第22课时 三角形基础知识
认识不同的角,二年级上册,第22课时
第22课时认识不同的角学习内容课本第40～41页例3～例5，第44页练习八第6～11题。
学习目标初步认识直角，初步认识锐角和钝角。
课文讲解例3，认识直角。
引导孩子观察国旗、椅子、双杆上的角，说明这些角都是直角。
让孩子折纸做直角，加深对直角的认识。
例4，画直角。
认识三角尺上的直角，并用它画直角。
“做一做”，巩固练习。
例5，认识不同的角。
观察实物上不同的角，并认识不同的角的大小关系。
“做一做”，巩固练习。
角的特征、角的大小、画角等知识，是本课的学习基础。
直观地认识直角，画直角，运用直角认识其它各类的角，是本课的新知。
辅导精要例3，让孩子指出国旗、椅子、双杆上的已知角，指出各角的各部分名称：一个顶点，两条边。
思考：这三个角哪个大？观察三个角的特征：一条边是平的，另一条边是竖直（垂直）的。
数学上，把这种角叫做直角。
这些角都是直角，一样大。
观察课文中抽象的直角，认识直角号。
读课文，插图中男生的话。
让孩子拿出一副三角尺，指出直角。
读第二段课文。
用两个三角尺比一比，得出：都有一个直角，另两个角都不是直角。
用三角尺进行判定：国旗、椅子、双杆上的角是直角。
读第三段课文。
让孩子自己动手操作：对折，再对折，就得到一个直角。
把纸展开，根据折痕看一看一共有几个直角。
例4，家长问：怎样画出一个直角？引导孩子读例4，理解两三个图之间画一个箭号，表示画角的步骤，尝试画直角，并标上直角号。
画角的方法：从一个点起，先画一条线，三角尺的一边与它重合，三角尺的顶点与一个点重合，沿三角尺的另一边画一条线。
“做一做”，第1题，操作练习。
读题，引导孩子操作。
测量的方法：先要将三角尺上直角的顶点和角的顶点重合在一起，再将三角尺上直角的一条边跟角的一条边重合在一起，看看三角尺上直角的另一条边是不是也和角的另一条边重合；如果没有重合在一起，这个角就不是直角；如果重合在一起，这个角就是直角。
第2题，观察图形。
数出直角的个数。
例5，根据上述第1题的结果，提出教科书封面上的角是直角，并画出一个直角。
八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制
八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线3教学设计沪教版五四制一. 教材分析《三角形梯形的中位线》是沪教版八年级数学下册第22章第6节的内容，本节课主要让学生掌握三角形和梯形的中位线定理，并能够运用该定理解决相关问题。
教材通过引入中位线的概念，引导学生探究中位线的性质，进而推导出中位线的长度等于它所对的边的长度，以及中位线平行于第三边。
这一内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平行线、三角形和梯形的基本知识，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但学生在学习过程中，可能对中位线的概念和性质理解不深，对中位线定理的应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要通过丰富的教学手段，帮助学生理解和掌握中位线定理，提高学生的解题能力。
三. 教学目标1.让学生理解三角形和梯形的中位线定理，掌握中位线的性质。
2.培养学生运用中位线定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重难点：三角形和梯形的中位线定理的推导和应用。
2.难点：学生对中位线定理的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究中位线的性质。
2.利用几何画板和实物模型，帮助学生直观地理解中位线定理。
3.通过例题和练习题，让学生巩固中位线定理的应用。
4.分组讨论和合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示中位线的性质。
2.准备相关的PPT和教学课件，用于辅助教学。
3.准备一系列的例题和练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形和梯形的基本知识，引导学生思考中位线的作用和意义。
2.呈现（10分钟）利用几何画板和实物模型，呈现三角形和梯形的中位线，引导学生观察和思考中位线的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试找出三角形和梯形的中位线，并测量中位线的长度，验证中位线定理。
22第四章 三角函数、解三角形 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝54，则 sin2α＋π3的值为
12 A.25
√24
B.25
C.－2245
解析 因为 α 为锐角，且 cosα＋π6＝54，
D.－1225
所以 sinα＋π6＝ 1－cos2α＋π6＝35，
所以 sin2α＋π3＝sin 2α＋π6 ＝2sinα＋6πcosα＋π6＝2×53×54＝2245，故选 B.
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝ 1－tan
αtan
(T(α＋β)) β
2.二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－＝1
2tan α tan 2α＝ 1－tan2α .
1－2sin2α ；
【概念方法微思考】 1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示 诱导公式可以看成和差公式中 β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形. 2.怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？ 提示 先根据辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)，将 f(x)化成 f(x)
解析
cos2α2
＝ 121＋cos α ＝ 1＋cos α ＝4sin α.
1234567
2
PART TWO
题型分类 深度剖析
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主演练
题型一 和差公式的直接应用
1.(2018·石家庄质检)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为
A.－
2 10
B.
2 10
√C.－7102
D.7102
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计1
沪科版数学九年级上册22.3《相似三角形的性质》教学设计1一. 教材分析《相似三角形的性质》是沪科版数学九年级上册第22章第3节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的概念和判定方法的基础上进行授课的。
本节课的主要内容有：相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
这些性质是解决一些几何问题的重要工具，也是初中数学中的重要知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的概念和判定方法已经有了一定的了解。
但是，对于相似三角形的性质的理解和应用还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现相似三角形的性质，从而提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些几何问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的对应角相等，以及相似三角形的面积的比等于相似比的平方。
2.教学难点：相似三角形的性质的灵活运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索和发现相似三角形的性质。
2.运用多媒体辅助教学，展示相似三角形的性质的证明过程，帮助学生直观地理解相似三角形的性质。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.相似三角形的性质的PPT课件。
3.相似三角形的性质的习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾相似三角形的概念和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT课件展示相似三角形的性质，让学生直观地感受相似三角形的性质。
武隆县六中九年级数学上册 第22章 相似形 22.3 第1课时 相似三角形性质定理1及其应用同步练习
22.3 相似三角形的性质第1课时 相似三角形性质定理1及其应用1.如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40cm ，AD ＝30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ．（1）求证：;AM HG AD BC=（2）求这个矩形EFGH 的周长．2. 如图，已知△ABC 的面积是12，BC =6，点E 、I 分别在边AB 、AC 上，在BC 边上依次做了n 个全等的小正方形DEFG ，GFMN ，……KHIJ ，则每个小正方形的边长为（ ）A.1211 B. 1223n - C. 125 D. 1223n +3.如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD = 260cm ， AB =130cm ，球目前在E 点位置，AE =60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长． ABC J K N GD EF M H I …… B E D F H M GCA实际问题中二次函数的最值问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增加对数学的理解和学好数学的信心. 自学重点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.自学难点二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入，初步认识问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3①x=______时，y有最 ______ 值，其值为_________；②当-1≤x≤4时，y最小值为_______，y最大值为_____ .答案:①1，小，-4；②-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究，获取新知自学点1 最大面积问题阅读教材P30动脑筋，回答下列问题.1.若设窗框的宽为xm，则窗框的高为 _____ m，x的取值范围是_______ .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么？3.如何由关系式求出最大面积？答案：1.832x-0<x<832.S=-32x2+4x，0<x<833.Smax=83m2.例1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x，那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×（12a）2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题.例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？【分析】找出进价，售价，销售，总利润之间的关系，建立二次函数，再求最大值.列表分析如下:关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量.解:设降价x元，总利润为y元，由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时，总利润最大为225元.∴当商品的售价降低0.5元时，销售利润最大.三、运用新知，深化理解1.如图，点C是线段AB上的一个支点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A.当C是AB的中点时，S最小B.当C是AB的中点时，S最大C.当C为AB的三点分点时，S最小D.当C是AB的三等分点时，S最大第1题图第2题图2.如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料，①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.【答案】1.A2.35 cm，435cm23.解：①45+26024010-×7.5=60（吨）.②y=(x-100)(45+26010x-×7.5).化简，得y=-34x2+315x-24 000.③y=-34x2+315x-24 000=-34(x-210)2+9 075.此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.④我认为，小静说得不对.理由:当月利润最大时，x为210元，每月销售额W=x(45+26010x×7.5=-34 (x-160)2+19200.当x为160元时，月销售额W最大.∴当x为210元时，月销售额W不是最大的.∴小静说得不对.，销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围，并能求出实际问题的最值.24．3 正多边形和圆了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节的内容．重点讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系． 难点通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、复习引入请同学们口答下面两个问题．1．什么叫正多边形？2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形．二、探索新知如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，以点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF ，连接AD ，CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么B ，C ，D ，E ，F 肯定都在这个圆上．因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．我们以圆内接正六边形为例证明．如图所示的圆，把⊙O 分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形．∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝AF ，∴AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝AF ︵，又∴∠A＝12BCF ︵的度数＝12(BC ︵＋CD ︵＋DE ︵＋EF ︵)的度数＝2BC ︵的度数，∠B ＝12CDA ︵的度数＝12(CD ︵＋DE ︵＋EF ︵＋FA ︵)的度数＝2CD ︵的度数， ∴∠A ＝∠B，同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A， 又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆．为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．例 1 已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，求正六边形的周长和面积．分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM⊥AB 垂足为M ，在Rt △AOM 中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于360°6＝60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a在Rt △OAM 中，OA ＝a ，AM ＝12AB ＝12a 利用勾股定理，可得边心距OM ＝a 2－(12a)2＝123a ∴所求正六边形的面积＝6×12×AB×OM＝6×12×a×32a ＝323a 2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．例2 利用你手中的工具画一个边长为3 cm 的正五边形．分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．解：正五边形的中心角∠AOB＝360°5＝72°， 如图，∠AOM ＝36°，OA ＝12AB÷sin 36°＝1.5÷sin 36°≈2.55(cm )画法：(1)以O为圆心，OA＝2.55 cm为半径画圆；(2)在⊙O上顺次截取边长为3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.(3)分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图．三、巩固练习教材第108页习题1，2，3四、课堂小结(学生小结，老师点评)本节课应掌握：1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的关系．3．画正多边形的方法．4．运用以上的知识解决实际问题．五、作业布置教材第108－109页习题4，6，8.。
广东省中考数学冲刺复习课件(第22课时锐角三角函数)
看到楼顶部点D处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为
6米，则教学楼的高CD是( A )
A.
米 B.
米 C.
米 D．12米
提示：在Rt△ACB中，∠CAB=45°，AB⊥DC，AB=6m， ∴BC=6m， 在Rt△ABD中，∵tan∠BAD= ， ∴BD=AB•tan∠BAD=6 m， ∴DC=CB+BD=6+6 (m)．
提示：过点P作PC⊥AB于点C， 由题意可得出：∠A=30°，∠B=45°，AP=80海里，
故CP= AP=40(海里)，
则PB=ห้องสมุดไป่ตู้
(海里)．
第22课时 锐角三角函数和解直角三角形
• 提高题
6.(2014•百色) 如图22-10，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面
的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45°，
7.(2014•重庆) 如图22-11，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若 BC=14，AD=12，tan∠BAD= ，求sinC的值．
第22课时 锐角三角函数和解直角三角形
• 拔高题 8. (2014•云南) 如图22-12，小明在M处用高1米(DM=1米) 的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方 向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求 出旗杆AB的高度(取 ≈1.73，结果保留整数)
∴CD= ，
∴BD=CD= ，
由勾股定理得：
，
∴AB=AD+BD=3+ ．
7.(2014•甘孜州)如图22-3，在△ABC中，∠ABC=90°， ∠A=30°，D是边AB上一点，∠BDC=45°，AD=4，求BC的 长．(结果保留根号)
解：∵∠B=90°，∠BDC=45°， ∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD=BC，
张北县第一小学四年级数学下册 二 认识三角形和四边形第2课时 三角形分类教案 北师大版
第2课时三角形分类教材第22～23页的内容。
1．经历三角形分类的探索活动，认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形的特征。
2．通过分类活动，培养观察、比较、操作的能力，发展空间观念。
3．发展合作交流的意识，提高倾听能力。
重点：认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形和等边三角形，体会每一类三角形的特点。
难点：通过分类活动，体会每一类三角形的特点。
多媒体课件、长方形和正方形纸片、剪刀、课本附页3的图形剪下来、直尺1．师：老师这也有一个谜语，你们能猜出来吗？课件出示：形状似座山，稳定性能坚。
三竿首尾连，学问不简单。
(打一几何图形)生：三角形。
(师板书)2．师：其实我们生活中存在着很多三角形，而且在生活中有着广泛的应用，它可以拼接出很多精美的图形。
(课件出示教材主题图中帆船的图形)师：想一想：这个图案像什么？都是由什么图形拼成的？生：船，是由不同的三角形组成的。
3．师：不同的三角形有着不同的特点，并在生活中存在着不同的应用。
这节课我们就来给三角形进行分类。
(板书课题：三角形分类)1．感受三角形的特征。
师：同学们，观察这些三角形，你发现这些三角形有什么异同吗？生1：形状不一样，大小也不一样。
生2：这些三角形都有3个角，3条边。
师：我们可以按什么标准来给这些三角形分类呢？生3：按角分。
(师板书：角)师追问：同学们，还记得我们都学过哪些角吗？生4：锐角、直角和钝角。
(师板书：锐角、直角、钝角)师：你们是怎么判断的？生5：用眼观察，如果判断不准，就可以用三角板上的直角去比。
师：还可以根据什么标准给三角形分类呢？生4：按边分。
(板书：边)2．认识直角三角形、钝角三角形、锐角三角形。
直接用课件呈现教材第22页笑笑分类的结果。
师：笑笑是这样分的，你知道笑笑这样分的道理吗？学生分组讨论，再全班交流，汇报。
生：按角把三角形分为三类：第一类是有一个角是直角的：①②；第二类是有一个钝角的：⑥⑦⑧⑨；第三类是有三个锐角的：③④⑤。
初三数学：《解直角三角形》知识点总结
初三数学：《解直角三角形》知识点总结知识点在不断更新的同时也需要及时的归纳总结，才能更好的掌握，接下来精品学习网初中频道给大家整理解直角三角形知识点整理，供大家参考阅读。
1解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中，C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：(1)正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A=ca,(2)余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A=cb,(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即tan A=ba，(4)锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作cotA即aAAAb的对边的邻边cot锐角A的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A的锐角三角函数。
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：(1)锐角A必须在直角三角形中，且(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。
否则，不存在上述关系2注意:锐角三角函数的定义应明确(1)ca，cb，ba，ab四个比值的大小同△ABC的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A取固定值时，它的四个三角函数也是固定的;(2)sinA不是sinA的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系：122sinCOS(2)倒数关系：tana cota=1(3)商数关系：sincoscot,cossintan注意：(1)这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。
(2)sinsin22是的简写，读作“sin的平方”，不能将22sin 写成sin前者是a的正弦值的平方，后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cottan,1223030cossin22，而1cossin22就不一定成立。
九年级中考一轮复习导学案：22课时+矩形、菱形
第22课时 矩形、菱形一、基础知识梳理（课前完成）1. （一）定义:（1） 矩形的定义：__________________________的平行四边形叫矩形． (2）菱形的定义：有一组_________________________相等的平行四边形叫菱形． 2. 矩形、菱形的性质与判定：矩形的性质： 矩形的常用判定方法：① 矩形的四个角都是_______； ①有______角是直角的四边形是矩形； ② 矩形的对角线_________； ②对角线相等的_____________是矩形； 推论：直角三角形斜边上的中线等于 ； 推论：如果一个三角形一边上的____ 那么这个三角形是_______________.菱形的性质： 菱形的常用判定方法： ①菱形的四条边________； ①四条边相等的四边形是______；②菱形的对角线互相_______，并且___ ②________互相垂直的平行四边形是菱形3. 矩形、菱形的对称性与面积：①矩形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.S=②菱形既是 对称图形,又是 图形,它有 条对称轴.S= =二、基础诊断题1．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误．．的是（ ） A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC2．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） A ．3 B ．3.5 C ．2.5 D ．2.83. 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ） A ．B ．C ．D ．三、典型例题2题图3题图1题图图1例题1（2014年浙江嘉兴）已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．（1）求证：△DOE≌△BOF．（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED为菱形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF （ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．例题2（2014•湘潭）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．四、达标检测题 （一）基础检测一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ） A ．12cm2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 22．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A ．12B ．2C 4．下列命题中的真命题是（ ）A ．三个角相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D ．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形５．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（） A ．，）B ．（） C ．（） D ．2题图ECBA3题图 5题图二、填空题6．在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)7．如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．8. 如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______． 9．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .10．如图，已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在AB 上，且BO BE =，则EOA ∠= 度．三、解答题11. 如图，已知E 是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F ．（1）求证：△ABE ≌△FCE ．（2）连接AC ．BF ，若∠AEC=2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形．10题图D7题图8题图9题图12.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．（二）能力提升1、（2014•丽水）如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形2、（2014年山东烟台）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（）A．28° B．52° C．62°D．72°3、（2014•呼和浩特）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE5、（2014•德州）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（）7、（2014•毕节地区）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）8、（2014•十堰）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）9、（2014年浙江嘉兴）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为（）10（2014•苏州）如图，在矩形ABCD中，=，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E．若AE•ED=，则矩形ABCD的面积为．11、（2014年江苏南京）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形？为什么？12、（2014•白银）D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G 、F 、E ．（1）如图，当点O 在△ABC 的内部时，求证：四边形DGFE 是平行四边形；（2）若四边形DGFE 是菱形，则OA 与BC 应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）五、课后反馈1. 如图：矩形纸片ABCD ，AB=2，点E 在BC 上，且AE=EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是__________.2．如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =5．过对角线交点Ｏ作OE AC 交AD 于E ，则AE 的长是( ) A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.43 .如图所示，矩形ABCD 中，AB =4，BC=E 是折线段A －D －C 上的一个动点（点E 与点A 不重合），点P 是点A 关于BE 的对称点．在点E 运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E 的位置共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个A BCDPE3题图BAD4题图C1题图2题图4 .如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A =60°，则对角线BD 的长度为（ ） A ．2 B． C ． 4 D．5.下列命题是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．一组邻边相等的四边形是菱形C ．四个角是直角的四边形是正方形D ．对角线相等的梯形是等腰梯形 6. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ） A1 BCD ．527. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，则矩形EFGH 的周长是 ．8 .如图1，在菱形ABCD 中，AC=2，BD=2 3 ，AC ，BD 相交于点O ． （1）求边AB 的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD 的顶点A 处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；③ 转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．6题图7题图A B C D 第9题图 l 1 l 2 l 3 l 4α9. .已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均 为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB ＝4，BC ＝6，则tan α的值等于A ．23B ．34C ．43D ．3210.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝4，∠AOD ＝120°， 求AC 的长.11. 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC ＝67.5°，△ABD 和△ABC 关于AB 所在的直线对称，点M 为边AC 上的一个动点（不与点A ，C 重合），点M 关于AB 所在直线的对称点为N ，△CMN 的面积为S ．（1）求∠CAD 的度数；（2）设CM ＝x ，求S 与x 的函数表达式，并求x 为何值时S 的值最大？（3）S 的值最大时，过点C 作EC ⊥AC 交AB 的延长线于点E ，连接EN （如图2）．P 为线段EN 上一点，Q 为平面内一点，当以M ，N ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出．．．．所有满足条件的NP 的长．12.如图，O ⊙的半径为1，ABC ∆是O ⊙的内接等边三角形， 点D ，E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是A ．2 B．3 C ．23D ．2313、（1）如图，在四边形ABCD 是矩形，点E 是AD 的中点，求证：EC EB =（2）如图，AB 与O ⊙相切于C ，B A ∠=∠，O ⊙的半径为6，AB ＝16，求OA 的长.ADC 第10题图N第11题图1 AN第11题图2ADEAB CDE．O第12题图。
精品 2014年中考数学总复习_全部导学案21-41
b，则线段AB的长度是（AE B G C DM H F 1 2 3 第9题图 【当堂检测】1．如图，已知a ∥b ，∠1=50°，则∠2=______度．2．已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，则∠β的补角为______度． 3．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为_______度．4．如图，点A 、B 、C 在直线L 上，则图中共有______条线段． 5．如图，已知//AE BD ，∠1=130o ，∠2=30o ，则∠C = ． 6.如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ． 7.如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________．8.如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E EF ，交CD 于F ，已知 160∠=°，则2∠=（ ）A ．20°B ．60°C ．30°D ．45°9.如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知∠1=∠2=60°，GM 平分∠HGB 交直 线CD 于点M ．则∠3=（ ） A ．60° B ．65° C ．70° D ．130° 10．如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，BE ∥CF ，求证：∠1=∠2．第1题图 第4题图 第5题图 第6题图第8题图 A B DC1 2 3 CD B AE F1 2第10题图第7题图4321DCB A AB CDE第22课时 三角形基础知识【知识梳理】1、三角形三边的关系；三角形的分类2、三角形内角和定理；3、三角形的高，中线，角平分线4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】方程思想，分类讨论等【例题精讲】 例1． 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．求∠DAC 的度数．例2. 如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B ＝70°，∠ACB ＝50°， 求∠EDC 和∠BDC 的度数．例3.现有2cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例 4.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°例5.如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ） A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点 D ．∠C 的平分线与AB 的交点A C B【当堂检测】1．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD ＝ 度. 2．ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，当10cm BC =时，DE = cm ． 第1题图 3．如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线. (1) ∠ADC ＝ ＝90°；(2) ∠CAE ＝ ＝0.5 ； (3) CF ＝ ＝0.5 ； (4) S △ABC ＝ ．第3题图4.下列命题中，错误的是（ ）．A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形的外角和等于360°C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形第23课时 全等三角形【知识梳理】1、定义：能够完全重合的两个三角形全等．2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等3、边角边（SAS ）角边角（ASA ）推论 角角边（AAS ）边边边（SSS ）“HL” 【例题精讲】1.如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ）A ．60B ．50C ．45D ．30 2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．43 B ．33C ．23D ．33.如图，点P 在AOB ∠的平分线上，若使AOP BOP △≌△，则需添加的一个条件是 （只写一个即可，不添加辅助线）C DB7060Ａ思考与收获OEA BDCABPO思考与收获4．如图，点C 、E 、B 、F 在同一直线上， AC ∥DF ，AC=DF, BC=EF, △ABC 与△DEF 全等吗？证明你的结论．5．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B 、C 、E 在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．6.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E ． 求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE图1 图2图，则它的顶角的度数为（65或50或80如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点BC中点，MN等于（）A第25课时 直角三角形（勾股定理）【知识梳理】1. 直角三角形的定义；2. 直角三角形的性质和判定；3.特殊角度的直角三角形的性质． 4．勾股定理：a 2+b 2=c 2 【思想方法】1. 常用解题方法——数形结合2. 常用基本图形——直角三角形【例题精讲】 例题1. 如图，AB ∥CD ， AC ⊥BC ，∠BAC =65°，则∠BCD= 度．例题2．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则AOC DOB ∠+∠= ．例题3. 如图，ABC △是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP △绕点A 逆时针旋转后，能与ACP '△重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ） A ．32 B ．23C ．42D ．33例题4. 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠， 使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247B ．73C ．724D ．13例题5. 如图，Rt ABC △中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，P 是BC 上一点，作PE AB ⊥于E ，PD AC ⊥于D ，设BP x =，则PD PE +=（ ）A ．35x +B ．45x -C ．72D ．21212525x x -A B C D O 6 8 CEAB D A DC P B E【当堂检测】1.如图AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sinB= （ ）A ．513 B ．1213Ｃ．35 Ｄ．45第1题图 第3题图第2题图2. 如图，在Rt △ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B•点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ） A ．25° B ．30° C ．45° D ．60° 4. 如图，已知等腰Rt △AOB 中，∠AOB=90°，等腰Rt △EOF 中，•∠EOF=90°， 连接AE 、BF ． 求证：（1）AE=BF ；（2）AE ⊥BF ．第4题图5.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为长边在△ABC 外作矩形，使其每个矩形的宽为长的一半，S 1、S 2、S 3分别表示这三个长方形的面积，则S 1、S 2、S 3之间有什么关系？并证明你的结论．第5题图B DC A第26课时锐角三角函数【知识梳理】【思想方法】1. 常用解题方法——设k法2. 常用基本图形——双直角【例题精讲】例题1.在△ABC中，∠C=90°．（1）若cosA=12，则tanB=______;（•2）•若cosA=45，则tanB=______．例题2.（1）已知：cosα=23，则锐角α的取值范围是（）A．0°<α<30° B．45°<α<60°C．30°<α<45° D．60°<α<90°（2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（）A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθC．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ> cosθ例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，•CD=3，BD=23，求AC，AB的长．例题4.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长．31的斜坡向上滚动了5cos31 ．5sin 313131 某渔船上的渔民在处观测到灯塔海里的速度向正东方向航行，半小时后到达30． 楼上的影子有多长？楼上，那么两楼的距离应是多少米？6030【当堂检测】1.填空：（1）n边形的内角和为720°，则n＝______．（2）五边形的内角和与外角和的比值是______．（3）过六边形的每一个顶点都有______条对角线．（4）过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形．（5）将正六边形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是度．2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．73．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A.正十边形B.正八边形C.正六边形D.正五边形4.一个五边形有三个内角是直角，另两个内角都等于n，则n的值是A．30°B．120°C．135°D．108°5.n边形与m边形内角和度数差为720°，则n与m的差为（）A．2 B．3 C．4 D．56.下列角度中，不是多边形内角和的只有（）A．540°B．720°C．960°D．1080°7．一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（• ）A．1个B．2个C．3个D．4个8．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为1700°，求多边形的边数．9.一个零件的形状如图中阴影部分．按规定∠A应等于90º，∠B、∠C应分别是29º和21º，检验人员度量得∠BDC＝141º，就断定这个零件不合格．你能说明理由吗？10．一个多边形，它的外角最多有几个是钝角？说说你的理由．11．在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．E BAF CD 第29课时 平行四边形【知识梳理】1、掌握平行四边形的概念和性质2、四边形的不稳定性．3、掌握平行四边形有关性质和四边形是平行四边形的条件．4、能用平行四边形的相关性质和判定进行简单的逻辑推理证明．【例题精讲】 例题1.（2009年常德市）下列命题中错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一组邻边相等的平行四边形是菱形D ．一组对边平行的四边形是梯形 例题2. （2008年泰州市）在平面上，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，且满足AB =CD ．有下列四个条件：（1）OB =OC ；（2）AD ∥BC ；（3）BODOCO AO =；（4）∠OAD =∠OBC ．若只增加其中的一个条件，就一定能使∠BAC =∠CDB 成立，这样的条件可以是( ) A ．（2）、（4） B ．（2） C ．（3）、（4） D ．（4）例题3.（2009年威海）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ） A ．AD BC = B ．CD BF = C ．A C ∠=∠ D ．F CDE ∠=∠例题4．如图，在ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 例题5．（2009年新疆）如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．A B D EFC第3题图 第4题图第30课时 矩形、菱形、正方形（一）【知识梳理】 1．矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等. 2. 矩形的判定：（1）有一个角是90°的平行四边形；（2）三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形. 3. 菱形的性质：（1）四边相等；（2）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.4.菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形；（2）四边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形.5.正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的性质.6.正方形的判定：（1）一组邻边相等的矩形；（2）有一个角是直角的菱形. 【例题精讲】例题1. 将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论.例题2.如图，正方形ABCD 和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A′OB′C′绕正方形ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）证明：CF=BE ；（2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积．A B C DEF D ＇′【当堂检测】1. 如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A ．12a BC ．a D2.在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD =120°，则对角线AC 等于（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．53. 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论①DE =3cm ；②EB =1cm ；③2ABCD 15S cm =菱形中正确的个数为（ ）A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个4. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．2CC第3题图 第4题图第31课时 矩形、菱形、正方形（二）【当堂检测】1.已知菱形的周长为20，两对角线之和为14，则菱形的面积为 ．2. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于 （ ）A .70°B . 65°C . 50°D . 25°3.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ） A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+，D ．(121)+， 4.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．325.已知四边形ABCD ，AD //BC ，连接BD .（1）小明说：“若添加条件BD 2=BC 2+CD 2，则四边形ABCD 是矩形”.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.（2）若BD 平分∠ABC ，∠DBC =∠BDC ，tan ∠DBC =1，求证：四边形ABCD 是正方形．EDBC′FCD ′ Ax yOC BAD C B A 第2题图第3题图第4题图思考与收获第32课时 四边形综合【例题精讲】例题1．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过作EF ⊥BE 交AD 于F ． (1)求证：∠DEF ＝∠CBE ；(2)请找出图中与EB 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由．例题2．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；例题3．在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点运动，连接DM 交AC 于点N ．（1）如图（1），当点M 在AB 边上时，连接BN ． ①求证：ABN ADN △≌△；②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =α，求点M 到AD 的距离及tan α（2）如图（2），若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）． 试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形．A B CD E F CBMAND图1CM BNAD图2【当堂检测】 1. 如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上两点，连接BE 、BF 、DE 、DF ，则添加下列哪一个条件可以判定四边形BEDF 是菱形（ ） A 、∠1=∠2 B 、BE =DF C 、∠EDF =60° D 、AB =AF2. 如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a积分别为5和11，则b 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．16 D ．553. 如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB、CD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和68cm 2,那么矩形ABCD 的面积是（ ）A ．21cm 2B ．16cm 2C ．24cm 2D ．9cm 2 4.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．A B D C EF12D CG BC D AP 第2题图第3题图第4题图CB A AB CD E第33课时 相似形【知识梳理】1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割．2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方．3、相似三角形的概念、性质4、两个三角形相似的条件． 【思想方法】1. 常用解题方法——设k 法2. 常用基本图形——A 形、X 形……【例题精讲】 例题1.△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的最长边为15．求△ A′B′C′最短边的长．变化:△ABC 的三条边的长分别为3、4、5，与△ABC 相似的△A′B′C′的一边长为15．求△ A′B′C′的周长．例题2.如图，小正方形的边长均为l ，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )例题3.如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 边上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ． （1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？（2）若△ABE 的面积为3，△CDE 的面积为1，求△BCE 的面积．例题4 .在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使B 点与C 点重合，如图，则折痕DE 的长是多少？【当堂检测】 1.若312=-n n m ，则=nm． 2.已知三个数1，2，3，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是________.3.已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是 ．4. 如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，请你添加 一个条件，使△ACD 与△ABC 相似．你添加 的条件是_____ ．5.在比例尺为1：8000的南京市城区地图上，太平南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为（ ）A ．320cmB ．320mC ．2000cmD ．2000m 6.下列命题中，正确的是（ ）A.所有的等腰三角形都相似B.所有的直角三角形都相似C.所有的等边三角形都相似D.所有的矩形都相似7. 如图，在□ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，连结DE ，交AC 于点G ，交BC 于点F ，那么图中相似的三角形(不含全等三角形)共有( ) A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对8.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为（ ） A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5BCAD 第4题G F A D B CE 第7题 第8题第34课时 相似形的应用【知识梳理】1. 相似三角形的性质：对应边（高）的比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 【思想方法】1. 常用解题方法——设k 法2. 常用基本图形——A 形、X 形……【例题精讲】 例题1．如图，王华晚上由路灯A 下B 处走到C 处时，测得 影子CD•长为1米，继续往前走2米到达E 处，测得影子 EF 长为2米，王华身高是1.5米，则路灯A 高度等于（ ） A ．4.5米 B ．6米 C ．7.2米 D ．8米例题2．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？例题3．一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？例题4. 如图，已知：AD=AE ，DF=EF ；求证：△ADC ≌△AEBABDEFC【当堂检测】1．如图1，铁道口栏杆的短臂长为1.2m ，长臂长为8m ，当短臂端点下降0.6m 时，长臂端点升高________m （杆的粗细忽略不计）．2．如图2所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB ，DE=2，则BC 的长为________． 3．如图3所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，D 为BC 上一点，过点D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，若ED=1，BD=2，则DC 的长为________． 4．如图4，有两个形状相同的星星图案，则x 的值为（ ）A ．15B ．12C ．10D ．85．如图5，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD=4，DB=•2，•则DE ：BC 的值为（ ） A ．23 B ．12 C ．34 D ．356．如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚B 距墙脚 60cm ，梯上点D 距离墙角50cm ，BD 长55cm ，求出梯子的长．AECBD┌┌第4题 第5题第1题 第2题 第3题第6题图第35课时 圆的基本性质【知识梳理】1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径． 3．三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心： （3）三角形的内心：4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数．圆周角的度数等于它所对弧的度数一半． 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 【例题精讲】例题1.如图，公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 （ ） A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．53米 例题2.如图⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例题1图 例题2图 例题3图 例题4图例题3.如图⊙O 弦AB=6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 半径为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2例题4.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB=3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120° 例题5． AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm 例题6.如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①___ ___，②___ _____ ，③_____ _，④________（不添加其它字母和辅助线）（2）A ∠=30°，CD =233，求O ⊙的半径r ． 例题6图【当堂检测】1.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．92.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ） A ．28° B ．56° C ．60° D ．62°第1题图 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图3.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E,∠CDB ＝30°, ⊙O 的半径为cm 3，则弦CD 的长为（ ） A ．3cm 2B ．3cmC ．23cmD ．9cm4.⊙O 的半径为10cm ，弦AB ＝12cm ，则圆心到AB 的距离为（ ） A ． 2cm B ． 6cm C ． 8cm D ． 10cm5.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连结OC ，若OC ＝5，CD ＝8， 则tan ∠COE ＝（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．436．如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57.如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P 在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．第7题图 第8题图 第9题图8.如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 点到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是_______．9.如图，AB 是⊙0的直径，弦CD ∥AB ．若∠ABD ＝65°，则∠ADC ＝______. 10．如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 长．PBC EA 第10题图第36课时 直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ） 相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<< 【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，， 则EDF ∠等于（ ） A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm 例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；• 当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．D O A F C BEx y M B A O C l B A例题3图 例题2图 例题8图例题9图 •A B P C E F •OOO2O1【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．内切 D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ） A ．10cm B ．6cm C ．10cm 或6cm D ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A.15 B.30 C.45 D.60 4. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）A.45 B. 54 C. 43 D. 65 7.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）． 9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．O D C B A B PAO C第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图 第13题图40% 5 R（图1） （图2） 60% 第37课时 圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式：2. n°的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n°的扇形面积公式： 、 ．4. 圆锥的侧面展开图是 ；底面半径为r ，母线长为l 的圆锥的侧面积公式为：；圆锥的表面积的计算方法是： 5.圆柱的侧面展开图是： ；底面半径为r ，高为h 的圆柱的侧面积公式是： ；圆柱的表面积的计算方法是： 【注意点】 【例题精讲】 【例1】如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转90°，得到△AB 1C 1． （1）在正方形网格中，作出△AB 1C 1；（2）设网格小正方形的边长为1，求旋转过程中动点B 所经过的路径长．【例2】如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点D ，OF ⊥AC 于点F ． （1）请写出三条与BC 有关的正确结论； （2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．【例3】如图，小明从半径为5cm 的圆形纸片中剪下40%圆周的 一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ） A.3cm B.4cm C.21cm D.62cm【例4】（庆阳）如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA 、OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA=OB=6㎝，AB=36㎝． 求：（1）⊙O 的半径；（2）图中阴影部分的面积．C B A O FD EOACBDC BA C ' A '【当堂检测】1．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是( )A ．25πB ．65π C.90π D ．130π 3．圆锥的侧面展开图形是半径为8cm ，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ） A ．38cm B ．316 cm C ．3cm D ．34cm4.圆锥侧面积为8πcm 2,侧面展开图圆心角为450,则圆锥母线长为（ ）A.64cmB.8cmC.22㎝D.42㎝ 5．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．236．如图，有一圆心角为120 o 、半径长为6cm 的扇形，若将OA 、OB 重合后围成一 圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）A ．24 cmB ．35 cmC ．62 cmD ．32 cm7．已知圆锥的底面半径是2㎝，母线长是4㎝，则圆锥的侧面积是 ㎝2. 8．如图，两个同心圆的半径分别为2和1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为9．如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB 、BC 、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 （平方单位）10．王小刚制作了一个高12cm ，底面直径为10cm 的圆锥，则这个圆锥的侧面积 是 cm 2.11．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=，4AB AD ==，6BC =，以A 为圆心在梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分）的面积是 ． 12.制作一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为3.5cm ，侧面母线长为6cm ，则此圆锥侧面展开图的扇形圆心角为 度．13.如图，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条 直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ． 14.翔宇中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB 的面积是36米2，弧AB 的长为9米，那么半径OA=______米.15.如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若BC=36，DE=3．求：(1) ⊙O 的半径； (2)弦AC 的长；(3)阴影部分的面积．A OB 120o第6题图 第8题图 第9题图 第13题图 第14题图 A B C D 第11题图OP My x N第38课时 圆的综合【例题精讲】1．如图，已知圆心角78BOC ∠=，则圆周角BAC ∠的度数是（ ） A ．156B ．78C ．39D ．122．如图2所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB （ ） A ．是正方形 B ． 是长方形 C ． 是菱形 D ．以上答案都不对 3．圆锥的底面半径为3cm ，母线为9cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．6π2cm B ．9π2cm C ．12 π2cm D ．27π2cm 4．⊙O 半径OA=10cm ，弦AB=16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ．5. 如图，一个扇形铁皮OAB. 已知OA =60cm ，∠AOB =120°，小华将OA 、OB 合拢制成了一个圆锥形烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为( ) A. 10cm B. 20cm C. 24cm D. 30cm7．如图，⊙O 的半径为3cm ，B 为⊙O 外一点，OB 交⊙O 于点A ，AB=OA ，动点P 从点A 出发，以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止．当点P 运动的时间为 s 时，BP 与⊙O 相切．8．如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是9．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于 ． 10.如图，AB 为⊙O 直径，AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于点D ，AB=20cm ，∠A=30°，则AD= cm 11．半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，－4），N （0，－10）， 函数(0)ky x x =<的图像过点P ，则k ＝ ．12．如图，已知圆O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与圆O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以 4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与圆O 相切？120°OAB第1题图 BA O P 23 E O DC B A AB Q O P NM第2题图 第5题图 第7题图 第9题图 第8题图 第10题图 第11题图第12题图。
2013届河南中考数学复习方案课件第四单元 三角形
总结
第18课时┃ 考点聚焦 考点5 三角形的三边关系
定理 推理 三角形的 稳定性
大于 三角形的两边之和______第三边 小于 三角形的两边之差______第三边
三条线段组成三角形后， 形状无法改 变是稳定性的体现
第18课时┃ 考点聚焦 考点6 三角形的内角和定理及推论
定理 三角形的内角和等于________ 180° 1.三角形的一个外角等于和它__________________ 不相邻的两个内角 的和 推论 2. 三 角 形 的 一 个 外 角 大 于 任 何 一 个 和 它
第18课时┃ 豫考探究
三角形内角和定理及推论在解决三角形相关问题时 应用很多，关键是找出三角形的外角．
第18课时┃ 豫考探究
同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补
第17课时┃ 考点聚焦 考点7 垂直
如果两条直线相交成________，那么这两条直线互相垂 直角 定义 直，其中一条叫做另一条的垂线，互相垂直的两条直线 垂 直 特别 说明 的交点叫做垂足 (1)两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在它 们所交的角是直角；(2)线段与线段、射线与线段、射线 与射线的垂直，都是指它们所在的直线垂直
第18课时┃ 豫考探究
豫考探究
►
热考一 三角形的内角和定理及推论
例 1 [2010· 河南] 将一副直角三角板如图 18－3 放置， 使含 30° 角的三角板的一条直角边和含 45° 角的三角板的一 条直角边重合，则∠1 的度数为________． 75°
图 18－3
[解析] 利用∠1 为三角形的外角， 三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和．
2014届中考第一轮基础课件(第22讲_相似三角形及其应用)
第22讲┃ 归类示例 ► 类型之三 三角形相似的判定方法及其应用 命题角度： 1．利用两个角判定三角形相似； 2．利用两边及夹角判定三角形相似； 3．利用三边判定三角形相似. 例3 [2013·凉山州]如图22－3，在矩形ABCD中，AB＝ 6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)求EF的长．
第22讲┃ 归类示例
图22－2
第22讲┃ 归类示例
[解析] (1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比， 证明结论． (2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解． 解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥GH. ∴∠AHG＝∠ABC. 又∵∠HAG＝∠BAC， AM HG ∴△AHG∽△ABC，∴ ＝ . AD BC AM HG (2)由(1)得 ＝ .设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30 AD BC －x. 30－x 2x 可得 ＝ ，解得x＝12，2x＝24. 30 40 所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 (cm)．
位似 作图
第22讲┃ 考点聚焦 考点7 相似三角形的应用 常见 问题 建模 思想 相似三角 形在实际 生活中的 应用 证明线段的数量关系，求线段的长 度，图形的面积大小等 建立相似三角形模型 (1)利用投影，平行线，标杆等构 造相似三角形求解； (2)测量底部可以达到的物体的高 度； (3)测量底部不可以到达的物体的 高度； (4)测量不可以达到的河的宽度
第22讲┃ 考点聚焦 考点5 相似三角形及相似多边形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比
三角形
(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方 (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应 中线的比等于相似比 (1)相似多边形周长的比等于相似比
第22课时 全等三角形
第22课时 全等三角形班级： 姓名：1.了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质与判定；2.运用全等三角形的性质和判定解决问题. 1.全等三角形的判定；2.全等三角形性质与判定的综合应用. 例1．如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA,PB ⊥OB ，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA=PB B ．PO 平分∠AOBC ．OA=OBD ．AB 垂直平分OP例2.如图是5×5的正方形网络，以点D 、E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出 （ ）A ．2个 B.4个 C.6个 D.8个任意长为半径画弧交例4．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC △≌△的是（ ）A ．CB CD = B ．BAC DAC =∠∠C ．BCA DCA =∠∠D ．90B D ==︒∠∠1.同步训练P124.自我尝试1—12题(2009) 25．（本小题满分11分）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠= ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A D F C G EB 图1 A DFC G E B图2 A DFC GE 图3 （第25题图）。
第二十二课时---什么是周长
1、摸一摸。
（1）课桌面的边线。
（2）数学书封面的边线。
2、实践活动
（1）量一量你的腰围和头围，并与同伴说一说。
（2）量一量一片树叶的周长，并与同伴说说你的方法。
3、连一连
（1）用彩色笔描出下面图形的边线。
（2）量一量；、算一算下面图形的周长。
（3）每小题两个图形的周长一样吗？
四、总结
同学们我们今天一起认识了什么是周长，你现在得到答案了吗？
2、小组汇报学生各自尝试画的树叶。
3、你们有办法量出画的那片树叶边线的长度吗？请试一试。4、学生独测量或小组合作测量一片树叶。
5、请同学们汇报测量方法和结果。
（1）用直尺一段一段地量，然后加起来。
（2）先用线来测量这条曲线，再用尺来量线的长度。
（3）用皮尺沿着所画的边线直接测量。
6、同学们都很聪明、能干，你们刚才量的是树叶一周的长度，也就式树叶的周长。我们把一个图形一周的长度叫做这个图形的周长。
课题
什么是周长
课型
新授
课时
第22课时
备课教师
秦勇
上课教师
上课时间
教学目标
知识与技能：
1、结合具体事物或图形，通过观察、操作等活动，认识周长。
2、能测量并计算三角形、平行四边形、梯形等图形的周长。
过程与方法：
结合具体事物或图形，通过观察、操作等活动，认识周长。
情感、态度与价值观：
结合具体情境，感知周长与实际生活的密切联系
教学重点
结合具体事物或图形，通过观察、操作等活动，认识周长
教学难点
能测量并计算三角形、平行四边形、梯形等图形的周长。
教学准备
线、直尺、皮尺、多媒体课件
三角形的面积教案5篇
三角形的面积教案5篇角形面积的教学设计篇一一、教学内容《义务教育教科书（五·四学制）·数学(四年级下册)》22～23页。
二、教学内容1、掌握三角形的面积计算公式，并能正确计算三角形的面积。
2、经历探索三角形计算公式的过程，培养观察、比较、推理和概括能力，渗透转化思想，发展空间观念。
3、能运用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题，在解决问题的过程中，感受数学和实际生活的密切联系，体会学数学、用数学的乐趣。
三、教学重点探究三角形面积的计算方法。
四、教学难点把三角形转化成平行四边形，探究平行四边形与三角形之间的关系，推导三角形面积的计算公式。
五、教学准备三角形卡片、多媒体课件。
六、教学过程（一）创设情境，提供素材师：同学们，这节课，让我们一起走进生产车间，看看工人制作标志牌的场景。
课件出示图片。
(见图1）师：你想提出什么数学问题？预设：制作这个标志牌需要多少平方分米的铝皮？师：标志牌是一个什么图形？预设：三角形。
师：那么求这块标志牌的面积也就是求什么的面积？预设：求三角形的面积。
师：今天我们就来研究三角形的面积。
教师适时板书：三角形的面积。
设计意图：从学生容易感兴趣的情境问题入手，激发学生的好奇心、求知欲，使学生积极投入到探索性的数学活动中。
（二）积极思考，引导猜想师：三角形的面积是什么？谁来猜猜看？预设1：底乘高。
预设2：三边相乘。
师：那你们想怎么来研究它？预设：把它转化成以前学过的图形。
师：你怎么想到用转化？预设1：因为三角形没学过，转化成以前学过的图形就能研究了。
预设2：我们上节课学习平行四边形的时候用的就是转化的思想。
师：转化后再怎么研究？预设1：看转化后的图形和原来三角形之间的关系。
预设2：根据关系推导出三角形面积计算公式。
预设3：我们研究平行四边形的时候就是这样研究的。
师：你们真是很有想法！想到用研究平行四边形面积的方法来研究三角形的面积。
老师帮你们把你们提出的这个研究思路梳理一下。
2020年高考数学一轮复习：第22课__导数在实际问题中的应用
____第22课__导数在实际问题中的应用____能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.1. 阅读：选修11第93～98页．2. 解悟：①实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？②总结求解实际问题的一般步骤，其关键步骤是什么？3. 践习：在教材空白处完成教材第96页练习第3、4题.基础诊断1. 如图，将边长为60cm 的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒．当铁皮盒底边长为__40cm __时，盒子的容积最大，最大容积是__16__000cm 3__.解析：设铁皮盒底边长为x cm ，容积为V ， 所以V(x)＝⎝⎛⎭⎫60－x 2x 2＝60x 2－x32(0<x<60)，则V′(x)＝60x －32x 2(0<x<60)．令V′(x)＝60x －32x 2＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝40.因为当x ∈(0，40)时，V′(x)>0；当x ∈(40，60)时，V′(x)<0.所以V(x)在区间(0，40)上为增函数；在区间(40，60)上为减函数，所以V(x)max ＝V(40)＝60×（40）2－4032＝16 000.故当铁皮盒底边长40cm 时，最大容积为16 000 cm 3.2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为__3__．解析：设圆柱的底面半径为r ，则高为27r 2.所以S 表面积＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr.令f(r)＝πr 2＋54πr (r>0)，则f′(r)＝2πr ＋－54πr 2＝2π（r 3－27）r 2.令f′(x)>0可得r>3，令f′(x)<0可得0<r<3.所以f(r)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(r)在r ＝3时取得最小值，所以当圆柱的底面半径为3时，用料最省．3. 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是3．解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为34(1－x 2)，所以S ＝（3－x ）234（1－x 2）(0<x<1)．令S(x)＝（3－x ）234（1－x 2）(0<x<1)，则S′(x)＝43·－6x 2＋20x －6（1－x 2）2＝43·－2（x －3）（3x －1）（1－x 2）2.令S′(x)>0，得13<x<1，令S′(x)<0得0<x<13，所以当x ＝13时，S(x)取极小值，也是最小值，S ⎝⎛⎭⎫13＝3233，故S 的最小值为3233.范例导航考向❶ 利用导数研究用料最省、费用最低问题例1 如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l 1排，在路南侧沿直线l 2排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线EF 将直线l 1与l 2接通．已知AB ＝60m ，BC ＝80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90°的角为α.(1) 求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式； (2) 求排管的最小费用及相应的角α.解析：(1) 如图，过点E 作EM ⊥BC ，垂足为M. 由题意得，∠MEF ＝α⎝⎛⎭⎫0≤tan α≤43， 故MF ＝60tan α，EF ＝60cos α，AE ＋FC ＝80－60tan α， 所以W ＝(80－60tan α)×1＋60cos α×2＝80－60×sin αcos α＋120×1cos α＝80－60×sin α－2cos α(其中0≤α＜α0＜π2，tan α0＝43)．(2) 设f(α)＝sin α－2cos α(其中0≤α＜α0＜π2，tan α0＝43)，则f′(α)＝1－2sin αcos 2α.令f′(α)＝0得sin α＝12，即α＝π6.列表如下：所以当α＝π6时，有f(α)max ＝－3，此时有W min ＝80＋60 3.故排管的最小费用为80＋60 3 万元，相应的角α＝π6.已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于π时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则S ＝2πrh ＋2πr 2，V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr·250πr 2＋2πr 2＝500r ＋2πr 2，S′＝－500r 2＋4πr.令S′＝0得r ＝53π2.因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用材料最省．考向❷ 利用导数研究利润最大问题例2 根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x(件)之间近似地满足关系式p ＝⎩⎨⎧215－x ， 1≤x ≤9，x ∈N *，x 2＋60540， 10≤x ≤20，x ∈N*(日产品废品率＝日废品量日产量×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额．(1) 将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解析：(1) 由题意可知，y ＝2x (1－p )－px ＝⎩⎨⎧24x －2x 215－x， 1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180， 10≤x ≤20，x ∈N *.(2) 考虑函数f (x )＝⎩⎨⎧24x －2x 215－x， 1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x3180， 10≤x ≤20，x ∈N *，当 1≤x ≤9时，f ′(x )＝2－90（15－x ）2，令f ′(x )＝0，得x ＝15－35；当1≤x <15－35时，f ′(x )>0，函数f (x )在[1，15－35)上单调递增； 当15－35<x ≤9时，f ′(x )<0，函数f (x )在(15－35，9]上单调递减． 所以当x ＝15－35时，f (x )取得极大值，也是最大值． 又x 是整数，f (8)＝647，f (9)＝9，所以当x ＝8时，f (x )有最大值647；当10≤x ≤20时，f ′(x )＝53－x 260＝100－x260≤0，所以函数f (x )在[10，20]上单调减，所以当x ＝10时，f (x )取得最大值1009.由于1009>647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数y 1＝17x 2，生产总成本y 2(万元)也是x (千台)的函数y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产__6__千台．解析：设利润为W 万元，则W (x )＝y 1－y 2＝17x 2－2x 3＋x 2＝18x 2－2x 3，所以W ′(x )＝36x －6x 2.令W ′(x )＝0，解得x ＝6或x ＝0(舍去)．当x ∈(0，6)，W ′(x )>0，W (x )单调递增；当x ∈(6，＋∞)，W ′(x )<0，W (x )单调递减，故当x ＝6时，W (x )取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产6千台．考向❸ 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题例3 如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，∠ABC ＝2π3.管理部门欲在该地从M 到D 修建小路．在MN ︵上选一点P(异于M ，N 两点)，过点P 修建与BC 平行的小路PQ.(1) 设∠PBC ＝θ，试用θ表示修建的小路MP ︵与线段PQ 及线段QD 的总长度l ； (2) 求l 的最小值．解析：(1) 延长QP ，交AB 于点E ， 则MP ︵＝2π3－θ.在△BPE 中，∠EPB ＝θ，∠EBP ＝2π3－θ，∠BEP ＝π3，所以EP ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，EB ＝23sin θ，所以PQ ＝2－23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ，QD ＝2－23·sin θ， 所以l ＝2π3－θ＋2－23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＋2－23·sin θ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋2π3－θ⎝⎛⎭⎫0<θ<2π3. (2) l′＝－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－1，令l′<0， 即－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－1<0，解得0<θ<π2；令l′>0，即－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－1>0， 解得π2<θ<2π3.所以当θ＝π2时，l 有最小值4－3＋π6，故l 的最小值为⎝⎛⎭⎫4－3＋π6百米． 自测反馈1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V ，当其表面积最小时，底面边长为． 解析：设底面边长为a ，高为h ，表面积为S. V ＝34a 2×h ，所以h ＝43V 3a 2，则表面积S ＝3ah ＋2×34a 2＝32a 2＋43Va，所以S′＝3a －43V a 2.令S′＝3a －43V a 2＝0，解得a ＝34V.当0<a<34V 时，S′<0，当a>34V 时，S′>0，所以当a ＝34V 时，S 取极小值也是最小值，所以底面边长为34V.2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高度应为3cm __．解析：设圆锥的高为h ，则底面半径为202－h 2，所以其体积V ＝13π(202－h 2)h(0<h<20)，所以V′＝π3(400－3h 2)．令V′＝0，即π3(400－3h 2)＝0，解得h ＝2033或h ＝－2033(舍去)．当0<h<2033时，V′>0；当2033<h<20时，V′<0，所以当h ＝2033时，V 取最大值，故其高度应为2033cm .3. 若球的半径以2cm /s 的速度膨胀，当半径为5cm 时，表面积对时间的变化率是__80π__． 解析：球的表面积为S ＝4πR 2.由题意得ΔR Δt ＝2，所以Δt ＝ΔR 2，所以ΔS Δt ＝ΔS ΔR 2＝2ΔS ΔR，因为ΔS ΔR ＝S′＝8πR ，所以ΔS Δt ＝16πR.当R ＝5时，ΔSΔt ＝80π，所以表面积对时间的变化率为80π.4. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进，把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝⎩⎪⎨⎪⎧125x 3＋640， 10≤x<30，x 2－40x ＋1 600， 30≤x ≤50，且每处理1吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，当处理量为多少吨时，平均每吨的处理成本最少？解析：由题易知，二氧化碳的平均处理成本P(x)＝yx ＝⎩⎨⎧125x 2＋640x ， x ∈[10，30），x ＋1 600x－40， x ∈[30，50].①当x ∈[10，30)时，P(x)＝125x 2＋640x，所以P′(x)＝225x －640x 2＝2（x 3－8 000）25x 2，所以当x ∈[10，20)时，P′(x)<0，函数P(x)在区间[10，20)上单调递减；当x ∈[20，30)时，P′(x)>0，函数P(x)在区间[20，30)上单调递增， 所以当x ＝20时，P(x)取得最小值为P(20)＝20225＋64020＝48.②当x ∈[30，50]时，P(x)＝x ＋1 600x－40≥2x·1 600x －40＝40，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，P(x)取得最小值为P(40)＝40，因为48>40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原．2. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解．3. 你还有哪些体悟，写下来：。
吴立敏集体备课
设计人:年级：四学科：数学
课题
三角形的面积
课时
第14课时
备课时间
3.13
教学目标
1、让学生经历猜想、操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，推导出三角形的面积公式。
2、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣，发展学生的空间观念，培养学生的创新精神与实践能力。
三、合作测量解决问题
谈话：我们学校的生均占地面积达到这个要求了吗？
谈话：用哪些方法可以得到活动场地的面积呢？下面我们以操场为例进行研究。（师生一起到操场）
谈话：仔细观察操场是什么形状的？要知道操场的面积大约是多少需要知道那些数据？用什么方法能知道生进行交流长和宽各是多少米？
除了用卷尺测量、步测外还可以目测，你知道什么是目测吗？
城南中心学校集体备课教学设计
设计人:吴立敏年级：四学科：数学
课题
关注我们的活动空间
课时
第22课时
备课时间
3.22
教学目标
1、结合现实生活情境，巩固多边形的面积计算及小数四则运算、统计、测量等知识。
2、经历观察、调查、测量等活动过程，体会数学与生活的密切联系，感受数学在解决实际问题中的作用；获得一些数学活动的经验，提高搜集信息、整理信息及分析、处理信息的能力。
四、课堂小结：
不管是用两个三角形拼，还是用一个三角形割补，都是运用了转化的思想，这是一种非常有用的解决问题的策略。不光在数学课上，就是在生活中，当我们遇到陌生的新问题，也要善于把它转化成熟悉的问题来解决。希望每一个同学都能在生活中学习数学，在数学中体验的过程）它的面积你会求吗？
二、合作探究，推导面积公式
1、探究三角形面积的计算公式
第22课时角平分线(2)练习课
教学内容角平分线（2）练习课课时序号第22课时教学目标知识与能力通过本节课的练习，让学生进一步理解角平分线的性质定理和判定定理。
过程与方法通过学生亲身做一做、练一练、发现如何运用角平分线的相关定理解决问题。
情感态度与价值观通过练习探究体会数学与生活密不可分，体会学习生活中的数学，用数学解决生活中的问题。
如何突破教学重点难点关键就在于让学生主动参与探索，发现和总结规律。
独立新备√修改材料出处教学过程一、基本练习：1.如图（1）△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BD=4，BC=7，则D到AB的距离是_______；2.如图（2），BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为______cm.3.如图（3），∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=______.4.如图（4），点P到PE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：○1在∠B的平分线上；○2在∠DAC的平分线上；○3在∠ECA的平分线上；○4恰是∠B，∠DAC、∠ECA三条平分线的交点.上述结论中，正确的个数有( )修改、调整数学阳艳军DC BAPDCBA（1）（2）QO DCBAEPDCBA（3）（4）作业设计二十二1.如图（1），点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则∠AOB =______；2.如图（2），在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠CAB ，BC =8cm ，BD =5cm ，那么点D 到直线AB 的距离是_______cm .3.如图（3），在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，AB =6cm ，则△DEB 的周长为_________.4.如图（4），AB ∥CD ，∠A 、∠C 的平分线相交于点O ，OE ⊥AC 于E ，若OE =1，则AB 与CD 间的距离为_________.5.关于三角形的角平分线的说法错误的是（ ）A.两角平分线的交点在三角形内B.两角平分线的交点在第三个角的平分线上C.两角平分线的交点到三边距离相等D.两角平分线的交点到三个顶点距离相等6.如图（5），直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）A.一处B.二处C.三处D.四处7.如图（6），AB =AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D ，则△ABE ≌△ACF ；○2△BDF ≌△CDE ；○3点D 在∠BAC 的平分线上，以上结论正确的是（ ）A.○1 ○2 ○3B.○2 ○3C.○1 ○3D.○1 8.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，∠EDF ＋∠BAF =180°，求证：DE =DF .9.如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，MD ⊥AB ，ME ⊥AC ，垂足分别为点D 、E ，且BD =CE.求证：（1）点M 在∠BAC 的平分线上； （2）AB =AC.F E DC B A M E DC B A E DC B AD C B AP O B A （1） （2） （3） F E D CB A l 2l 3l 1C B A ED C B A （4） （5） （6）。
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4
3
2
1
D C
B A
A
B
C
D
E
第22课时 三角形基础知识
【知识梳理】
1、三角形三边的关系；三角形的分类
2、三角形内角和定理；
3、三角形的高，中线，角平分线
4、三角形中位线的定义及性质 【 思想方法】 方程思想，分类讨论等
【例题精讲】 例1． 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°．求∠DAC 的度数．
例2. 如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B ＝70°，∠ACB ＝50°， 求∠EDC 和∠BDC 的度数．
例3.现有2cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
例4.如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则
APD ∠等于（ ）
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．58°
例5 如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（
A ．A
B 中点 B ．B
C 中点
C ．AC 中点
D ．∠C 的平分线与AB 的交点
【当堂检测】
1．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在 BC 的延长线上，则∠ACD ＝ 度. 2．ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的
中点，当10cm BC =时，DE = cm ． 第1题图 3．如图在△ABC 中，AD 是高线，AE 是角平分线，AF 中线.
(1) ∠ADC ＝ ＝90°；(2) ∠CAE ＝ ＝0.5 ； (3) CF ＝ ＝0.5 ； (4) S △ABC ＝ ．
E D
C B
A
F
第3题图 第4题图
4． 如图，⊿ABC 中，∠A = 40°,∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF = 度.
5.下列命题中，错误的是（ ）．
A ．三角形两边之和大于第三边
B ．三角形的外角和等于360°
C ．三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形 6.观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（ ）
C
D
B
7060
Ａ
B
A ．22n +
B ．44n +
C ．44n -
D ．4n
7．如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重
合，下列结论中：①EF AB ∥且1
2
EF AB =；
②BAF CAF ∠=∠；③S 四边形ADFE
=0.5AF ·DE ；④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8. △ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角角平分线相交于点O ，∠∠C=70°.
求∠DAC ，∠BOA 的度数.
第22课时 三角形基础知识
一、选择题 1. 如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个 三角形三边中点，所得的三角形的周长可能是（ ）
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．5.5
2. 如图，ABC △中，50A = ∠，点D E ，分别在AB AC ，上， 则12+∠∠的大小为（ ） A ．130
B ．230
C ．
180
D
．310
……
第1个
第2个
第3个
第7题图
第2题图
第6题图
A '
第3题图
A
D
B
C
E
A C
B
D
80
3．如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是（ ）
A . DE 是△ABC 的中位线
B . AA '是B
C 边上的中线 C . AA '是BC 边上的高
D . AA '是△ABC 的角平分线
4．已知三角形的三边长分别是38x ，
，；若x 的值为偶数，则x 的值有（ ） A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
5．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
（A ）20° （B ）120° （C ）20°或120° （D ）36° 二、填空题： 6．如图，∠ACD ＝1550,∠B ＝350,则∠A ＝ 度．
7．如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．
8．如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是 度．
9．如图，在ΔABC 中，AB=BC=2，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点，且它关于AC 的对称点是D′，则BD′=__________．
10．如图，在ABC △中，点D 是BC 上一点，80BAD ∠=°，AB AD DC ==，则C ∠= 度．
第7题图
第8题图
第9题图
三、解答题 ：
11．如图,在△ABC 中，作出AB 边上的高及∠B 的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）
12．如图，已知AOB OA OB ∠=，，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出AOB ∠的平分线（请保留画图痕迹）．
13．填空：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直
线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F ．
(1) 如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；
如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；
(2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)； (3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或 图⑤．在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________； 在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________．
A A
D D
F
F
图①
图②
图③
A
A
B
B
C
D
D E
E
F F 图④
第13题图
图⑤
第10题图
第11题图。