天津市武清区杨村第一中学高三数学下学期第二次热身练

杨村一中2015届高三年级第二次热身练数学试卷(理)
一选择题：四个选项中，只有一项符合要求.每小题5分，共40分.
1.复数
i
i -22= A ．i 5452+- B ．i 5452- C ．i 5452+ i D ．i 5
4
52--
2.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨
⎧≥+≤+≤031y y x x
y ，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为
A ． 2
31
-
B ． ﹣11
C ． 21-
D ． 3
3.执行上面图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为
A ．10
B ．16
C ．15
D ．1 4.已知数列{a n }的前n 项和为n S ，若S 1=1．S 2=2，且
02311=+--+n n n S S S （n ∈N *，n ≥2），则此数列为
A ． 等差数列
B ． 等比数列
C ． 从第二项起为等差数列
D ． 从第二项起为等比数列 5.以下四个命题中，真命题的个数为
①命题“R x Q C x R ∈∈∃300,”的否定是“Q x Q C x R ∉∈∀300,”； ②若命题“
P ⌝
”与命题“P 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题；
③“2=a ”是“直线14
2-=
+-=x a
y ax y 与垂直”的充分不必要条件； ④直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于A,B 两点，则弦AB 的长为3.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6.对于函数)6
2sin(π
-=x y ，下列说法正确的是
A ．函数图象关于点)0,3
(
π
对称 B ．函数图象关于直线6
5π=x 对称
C ．将它的图象向左平移
6
π
个单位，得到x y 2sin =的图象 D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的2
1倍，得到)6
sin(π
-
=x y 的图象
7.已知双曲线12222=-b
y a x （a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2
=2px （p ＞0）的准线
分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p= A ． 1 B ．
2
3
C ． 2
D ． 3 8.已知 )(x f 为偶函数，当 0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ,若函数 [])(x f f y =恰有4个零点，则m 的取值范围为
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,+∞)
D. ),3(+∞ 二、填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分 9.一个几何体的三视图如左图所示，
4
4
正视图 1
侧视图
1
则它的体积为 ．
10设常数R a ∈，若52
)(x
a x +的二项展开式中7
x 项的系数为-10，则=a ．
11.已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θ
θ
sin 31cos 33y x ，
（为参数），Ox 为极轴建立极坐标系，直
线l 的极坐标方程为0)6
cos(
=+π
θρ，则圆C 截直线l 所得的弦长为 .
12如右图,已知A B 是⊙O 的直径，TA 是⊙O 的切线，过A 作弦BT AC //，若AC=43AT=2，则AB= ． 13.已知0,0>>b a 若不等式0
133≤--+b
a b a m 0133≤--+b a b a m 恒成立，则m 的最大值为______.
14.在梯形ABCD 中 DC AB 2=，6=BC ，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足
04=++DP BP AP ，DP DA CB DA ⋅=⋅,Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值
为 ．
三、解
答题：（本大题共6小题，共80分.）
15.（13分）已知函数
)
4cos()4sin(2)32cos()(π
ππ--+-=x x x x f （R x ∈）．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程； (Ⅱ)求函数f(x)在区间⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域．
16某商场向顾客甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
（Ⅱ）若商场发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望.
17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是正方形， ⊥SA 底面ABCD ， SA=AB=1，点M 是SD 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N ． （Ⅰ）求证：平面⊥SAC 平面AMN ； （Ⅱ）求二面角D-AC-M 的余弦值．
18.（本小题满分13分）已知直线l ：y=kx+1（k ≠0）与椭圆3x 2
+y 2
=a 相交于A 、B 两个
不同的点，l 与y 轴的交点为C ． （Ⅰ）若k=1，且|AB|=
2
10
，求实数a 的值； （Ⅱ）若CB AC 2=，求△AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程．
19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中3,221==a a ,其前n 项和n s 满足
),2(1211+-+∈≥+=+N n n s s s n n n
（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （Ⅲ）设()n a n n n
c 2141
⋅-+=-λ（λ为非零整数，+∈N n ），是否存在确定λ的值，
使得对任意+
∈N n ，有n n C C >+1恒成立．若存在求出λ的值，若不存在说明理由。

20.
（
本
小
题
满
分
14
分
）
已
知
函
数
x
x x f +=
1)(.
（1）若函数在区间)2
1
,(+
a a （其中0>a ）上存在极值，求实数a 的取值范围； （2）如果当1≥x 时，不等式1
)(+≥x k
x f 恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证)()1(])!1[(*22
N n e n n n ∈⋅+>+-.
1.）复数=（ ）
A ． i 5452+-
B ．i 5452-
C ．i 5452+ i
D ． i 5
4
52--
答案及解析：
解：．
故选：A ．
2.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）
A ． ﹣
B ． ﹣11
C ． ﹣
D ． 3
答案及解析： 2.B
解：由z=y ﹣2x ，得y=2x+z ， 作出不等式对应的可行域， 平移直线y=2x+z ，
由平移可知当直线y=2x+z 经过点A 时， 直线y=2x+z 的截距最小，此时z 取得最值，
由，解得，
即A （4，﹣3）
将（4，﹣3）代入z=y ﹣2x ，得z=﹣3﹣2×4=﹣11， 即z=y ﹣2x 的最小值为﹣11． 故选：B
3.执行上面图2所示的程序框图,若输入的值为6,则输出的值
为（）
A．10 B．16 C．15 D．1
答案及解析：
3.C
4.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S1=1．S2=2，且S n+1﹣3S n+2S n﹣1=0，（n∈N*，n≥2），则此数列为（）
A．等差数 B．等比数列
C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列
答案及解析：
4.D
解：由S 1=1得a 1=1，又由S 2=2可知a 2=1． ∵S n+1﹣3S n +2S n ﹣1=0（n∈N*且n≥2）， ∴S n+1﹣S n ﹣2S n +2S n ﹣1=0（n∈N*且n≥2），
即（S n+1﹣S n ）﹣2（Sn ﹣Sn ﹣1）=0（n∈N*且n≥2），
∴a n+1=2a n （n∈N*且n≥2），故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列． 故选D ．
5.以下四个命题中，真命题的个数为 ①命题“ Q Q x C x R ∈∈∃3
00,”的否定是“
”；
②若命题“”与命题“
或”都是真命题，则命题一定是真命题；
③“
”是“直线14
2-=
+-=x a
y ax y 与垂直”的充分不必要条件； ④直线023=-+y x 与圆
相交于
两点，则弦
的长为
．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案及解析： 5.C
6.对于函数，下列说法正确的是
A ．函数图象关于点对称
B ．B ．函数图象关于直线对称
C ．将它的图象向左平移个单位，得到的图象
D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到的图象
【解析】
B
7.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）
A． 1 B．C． 2 D． 3
答案及解析：
7.C
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．
解：∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是y=±x
又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，
∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，
又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．
故选C．
8.已知为偶函数，当时，若函数
恰有4个零点，则m的取值范围为
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,+∞)
D.
答案及解析：
8.A
9.一个几何体的三视图如右下图所示，则它的体积为．
答案及解析：9.
10.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则
．
答案及解析：
10.-2
11.已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），
Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为。

答案及解析：
由圆的参数方程可得普通方程为：圆心为半径为，直线l的方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为.故答案为.
12.如图4，已知是⊙的直径，是⊙的切线，过作弦，若，
，则．
答案及解析：1213.已知若不等式恒成立，则的最大值为______.
答案及解析：13.1614.在梯形ABCD中，=2，BC→--=6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足++4=，•=DA→--•DP→--，Q为边AD上的一个动点，则PQ→--
的最小值为．
答案及解析：
14. 15.（13分）已知函数
（）．
(Ⅰ)求函数的最小正周期和对称轴方程；(Ⅱ)求函区间
数在
上的值域．
答案及解析：
15.
16（13分）某商场向顾客甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率； （Ⅱ）若商场发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望.
试题解析：（Ⅰ）设“甲恰得一个红包”为事件A ，1
2124
()339
P A C =⨯⨯=． 4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为0，5，10，15，20．
2228(0)()3327
P X ==⨯=
， 1
22128(5)()3327P X C ==⨯⨯=， 2212216(10)()()333327P X ==⨯+⨯=， 1
22124(15)()3327
P X C ==⨯⨯=
，
311
(20)()327
P X ===
． 10
分 X 的分布列： X 0
5
10
15
20
P 827 827 6
27
427 127
E(X)＝0×
827＋5×827＋10×627＋15×427＋20×127＝203
． 12分 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底
面，=1，点是的中点，且交于点．
（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．
试题解析：证明（Ⅰ）：底面， SA DC ⊥∴ 又底面是正方形，DA DC ⊥∴
平面，
又，是的中点，， 面
由已知，平面．
又面，面面 6分
（
解法2：（Ⅰ）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由于，
ABCD S -ABCD ⊥SA ABCD AB SA =M SD SC AN ⊥SC N ⊥SAC AMN M AC D --⊥SA ΘABCD ABCD ⊥∴DC SAD AM DC ⊥∴AD SA =ΘM SD SD AM ⊥∴⊥∴AM SDC AM SC ⊥∴SC AN ⊥⊥∴SC AMN ⊂SC SAC ∴⊥SAC AMN A xyz A -AB SA =
可设， 则 ，
3分 ， 4分 ，
又且 平面．又平面 所以，平面平面 6分 (2)余弦值为3
1。

13分
18.（13分）已知直线l ：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x 2
+y 2
=a 相交于A 、B 两个不同的点，记l 与y 轴的交点为C ． （Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a 的值；
（Ⅱ）若
=2
，求△AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程．
答案及解析：
18解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
（Ⅰ）由得4x 2
+2x+1﹣a=0，
1===AS AD AB ()(),0,1,0,0,0,0B A ()()()1,0,0,0,0,1,0,1,1S D C ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,21M ⎪⎭
⎫
⎝⎛=∴21,0,21AM ()1,1,1--=CS 0=•CS AM ΘCS AM ⊥∴AN SC ⊥ΘA AM AN =I ⊥∴SC AMN ⊂SC SAC SAC ⊥AMN
则x1+x2=，x1x2=，
则|AB|==，解得a=2．
（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，
则x1+x2=﹣，x1x2=，
由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），解得x1=﹣2x2，代入上式得：
x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，
==，
当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，
又x1x2==，则=，解得a=5．
19.（本小题满分14分）
已知数列中，，其前项和满足．（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设（为非零整数，），是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立．若存在求出的值，若不存在说明理由。

1.（Ⅰ）证明：由已知，,
即（n≥2，n∈N*），且．
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，
∴．…（3分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，……………………….4分
设它的前n项和为
∴
两式相减可得：
所以................................7分
（Ⅲ）解：∵，∴，……………………8分
要使恒成立，则恒成立
∴恒成立，
∴恒成立．…………………………………………………10分
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜恒成立，当且仅当n=1时，有最小值为1，∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣恒成立，当且仅当n=2时，﹣有最大值
﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．
综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有．……………14分
20.已知函数
1ln ()x
f x x +=
． （1）若函数在区间
1(,)
2a a +（其中0a >）上存在极值，求实数a 的取值范围； （2）如果当1x ≥时，不等式
()1k
f x x ≥
+恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）求证
[]2
2(1)(1)()
n n n e n -*+>+⋅∈！N ．
1. 解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x
+=
，0x > ，则
ln ()x
f x x '=-
，
当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '
<．
所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值．
因为函数()f x 在区间1(,)2a a +（其中0a >）上存在极值， 所以1,112a a <⎧⎪
⎨+>⎪⎩ 解得1
1.2a <<
（Ⅱ）不等式
()1k f x x ≥
+，即为(1)(1ln ),x x k x ++≥ 记(1)(1ln )
(),
x x g x x ++=
所以22
[(1)(1ln )](1)(1ln )ln (),x x x x x x x
g x x x '++-++-'== 令()ln ,h x x x =-则
1
()1h x x '=-
，1,()0.x h x '≥∴≥Q
()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min [()](1)10h x h ∴==>，从而()0g x '
>
故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，min [()](1)2g x g ∴==，所以2k ≤
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
2()1
f x x >
+恒成立，即
122
ln 11,11x x x x x -≥
=->-++
令(1)x n n =+，则
2
ln[(1)]1(1)
n n n n +>-
+， 所以
2ln(12)1,12⨯>-
⨯
2ln(23)1,23⨯>-⨯ 2ln(34)1,
34⨯>-⨯………… …… 2ln[(1)]1(1)n n n n +>-+．
叠加得：2
2
ln[123⨯⨯⨯…211(1)]2[1223n n n ⨯+>-++
⨯⨯…1](1)n n +
11
2(1)2211n n n n n =--
>-+>-++
则22123⨯⨯⨯…22(1)n n n e -⨯+>，所以[]2
2(1)(1)()n n n e n -*+>+⋅∈！N
（1）由题意得f′（x ）≥0对x∈[1，+∞）恒成立， 即
对x∈[1，+∞）恒成立；∵x∈[1，+∞）时，
，
∴a≥1，即a 的取值范围为[1，+∞）； （2）当2≥a≥1时，
由（1）知，f′（x ）＞0对x∈（1，2）恒成立，此时f （x ）在[1，2]上为增函数， ∴[f（x ）]min =f （1）=0； 当时，f′（x ）＜0对x∈（1.2）恒成立，此时f （x ）在[1，2]上为减函数，
∴；当
时，令f′（x ）=0，得
∈（1，2），
若，则f′（x ）＜0；若
，则f′（x ）＞0，
∴
．
（3）由（1）知函数
在[1，+∞）上为增函数，
当n ＞1时，∵，∴
，
即对n∈N *
，且n ＞1恒成立，
∴lnn=[lnn﹣ln （n ﹣1）]+[ln （n ﹣1）﹣ln （n ﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣
ln1]．。