重庆市涪陵实验中学校2020届高三数学考试试卷(理科)

重庆市涪陵实验中学校2020届高三数学考试试卷(理科)
（总分：150分，考试时间：120分钟）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、若直线L 的方程为x=2，则该直线的倾斜角是： （A ）600
（B ）450
（C ）900
（D ）180
2、若点A （3，3），B （2，4），C （a ，10）三点共线，则a 的值为： (A)4- (B)3- (C)2- (D)4
3、下列函数中，最小值是4的是： （A ）y=x+
x
4
（B ）y=22
222
2+++x x
（C ）y=sinx+4cscx, x ∈(0，⎥⎦
⎤ ⎝⎛2,
0π （D ）2(77)x x
y -=+ 4、.椭圆1942
2=+y x 的焦点坐标是 ：
(A).(5±,0) (B).(0, 5±) (C).(65±
,0) (D).(0, 6
5
±) 5、已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a =
（A ） 2 （B ） 22- （C ） 12- （D ） 12+ 6、不等式x -1＜x+1的解集是M ，│x+5│＞1的解集为N ，则M 与N 的关系是： （A ）M ØN （B ）N ØM （C ）M=N （D ）M ∩N=φ
7、若直线(3)(21)70m x m y -+-+=与直线(12)(5)60m x m y -++-=互相垂直，则m 的值为
(A)－1 (B) 1或 12- (C) －1或1
2
(D)1 8、如果实数x ，y 满足等式22(2)3x y -+=，那么x
y
的最大值是：
（A ）
2
1
（B ）33 （C ）23 （D ）3
9、已知P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)是直线L ：Ax+By+C=0外的两点且直线P 1P 2与直线交L 于点P ，设P 分→
21P P 的比为λ，则λ （A ）C By Ax C
By Ax ++++-
2211 （B ）C
By Ax C By Ax ++++-1122
（C ）C
By Ax C
By Ax ++++2211 （D ）C y y B x x A +-+-)()(1212
10、定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在［－3，－2］上是增函数，α、β是锐角三角形的两个锐角，则 （A ）f(sin α)＞f(cos β)
（B ）f(sin α)＜f(cos β)
（C ）f(sin α)＞f(sin β)
（D ）f(cos α)＞f(cos β)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共24分.答案填在答题卡上.) 11、点（－2，3）关于直线1y x =+对称的点的坐标是 . 12、不等式ax 2
+bx+10>0的解集为{x|-3<x<4}，则b= . 13、直线x – 2y +2 = 0到直线3x – y + 7 = 0的角等于 .
14、已知圆的方程为（x-1）2
+（y-1）2
=8，直线为x+y=0，则圆上到直线的距离等于2 的
点有 个.
15、关于x 的不等式（m 2
-4m+3）x 2
+2（m+1）x+1＞0对任意x ∈R 都成立，则实数m 的范围是 .
16、已知F 1、F 2是椭圆的焦点，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值
范围是 .
三、解答题：（本大题共6个小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题12分）如图，ΔABC 中，已知A （-1，0）， B （1，2），点B 关于y=0的对称点在AC 边上，且BC 边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0. （Ⅰ）求AC 边所在直线的方程; （Ⅱ）求点C 的坐标.
)
1)(1(,11218≤-+-±≠x x a
x x a 的不等式
解关于分）若、（本小题
19、（本小题12分）设Ｐ是椭圆12
2
2
=+y x 上一个动点，Ｆ为其右焦点，求ＰＦ中点Ｍ的轨迹方程.
20、（本小题12分）建一栋新房，门窗需要两种不同尺寸的玻璃，其中大号玻璃40块，小号玻璃100块。

已知商店出售甲、乙两种型号的玻璃，每种不同型号的玻璃可同时割得的大、小号尺寸的玻璃如下表：
已知甲型玻璃每张40元，乙型玻璃每张16元，问每种玻璃各买几张可使购买玻璃所用的资金最小？画出可行域，并求出这个资金数.
21、（本小题14分）已知圆C ：22
6440x y x y +--+=，直线1l 被圆所截得的弦的中点为P （5，3）。

（1）求直线1l 的方程（本小问4分），（2）若直线2l ：0x y b ++=与圆C 相交，求b 的取值范围（本小问4分），（3）是否存在常数b ，使得直线2l 被圆C 所截得的弦的中点落在直线1l 上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由（本小问6分）.
22、（本小题14分）已知函数f(x)=x 2
－1(x ≥1)的图象是C 1，函数y=g(x)的图象C 2与C 1关于直线y=x 对称.
(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M ；
(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a ，使得定义域A 内的任意两个不等的值x 1，x 2都有|h(x 1)－h(x 2)|≤a|x 1－x 2|成立，则称函数y=h(x)为A 的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M 上的利普希茨Ⅰ类函数；
(3)设A 、B 是曲线C 2上任意不同两点，证明：直线AB 与直线y=x 必相交.
[参考答案]
一、1—5 C A D C C ，6—10 A C D A A
二、11，(2,-1) 12，
65
13，4π 14， 3 15，13
m 〈 16，
三、17、解：（1）由题意，点B （1，2）关于y=0对称的点B ’(1,-2) ………2分
又B 在直线AC 上,
∴ 直线AC 的方程为:x+y+1=0 …………4分
(2) Θ直线BC 边上的高所在的直线
方程为 x-2y+1=0
∴直线BC 的斜率为k=-2
其方程为:2x+y-4=0 …………8分 由方程组 24010
x y x y +-=⎧⎨
++=⎩ 解得 56
x y =⎧⎨
=-⎩ …………11分 ∴点C 的坐标为(5,-6) …………12分
、解18
()()x a x x -+-≤110，先完成等价转化()()()()()⇔-+-≤+-≠⎧⎨⎩x a x x x x 110
110，再分类讨论求出解集。

{}
（）当时，原不等式的解集为或1111a x x a x <-≤-<<|
-1a 1
x
…………4分
{}
（）当时，原不等式的解集为或21111-<<<-≤<a x x a x |
-1a 1
x
…………8分
{}
（）当时，原不等式的解集为或3111a x x x a ><-<≤|
)1,2
2
[
代入椭圆方程得
2284410x y y +--= ………10分
∴PF 中点M 的方程为2284410x y y +--= ………12分
20、解：设买甲型玻璃x 张，乙型玻璃y 张，所用资金为z 元，………2分 则约束条件是：
24062100,x y x y x N y N +≥⎧⎪
+≥⎨⎪∈∈⎩
， …………5分 目标函数是：4016z
x y =+。

…………6分
由题意，要求目标函数在约束条件下的最小值。

（图略：图2分） …………9分
当1020
x y =⎧⎨=⎩时，min 720z =元。

…………11分 即甲型玻璃买10张，乙型玻璃买20张，所用资金最少，最少资金为720元。

……12分
21、解（1）由圆C 的方程2
26440x y x y +--+=
∴其圆心C （3，2），CP 的斜率为CP k =1
2
…………2分
又1l 与CP 垂直1L k =-2
∴1l 的方程为2130x y +-= …………4分
（2）由方程组22
6440
x y b x y x y ++=⎧⎨+--+=⎩消去y 得
2
2
22(1)440x b x b b +-+++= …………6分 其判别式∆=2
440280b b ---≥
，解此得55b --≤≤-+
∴b
的取值范围为55⎡
---+⎣ …………8分
（3）假设存在常数b ，使得直线2l 被圆C 所截得的弦的中点落在直线1l 上
不妨设2l 与圆C 交于A （11,x y ），B （22,x y ）两点，其中点为M （,x y ）
由方程组22
6440
x y b x y x y ++=⎧⎨+--+=⎩消去y 得
2
2
22(1)440x b x b b +-+++=，12,x x 是其两根
∴x =122
x x +=12
b -，
y =122y y +=-122x x +-b =12
b -- …………11分
∴11213022
b b -+--= 解得b
=25553
⎡
-∈---+⎣ …………13分 ∴不存在常数253
b =-，使得直线2l 被圆C 所截得的弦的中点落在直线1
l 上 …………14分
22、解：(1)由y =x 2
－1(x ≥1)，得y ≥0，且x =
1+y ， …………2分
∴f －1
(x )=1+x (x ≥0)，
即C 2：g (x )= 1+x ，M ={x |x ≥0}.
…………4分
(2)对任意的x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2，则有x 1－x 2≠0，x 1≥0，x 2≥0.
∴|g (x 1)－g (x 2)|=|11+x －12+x |=
11||2121+++-x x x x ＜2
1
|x 1－x 2|.
∴y =g (x )为利普希茨Ⅰ类函数，其中a =
2
1
.
…………8分
(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是曲线C 2上不同两点，x 1，x 2∈M ，且x 1≠x 2. 由(2)知|k AB |=|
2121x x y y --|=|||)()(|2121x x x g x g --＜2
1
＜1. …………11分
∴直线AB 的斜率k AB ≠1.
又∵直线y =x 的斜率为1， …………13分 ∴直线AB 与直线y =x 必相交. …………14分。