基本不等式求最值的解题技巧

跟踪训练：
求函数 y 2x 1 5 2x 1 x 5 的最大值.
2
2
的最大值为（
）
3
A．
2
8
B． 9 6 2
C． 9 6 2
例 10：已知正数 a ， b 满足 a b 2ab ，则 2a 6b 的最小值（
3
D．
2
4
）
A．6
B． 4 3
C．10
D． 4 2 3
例
11：已知
x
> 1,
y
>
0
，且
1 x 1
2 y
1 ，则
x
2y
1 的最小值为（
）
A．9
B．10
跟踪训练：
1. 已知正数 a ， b 满足 a b 2 ，当 a ______时， a 2 取到最大值为______． b
2.已知 x 0,
y
0
，若
x
(
y
1)
2
，则
x
-
1 y
的最大值为_______．
2.放缩消元 例 14：已知 x 0, y 0 ，且 2x 9 y 6xy 9 ，则 2x 9 y 的最小值为___________．
4.（多选）已知
x
0
，
y
0
，且
2x
y
1，则
x 1 xy
可能取的值有（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
技巧六：消元法
1.等量关系消元
例 12：若正数 x, y 满足 x2 3xy 1 0 ，则 x y 的最小值是___________.
例 13：已知实数 x, y 满足 x2 xy 1，则 y2 2xy 的最小值为___________.
ab
例 19：实数 a，b 满足 a 0 ， b 0 ， a b 4 ，则 a2 b2 的最小值是（ ） a 1 b1
A．4
跟踪训练：
B．6
3
C．
2
8
D．
3
1. 已知实数 x, y 满足 x2 xy 2y2 1，则 x2 2 y2 的最小值为______________．
2.已知
x,
C．11
D． 7 2 6
跟踪训练： 1.若 a ， b 是正实数，且 a b 1，则 1 1 的最小值为_________．
a ab
2.已知正数
x,
y
满足
x
4 y
1，则
1 x
y
的最小值为___________．
3.已知正实数
x
，
y
满足
x
y
1 x
9 y
6
，则
x
y
的最小值是___________.
A． 1 2
B．1
C．2
D．4
3
D．
4
D．4
跟踪训练：
1.（1）已知
x
2
，求
x
x
4
2
的最小值；
（2）设
0<x<
3 2
，求函数
y
4x
3
2x
的最大值.
2. 已知正数 a,b 满足 2a2 b2 3, 求 a b2 1 的最大值.
技巧四：分离 例 7：已知 a 1，则 a2 3a 11 的最小值为___________.
例 15：已知 a,b 是正数，且 (a 1)(b 1) 9 ，则 ab 的最小值是_______．
跟踪训练： 已知正实数 x ， y 满足 x y xy 3 0 ，则 x y 的最小值为__________． 技巧七：对勾函数
例 16：函数 y x 4 ， x 1,3 的最大值为____________
技巧二：凑项
例，求
2x
x
8 1
的最小值为___________.
例
4：已知
x
5 4
，则
f
(x)
4x
2
1 4x
5
的最大值为_________.
跟踪训练：
1. 函数 y 1 2x 3 x 0的最小值为_______.
x
2.
（多选）已知函数
y
x4
9 (x x 1
1) ，当 x a 时，
y
为正实数，则
y x
16x 2x
y
的最小值为__________．
3.若正数
a,
b
满足
a
b
2
ab
，则
a
3
1
b
7
1
的最小值是________．
技巧九：平方
例 20：设 x, y 都是正数，且使 x y k x y ，求实数 k 的最大值.
例 21：已知 x, y 为正实数， 3x 2 y 10 ，求W 3x 2 y 的最大值.
y 取得最小值
b，则（
）
A． a 2
B． a 1
C． b 5
D． b 1
3.设
a
b
0
，且
ab
2
，则
a2
1 a(a
b)
的最小值是（
）
A．1
B．2
C．3
技巧三：凑系数
例 5：已知 0 x 1，则 x 3 3x 的最大值为（ ）
1 A．
2
1
B．
4
2
C．
3
例 6：若 0 x 1 ，则 y 2x 1 x2 的最大值为（ ）
基本不等式求最值的解题技巧
技巧一：直接利用基本不等式
例
1：已知实数
x
、
y
满足
x
y
0
，且
xy
4
，则
2 x
1 y
的最小值为_________，当且仅当
x
_______
时取到等号．
跟踪训练：
1. 已知 a 2b 2a 0,b 0，则 ab 的最大值为（ ）
A． 1 2
B．2
C．3
1
D．
3
2.已知 a 0 ， b 0 ，且 4a2 9b2 2ab 20 ，则 ab 的最大值为____________．
a 1 例 8：已知正实数 a, b 满足 a 2b 2 ，则 a2 1 2b2 的最小值是（ ）
a b 1
9
A．
4
7
B．
3
17
C．
4
13
D．
3
跟踪训练：
函数 y x2 2 (x 1) 的最小值为______． x 1
技巧五：常数代换
例
9：若正数
x,
y
满足
1 x
1 y
1，则
3 2x
y
x 例 17：求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
跟踪训练：
（多选）设 x 0 ，则下列结论错误的是（ ）
A． x 1 2 x
B． 2x
1 2x
2
C．
x 1
4 4 x 1
D． ln x 1 2 ln x
技巧八：换元法
例 18：已知正数 a ， b 满足 a b 1 4 10 ，则 ab 的最大值是______.