省直辖县级行政区划仙桃市沔城高级中学2022年高三数学理月考试题含解析

省直辖县级行政区划仙桃市沔城高级中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，则＝----------------------------------------------------------------（★ ）
A． B． C．
D．
参考答案：
A
2. 已知抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A、B两点（A在第一象限内），
=3，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则三角形ABG的面积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线焦点弦的性质及向量的坐标运算，求得直线的倾斜角，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用求得丨AB丨及中点E，利用点斜式方程，求得G点坐标，利用点到直线的距离公式及三角形的面积公式求得三角形ABG的面积．
【解答】解：作出抛物线的准线l：x=﹣1，设A、B在l上的射影分别是C、D，
连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．
∵=3，则设丨AF丨=3m，丨BF丨=m，由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得丨AC丨=3m，丨BD丨=m．
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE==，得∠BAE=60°∴直线AB的倾斜角∠AFx=60°，
得直线AB的斜率k=tan60°=．
则直线l的方程为：y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：3x2﹣10x+3=0，
则x1+x2=，x1x2=1，
则y1+y2=（x1﹣1）+（x2﹣1）=，
=，
∴AB中点E（，），
则EG的方程的斜率为﹣，则EG的方程：y﹣=﹣（x﹣），当x=0时，则y=，则G（，0），
则G到直线l的距离d==，
丨AB丨=x1+x2+p=，
则S△ABG=×丨AB丨?d=××=，
故选C．
【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理，中点坐标公式，焦点弦公式，考查数形结合思想，属于中档题．
3. 设A，B为两个不相等的集合，条件p：x?(A∩B)，条件q：x?(A∪B)，则p是q的（）．（A）充分不必要条件（B）充要条件
（C）必要不充分条件（D）既不充分也不必要条件
参考答案：
C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2
解析：当x∈A，且x?（A∩B），满足x∈（A∪B），即充分性不成立，
若x?（A∪B，则x?（A∩B），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C
【思路点拨】根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
4. 已知为上的可导函数，当时，，则关于的函数
的零点个数为（）
A.1
B.2
C.0
D.0或
2
参考答案：
C
略5. 函数的图像如图所示， A为图像与x轴的交点，过点A的直线与函数的图像交于B、C两点，则
( )
A．B． C．4D．8
参考答案：
D
6. 已知某产品连续4个月的广告费用千元与销售额万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①；②广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程中的（用最小二乘法求得），那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为
A. 万元
B. 万元
C. 万元
D. 万元
参考答案：
B
7. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
参考答案：
B
略
8. 已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）
．D．B
，因为结果是纯虚数，所以,故a=1.
9. 在△ABC中，是边AB上的一点，的面积为1，
则BD的长为（）
A．B．4 C．2 D．1
参考答案：
C
,选C
10. 已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，x1≠x2总有
＞0且f（1）=1．若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，则实数t的取值范围是( )
A．﹣2≤t≤2 B．t≤﹣1﹣或t≥+1
C．t≤0或t≥2D．t≥2或t≤﹣2或t=0
参考答案：
D
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）min≤t2﹣2at﹣1成立，构造函数g（a）即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有＞0，
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∵f（1）=1，
∴f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，最大值为f（1）=1，
若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立，
即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立，
∴t2﹣2at≥0，
设g（a）=t2﹣2at=﹣2ta+t2，
则满足，
即，
∴t≥2或t≤﹣2或t=0，
故选：D
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，则a3?a8的最大值为．
参考答案：
16
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3?a8的最大值．
【解答】解：∵正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，
∴，
∴=16．
∴当且仅当a3=a8时，a3?a8的最大值为64．
故答案为：16．
【点评】本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用．
12. 已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为,则
_______
参考答案：
略
13. 点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 。

参考答案： 解析：如图可设,则
,根据几何概率可知其整体事件是其周长
，则其概率是。

14. 已知全集
，集合
，
，则
___▲____．
参考答案：
15. 在直角坐标系中，动点
， 分别在射线和上运动，且
△
的面积为．则点，
的横坐标之积为_____；△周长的最小值是_____．
参考答案：
，.
16. 已知函数
，则
_______
参考答案：
3 略
17. 过原点且倾斜角为
的直线被圆
所截得的弦长为____________.
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某商场对甲、乙两种品牌的商品进行为期100天的营销活动，为调查这100天的日销售情况，随机抽取了10天的日销售量（单位：件）作为样本，样本数据的茎叶图如图．若日销量不低于50件，则称当日为“畅销日”．
（Ⅰ）现从甲品牌日销量大于40且小于60的样本中任取两天，求这两天都是“畅销日”的概率； （Ⅱ）用抽取的样本估计这100天的销售情况，请完成这两种品牌100天销量的2×2列联表，并判
断是否有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关． 附：
K 2
=
P （K 2
≥k 0） 0.050
0.010
0.001
k 0 3.841 6.635 10.828
畅销日天数 非畅销日天数 合计 甲品牌 50 50 100 乙品牌
30 70 100 合计
80
120
200
参考答案：
【考点】独立性检验；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由题意知，甲品牌日销量大于40且小于60的样本中畅销日有三天，非畅销日有三天，确定基本事件的个数，这两天都是“畅销日”的概率；
（Ⅱ）作出2×2列联表，结合列联表求出K2≈8.333＞6.635，从而有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，甲品牌日销量大于40且小于60的样本中畅销日有三天，非畅销日有三天．…
从中任取2天的所有结果，共=15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．…
其中两天都是畅销日的结果，共=3个．
所以两天都是畅销日的概率P==．…
（Ⅱ）2×2列联表
……
所以，有99%的把握认为品牌与“畅销日”天数有关．…
19. （13分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx在（1，+∞）上是减函数，求g（x）=e2x﹣ae x﹣1在[ln，0]上的最小值．
参考答案：
【考点】：利用导数研究函数的单调性．
【专题】：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．
【分析】：求出f（x）的导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数小于等于0恒成立，分离出a，利用函数的单调性求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．通过换元将函数g（x）转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．解：由于函数f（x）=ax﹣x2﹣lnx，导数f′（x）=a﹣2x﹣，
∵f（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴a﹣2x﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≤2x+恒成立，
∴只需a≤（2x+）min即可．
由于（2x+）′=2﹣＞0，则（1，+∞）为增区间，则有a≤3．
再设e x=t ，∵x∈[ln ，0]，则t∈[，1]．
设h （t ）=t 2﹣at ﹣1=（t ﹣）2﹣（1），
其对称轴t=，由a≤3，则t=≤，
则当时，[，1]为增区间，g（x）的最小值为h（）=﹣﹣a；当1≤时，[，1]为减区间，g（x）的最小值为h（1）=﹣a；
当＜＜1时，g（x）的最小值为h（）=﹣（1）．
则g（x）的最小值为h（a）=
【点评】：解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．
20. 已知．
（1）若求函数的单调区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
（1）
由得或，
①当时，由，得．
由，得或
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
②当时，由，得．
由，得或，
此时的单调递减区间为，单调递增区间为和.
综上：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为和
当时，的单调递减区间为单调递增区间为和
.
（2）依题意，不等式恒成立, 等价于
在上恒成立，
可得在上恒成立，
设, 则，
令，得（舍）当时，；当时，
当变化时，变化情况如下表：
∴ 当时,取得最大值, =-2，
∴ 的取值范围是.
21. 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，
曲线的方程是，直线的参数方程为（t为参数，），设，直线与曲线交于两点。

（1）当时，求的长度；
（2）求的取值范围。

参考答案：
（1）曲线的方程是，化为，
化为，所以，
曲线的方程，
当时，直线，代入方程，解得或，
所以。

（2）将代入到，
得，由，
化简得，
所以，
所以，
所以
22. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）设函数f(x)的图象与x轴围成的封闭区域为，证明：当时，的面积大于. 参考答案：
（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）对不等式进行零点分段讨论求解；
（2）求出函数与x轴交点坐标，表示出三角形面积，根据求得面积即可得证.
【详解】（1）若，不等式即：
，
当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，
综上所述：
即：不等式的解集为；（2），
该函数图象与x轴围成的封闭区域为三角形，
其三个顶点为，
，该三角形面积：
所以原命题得证.
【点睛】此题考查求解绝对值不等式，利用零点分段讨论，根据三角形的面积证明不等式，关键在于准确求解顶点坐标，利用不等关系证明.。