ，DH ⊥EA ， ∴∠F ＝∠H ＝∠AEB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，
∴∠EAB +∠DAH ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∠ADH +∠DAH ＝90°， ∴∠EAB ＝∠HDA ，∠ABE ＝∠DAH ． 在△ABE 与△ADH 中，
EAB HDA AB AD
ABE DAH ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABE ≌△ADH （ASA ）， ∴BE ＝AH ，AE ＝DH ，
同理可得：△ABE ≌△BCF ，△ADH ≌△DCG ，△DCG ≌△CBF ， ∴BE ＝CF ，AE ＝BF ，AH ＝DG ，DH ＝CG ，DG ＝CF ，CG ＝BF ， ∴CG +FC ＝BF +BE ＝AE +AH ＝DH +DG ， ∴FG ＝EF ＝EH ＝HG ，
∴四边形EFGH为正方形．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
9．3
x-
【分析】
先把分式进行合并，再进行因式分解，然后约分，即可得到答案．
【详解】
解：原式
222
42969(3)
3
333
x x x x x x
x
x x x
--+-+-
====-
---
；
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
10．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据矩形的性质和EF垂直平分AP推出AF＝PF＝AE＝PE即可判断；
（2）以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，此时的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形．
【详解】
（1）证明：如图①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AP，
∴AF＝PF，AE＝PE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
∴AF＝PF＝AE＝PE，
∴四边形AFPE是菱形；
（2）如图②，以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，连接各个点，所得的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形；
此时设菱形边长为x，
则可得12+（3-x）2=x2，
解得x=5
3
，
所以菱形的边长为5
3
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
11．第一次购进这种商品10千克
【分析】
根据“商店分别花500元和750元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多5千克”列出分式方程求解即可．
【详解】
解：设第一次购进这种商品x千克，则第二次购进这种商品（x+5）千克，
由题意，得500750
5
x x
=
+
，
解得x＝10．
经检验：x＝10是所列方程的解．
答：第一次购进这种商品10千克．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意得出分式方程的解之后要验根．
12．（1）见解析（210
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED 是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论；
（2）根据三角形的中位线定理得到OC＝1
2
DE＝
1
2
AC＝1，由勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝3，AD ∥BC ，
∵CE ＝3，
∴AD ＝CE ，
∴四边形ACED 是平行四边形，
∵AC ⊥BC ，
∴∠ACE ＝90°，
∴四边形ACED 为矩形；
（2）解：连接OE ，如图，
∵BO ＝DO ，BC ＝CE ，
∴OC ＝12DE ＝12
AC ＝1， ∵∠ACE ＝90°，
∴OE 22221310OC CE +=+=
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解．
13．（1）11x =-，212x =-
；（2）11x =-，212
x =- 【分析】
（1）移项，提取公因式1x +，利用因式分解法求解即可；
（2）移项，方程左右两边同时除以2后，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
（1）22(1)1x x +=+， 移项得：2
2(1)10()x x -++=，
提取公因式1x +得：121)()(0x x ++=，
可得：10x +=或210x +=， 解得：12112
x x =-=-，； （2）22310x x ++=， 原方程化为：23122
x x +=-，
配方得：22
233132424x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即231()416x +=， 开方得：3144
x +=±， 解得：1211
2
x x =-=-，． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）20
【分析】
（1）先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD FD =；
（2）由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；
（3）设GF x =，则13AF x =-，2AC x =，在Rt ACF ∆中利用勾股定理可求出x 的值．
【详解】
（1）证明：90ABC ∠=︒，BD 为AC 的中线，
12
BD AC ∴= //AG BD ，BD FG =，
∴四边形BDFG 是平行四边形，
CF BD ⊥
CF AG ∴⊥ 又点D 是AC 的中点
12
DF AC ∴= BD DF ∴=．
（2）证明：由（1）知四边形BDFG 是平行四边形
又BD DF =
BDFG ∴是菱形
（3）解：设GF x =则13AF x =-，2AC x =，6CF =，
在Rt ACF ∆中，222CF AF AC +=
2226(13)(2)x x ∴+-=
解得5x =
4520BDFG C ∴=⨯=菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质；解答本题的关
键是证明四边形BGFD 是菱形．
15．（1）证明见解析；（2）5AP =；（3）图见解析，7AP =，∠CAB=120°．
【分析】
（1）只需借助等边三角形的性质证明△ACP ≌△QBP 即可得出结论；
（2）利用（1）中的全等和等边三角形的性质可求得90ABQ ∠=︒，再借助勾股定理即可求得AQ ，即AP 的值；
（3）当AQ 最长时，AP 最长，此时Q 在QB 的延长线，由此得解．
【详解】
解：（1）证明：
∵CBP ∆和APQ ∆为等边三角形，
∴AP=PQ ，CP=BP ，
∠CPN=∠APQ=60°，
∴∠CPA=∠BPQ ，
∴△ACP ≌△QBP （SAS ）
∴AC=BQ ；
（2）∵△ACP ≌△QBP ，
∴3BQ AC ==，CAP BQP ，AP AQ =， ∵APQ ∆为等边三角形，
∴60PAQ AQP , ∵30CAB ∠=︒ ∴BAQ AQB
CAQ CAB AQP BQP 60
3060CAP BQP 90=︒
∴90ABQ ∠=︒， ∴2222435AP
AQ AB BQ ； （3）如下图，当等边△APQ 的AQ 边在AB 的延长线上时，AQ 有最大值，即AP 有最大
值，
由（1）得△ACP≌△QBP，
∴BQ=CA=3，∠CAP=∠Q,
∵△APQ为等边三角形，
∴∠CAP=∠Q=60°，AP=AQ=AB+BQ=7．
∴∠CAB=120°，
AP=，此时∠CAB=120°．
故AP最大值时，7
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，勾股定理．（1）中熟练掌握等边三角形的性质，得出∠CPA=∠BPQ是解题关键；（2）中能求得∠=︒是解题关键；（3）中能想到AQ有最大值，即AP有最大值是解题关键．ABQ
90。